Teoria controlului automat

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 22 octombrie 2021; verificările necesită 3 modificări .

Teoria controlului automat ( TAU ) este o disciplină științifică care studiază procesele de control automat al obiectelor de natură fizică diferită. În același timp, cu ajutorul mijloacelor matematice, sunt dezvăluite proprietățile sistemelor automate de control și sunt elaborate recomandări pentru proiectarea acestora.

Este parte integrantă a ciberneticii tehnice și are ca scop dezvoltarea principiilor generale ale controlului automat, precum și a metodelor de analiză (cercetare a funcționării) și de sinteză (selectarea parametrilor) a sistemelor de control automat (ACS) pentru obiectele tehnice.

Pentru această teorie contează doar natura [1] transformărilor semnalului de către obiectele de control.

Istorie

Pentru prima dată, informații despre automate au apărut la începutul erei noastre în lucrările lui Heron din Alexandria „ Pneumatică ” și „ Mecanică ”, care descriu automate create de Heron însuși și profesorul său Ctesibius : un automat pneumatic pentru deschiderea ușilor un templu, o orgă de apă, un automat pentru vânzarea apei sfințite etc. Ideile lui Heron erau cu mult înaintea timpului lor și nu și-au găsit aplicație în epoca sa.

În Evul Mediu , mecanica de imitație „android” a primit o dezvoltare semnificativă, când designerii mecanici au creat o serie de automate care imitau acțiunile umane individuale și, pentru a spori impresia, inventatorii au dat automatelor o asemănare exterioară cu o persoană și le-au numit „ androizi ”, adică umanoizi. În prezent, astfel de dispozitive sunt numite roboți , spre deosebire de dispozitivele de control automat care sunt utilizate pe scară largă în toate sferele activității umane, care sunt numite automate.

În secolul al XIII-lea, filosoful și alchimistul scolastic german Albert von Bolstadt a construit un robot pentru a deschide și închide ușile.

Androizi foarte interesanți au fost creați în secolele XVII-XVIII. În secolul al XVIII-lea, ceasornicarii elvețieni Pierre Droz și fiul său Henri au creat un scrib mecanic, un artist mecanic și alții. Un frumos teatru de automate a fost creat în secolul al XVIII-lea. Mecanic autodidact rus Kulibin . Teatrul său, păstrat în Schit , este adăpostit într-un „ceas cu figurine de ouă”.

La începuturile sale, multe prevederi ale teoriei controlului automat sunt cuprinse în Teoria generală a regulatorilor (liniari), care a fost dezvoltată în principal în 1868-1876 în lucrările lui Maxwell și Vyshnegradsky . Lucrările fundamentale ale lui Vyshnegradsky sunt: „Despre teoria generală a reglementatorilor”, „Despre regulatorii acțiunii indirecte”. În aceste lucrări, se pot găsi originile metodelor moderne de inginerie pentru studiul stabilității și calității reglementării.

Lucrările remarcabilului matematician sovietic Andrei Markov (junior) , fondatorul școlii constructiviste sovietice de matematică, autorul lucrărilor despre teoria algoritmilor și logica matematică , au avut o influență decisivă asupra dezvoltării metodologiei interne de studiere a teoria controlului automat . Aceste studii și-au găsit aplicație în activitățile științifice și practice ale academicianului Lebedev pe teme militare - controlul automat al torpilelor și ghidarea armelor și stabilitatea sistemelor mari de energie .

Până la începutul secolului al XX-lea și în primul său deceniu, teoria controlului automat se formează ca disciplină științifică generală cu o serie de secțiuni aplicate.

Concepte de bază

Automatizarea este o ramură a științei și tehnologiei care acoperă teoria și practica controlului automat, precum și principiile construirii sistemelor automate și mijloacele tehnice care le formează.

Un obiect de control (OC) este un dispozitiv, un proces fizic sau un set de procese care trebuie controlat pentru a obține rezultatul dorit. Interacțiunea cu sistemul de operare are loc prin aplicarea unei acțiuni de control intrării sale condiționate (care corectează procesele care au loc în sistemul de operare), în timp ce ieșirea este un parametru modificat (care este o consecință a procesului).

Controlul este un impact (semnal) aplicat intrării obiectului de control și care asigură un astfel de flux de procese în obiectul de control care va asigura atingerea scopului de control specificat la ieșirea acestuia.

Scopul este fluxul dorit de procese în obiectul de control și obținerea modificării dorite a parametrului la ieșirea acestuia.

Obiecte:

gestionate
negestionate

Sistemul de control automat (ACS) include un obiect de control și un dispozitiv de control.

Dispozitivul de control (CU) este un set de dispozitive care controlează intrările obiectului de control.

Reglarea este un caz special de control, al cărui scop este menținerea uneia sau mai multor ieșiri ale obiectului de control la un nivel dat.

Regulator - convertește eroarea de control ε(t) într-o acțiune de control care ajunge la obiectul de control.

Acțiunea de setare g(t) determină reglarea necesară a valorii de ieșire.

Eroarea de reglare ε(t) = g(t) - y(t), diferența dintre valoarea cerută a variabilei controlate și valoarea sa curentă. Dacă ε(t) este diferit de zero, atunci acest semnal este transmis la intrarea controlerului, care generează o astfel de acțiune de control care în cele din urmă ε(t) = 0 în timp.

Acțiunea perturbatoare f(t) este un proces la intrarea obiectului de control, care este o piedică pentru control.

Sisteme de control automat:

Deschis:

sistem de control al programului. UC emite o acțiune de control fără a primi informații despre starea sistemului pe baza oricăror semne, un program de timp (simplitate și fiabilitate sporită, calitate scăzută a controlului);
SU despre indignare. CU generează o acțiune de control bazată pe informații despre magnitudinea efectului perturbator asupra sistemului.

Închis: CU generează o acțiune de control pe baza informațiilor măsurate privind starea obiectului pentru parametrul selectat.
Sistem combinat: CU generează o acțiune de control pe baza informațiilor despre parametrii obiectului și pe baza informațiilor acțiunii perturbatoare.

Diagrame funcționale

Diagrama funcțională a unui element - o diagramă a unui sistem automat de reglare și control, compilată în funcție de funcția pe care o îndeplinește acest element.

Semnalele de ieșire sunt parametri care caracterizează starea obiectului de control și sunt esențiali pentru procesul de control.

Ieșirile de sistem sunt puncte din sistem la care semnalele de ieșire pot fi observate sub forma anumitor mărimi fizice.

Intrările sistemului sunt puncte ale sistemului unde sunt aplicate influențe externe.

Semnale de intrare:

interferență - semnale care nu sunt asociate cu sursele de informații despre sarcinile și rezultatele managementului.
util - semnale asociate cu sursele de informații despre sarcinile și rezultatele managementului.

Sisteme:

unidimensional - sisteme cu o singură intrare și o singură ieșire.
multidimensionale - sisteme cu intrări și ieșiri multiple.

Principii de control ACS

Feedback -ul este o conexiune în care valoarea reală a variabilei de ieșire, precum și valoarea setată a variabilei controlate, sunt transmise la intrarea controlerului .

hard - un astfel de sistem de operare, în care intrarea controlerului primește un semnal proporțional cu semnalul de ieșire al obiectului în orice moment.
flexibil - un astfel de sistem de operare, în care intrarea controlerului primește nu numai un semnal proporțional cu semnalul de ieșire al obiectului, ci și un semnal proporțional cu derivatele variabilei de ieșire.

Controlul conform principiului abaterii variabilei controlate - feedback-ul formează o buclă închisă. Obiectul controlat este supus unei acțiuni proporționale cu suma (diferența) dintre variabila de ieșire și valoarea setată, astfel încât această sumă (diferența) scade.

Control conform principiului compensării perturbațiilor - un semnal proporțional cu efectul perturbator intră în intrarea controlerului. Nu există nicio relație între acțiunea de control și rezultatul acestei acțiuni asupra obiectului.

Control bazat pe principiul reglării combinate - se utilizează atât controlul perturbațiilor, cât și al abaterii, ceea ce asigură cea mai mare precizie de control.

Principiul abaterii variabilei controlate în TAU
Principiul compensării tulburărilor în TAU
Principiul reglementării combinate în TAU

Clasificarea ACS

După natura controlului:

sistem de control
sistem de control

După natura acțiunii:

sisteme continue
sisteme de acțiune discretă
sisteme de acțiune releu

În funcție de gradul de utilizare a informațiilor despre starea obiectului de control:

Controlul sistemului de operare
control fără OS

În funcție de gradul de utilizare a informațiilor despre parametrii și structura obiectului de control:

adaptativ
dezadaptativ
căutare
fără căutare
cu identificare
cu structura variabila

În funcție de gradul de transformare a coordonatelor în ACS:

determinat
stocastică (cu influențe aleatorii)

După forma modelului matematic de transformare a coordonatelor:

liniar
neliniar (releu, logic etc.)

După tipul de acțiuni de control:

analogic
discret (intermitent, puls, digital)

După gradul de participare umană:

manual
automat
automatizat (om în control)

Conform legii modificării variabilei de ieșire:

stabilizare : valoarea prescrisă a variabilei de ieșire este neschimbată.
program : variabila de ieșire se modifică în funcție de un anumit program predeterminat.
urmărire : valoarea prescrisă a variabilei de ieșire depinde de valoarea variabilei necunoscută în prealabil la intrarea sistemului automat.

După numărul de variabile controlate și reglate:

unidimensional : dacă obiectul are o singură valoare manipulată;
multidimensional: dacă obiectul are un număr relativ mare de variabile controlate și numărul corespunzător de acțiuni de control.

În funcție de gradul de autoajustare, adaptare, optimizare și inteligență:

extrem
auto-reglare
intelectual

În funcție de efectul elementului sensibil (de măsurare) asupra organismului de reglementare:

sisteme de control direct
sisteme de control indirect

Tunuri inteligente autopropulsate

ISAS sunt sisteme care permit antrenamentul, adaptarea sau reglarea prin memorarea și analizarea informațiilor despre comportamentul unui obiect, sistemul de control al acestuia și influențele externe. O caracteristică a acestor sisteme este prezența unei baze de date a unui motor de inferență, a unui subsistem de explicații etc.

Baza de cunoștințe - reguli formalizate sub formă de formule logice, tabele etc. IMS este folosit pentru a gestiona obiecte tehnice slab formalizate sau complexe.

Clasa ISU corespunde caracteristicilor:

Disponibilitatea interacțiunilor CS cu lumea exterioară reală folosind canalele de comunicare informațională.
Deschiderea sistemului este necesară pentru a completa și a dobândi cunoștințe.
Disponibilitatea mecanismelor de predicție a schimbărilor în mediul de funcționare a sistemului.
Inexactitatea informațiilor despre CO poate fi compensată prin creșterea intelectualizării algoritmului de control.
Menținerea funcționării la o ruptură de comunicare.

Dacă ISU îndeplinește toate cele 5 criterii, atunci este inteligent în sensul „mare”, altfel în sensul „mic”.

Modele matematice ale ACS liniare

Determinist

$W_{0}(p)={\frac {A(p)}{B(p)))$

$W_{0}(p)={\frac {K_{0}}{T_{0}p}}e^{-p\tau }$

Statistic

Statisticile sunt caracterizate printr-un set de parametri statistici și funcții de distribuție. Pentru studiul lor se folosesc metode de statistică matematică .

Adaptiv

Cele adaptive folosesc metode determinist-stohastice pentru a descrie obiectul de control.

Tipuri de influențe. Funcții de tranziție, greutate, transfer

Funcția pas de identitate este o funcție matematică specială a cărei valoare este zero pentru argumentele negative și una pentru argumentele pozitive. Este cel mai simplu impact natural asupra obiectului de control. În matematică, este exprimată prin funcția de identitate Heaviside .
Funcția impuls unitar este derivata funcției pas unitar. Caracterizează un impuls de amplitudine infinit de mare, care curge pe o perioadă de timp infinit de mică. Sensul geometric este că aria delimitată de această funcție este egală cu 1. Este utilizat într-un număr de cazuri când procesul de determinare a caracteristicilor dinamice în cel mai simplu mod din cauza excesului valorii de ieșire la o valoare dată este imposibil. . [2]
Funcția de tranziție este răspunsul sistemului la un semnal cu un singur pas.
Funcția de greutate este răspunsul sistemului la un singur impuls.
Funcția de transfer este raportul dintre transformarea Laplace a semnalului de ieșire și transformata Laplace a semnalului de intrare în condiții inițiale zero și perturbări externe zero.

Funcția de transfer de conectare a legăturilor

Conexiune serială

W e (p) \u003d W 1 (p) W 2 (p) ... W n (p) \u003d (p) $\prod _{i=1}^{n}W_{i}$

Conexiune paralelă

W e (p) \u003d W 1 (p) + W 2 (p) + ... + W n (p) \u003d (p) $\sum _{i=1}^{n}W_{i}$

Funcția de transfer a unui sistem închis

W OC (p) este o ecuație care descrie circuitul de feedback
W(p) este o ecuație care descrie legătura
G(p) este o ecuație care descrie acțiunea de intrare
U OC (p) este o ecuație care descrie semnalul de ieșire al legăturii de feedback
ΔU(p) este o ecuație care descrie suma (diferența) G(p) și U OC (p)
Y(p) este o ecuație care descrie semnalul de ieșire al sistemului

$f(n)=\left\{{\begin{matrix}Y(p)=W(p)\Delta U(p)\\U_{OC}(p)=W_{OC}(p)Y(p )\\\Delta U(p)=G(p)\mp U_{OC}(p)\end{matrice}}\dreapta.$

Rezolvând acest sistem de ecuații, obținem următoarele rezultate:

$Y(p)=W(p)(G(p)\mp W_{OC}(p)Y(p))$

$Y(p)\pm W(p)W_{OC}(p)Y(p)=W(p)G(p)$

$Y(p)={{W(p)G(p)} \peste {1\pm W(p)W_{OC}(p)}}$

$W_{\ni }(p)={Y(p) \over G(p)}={W(p) \over 1\pm W(p)W_{OC}(p)}$

Obținerea funcției de transfer în spațiul de stare

Sistemul din spațiul stărilor este dat astfel:

$\left\{{\begin{matrix}{\dot {x}}(t)=A\cdot x(t)+B\cdot u(t)\\y(t)=C\cdot x(t) +D\cdot u(t)\end{matrice}}\dreapta.$

Sistemul are m intrări u(t), l ieșiri y(t), n stări x(t), n>= max(m, l), A,B,C,D sunt matrici numerice de dimensiunea corespunzătoare nxn, nxm, lxn ..

Fie I o matrice de identitate nxn, atunci:

pI X(p) - AX(p) = BU(p)

(pI - A)X(p) = BU(p)

x(0) = 0

X(p)=Wxu(p)U(p); Wxu(p) = (pI - A)^{-1)B

Y(p)=Wyu(p)U(p); Wyu(p)=C (pI - A)^{-1) B + D

Linearizarea sistemelor și a legăturilor

Fie ACS controlat și descris printr-o ecuație neliniară

$F(x,{\punct {x}},y,{\dot {y}},{\ddot {y}},...,f,{\dot {f}},{\ddot {f} })=0$

Mai mult, neliniaritatea este nesemnificativă, adică această funcție poate fi extinsă într-o serie Taylor în vecinătatea unui punct staționar, de exemplu, cu o perturbație externă f = 0 .

Ecuația acestei legături în stare staționară este următoarea:

$F(x^{0},0,y^{0},0,0)=0,x_{k}^{0},y_{k}^{0}$ , punctele inițiale, derivatele sunt absente.

Apoi, extinzând funcția neliniară într-o serie Taylor, obținem:

$F(x^{0},y^{0})+\left({\frac {\partial F}{\partial x))\right)^{0}\Delta x+\left({\frac {\ parțial F}{\partial {\dot {x}}}}\right)^{0}\Delta {\dot {x}}+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\ dreapta)^{0}\Delta y+\left({\frac {\partial F}{\partial {\punct {y))))\right)^{0}\Delta {\punct {y))+\ stânga({\frac {\partial F}{\partial {\ddot {y))))\right)^{0}\Delta {\ddot {y}}+R_{n}=0,R_{n} ,$ - restul

$F(x,y)^{0}+\left(-b_{1}\right)\Delta x+\left(-b_{0}\right)\Delta {\dot {x}}+\left(a_ {2}\right)\Delta y+\left(a_{1}\right)\Delta {\dot {y}}+\left(a_{0}\right)\Delta {\ddot {y}}+R_ {n}=0$

$\left\{{\begin{matrice}\Delta x\rightarrow 0\\\Delta y\rightarrow 0\end{matrix}}\right.\Rightarrow R_{n}\rightarrow 0$

$a_{0}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+a_{1}{\frac {dy}{dt}}+a_{2}y=b_{0}{ \frac {dx}{dt}}+b_{1}x$

Am trecut de la neliniar la liniar. Să trecem la ecuația operatorului:

$(a_{0}p^{2}+a_{1}p+a_{2})y=(b_{0}p+b_{1})x$

$F()\rightarrow F(\Delta x,\Delta y)\rightarrow LE\rightarrow OE$

Controlabilitatea, observabilitatea tunurilor autopropulsate

ACS este controlabil (complet controlabil) dacă poate fi transferat din orice stare inițială x 0 (t) într-o altă stare arbitrară x 1 (t) la un moment arbitrar de timp prin aplicarea unei acțiuni continue pe bucăți U(t)∈[t 0 ;t 1 ].

ACS este observabil (observabil complet) dacă toate variabilele de stare x(t) pot fi determinate din impactul de ieșire (măsurat) y(t).

Stabilitatea sistemelor liniare

Stabilitatea este proprietatea ACS de a reveni la o stare de echilibru dată sau aproape de ea după orice perturbare. ACS stabil este un sistem în care procesele tranzitorii sunt amortizate.

$(a_{0}p^{n}+a_{1}p^{{n-1}}+...+a_{n})y=(b_{0}p^{m}+b_{1 }p^{{m-1}}+...+b_{m})g$ este forma operatorului ecuației liniarizate.

y(t) \u003d y set (t) + y p \ u003d y out (t) + y st

y mouth (y out ) este o soluție particulară a ecuației liniarizate.

y p (y st ) este soluția generală a ecuației liniarizate ca o ecuație diferențială omogenă, adică $D(p)=(a_{0}p^{n}+a_{1}p^{{n-1}}+...+a_{n})y=0$

ACS este stabil dacă procesele tranzitorii y n (t) cauzate de orice perturbații vor fi amortizate în timp, adică atunci când $y_{n}(t)\rightarrow 0$ $t\rightarrow {\mathcal {1}}$

Rezolvând ecuația diferențială în cazul general, obținem rădăcini complexe p i , p i+1 = ±α i ± jβ i

Fiecare pereche de rădăcini conjugate complexe corespunde următoarei componente a ecuației tranzitorii:

$c_{i}e^{{(\alpha _{i}+j\beta _{i})t}}+c_{{i+1}}e^{{(\alpha _{i}-j\ beta _{i})t}}=\alpha _{i}(c_{i}e^{{j\beta _{i}t}}+c_{{i+1}}e^{{-j \beta _{i}t)))=Ae^{{\alpha _{i}t}}\sin {(\beta _{i}t+\varphi _{i})}$ , unde , $A={\sqrt {c_{i}^{2}+c_{{i+1}}^{2}}}$ $\operatorname {tg}{\varphi _{i}}={c_{i}+c_{{i+1}} \over c_{i}-c_{{i+1}}}$

Din rezultatele obținute se poate observa că:

pentru ∀α i <0, condiția de stabilitate este satisfăcută, adică procesul tranzitoriu tinde spre y gura în timp (teorema lui Lyapunov 1);
când ∃α i >0 este îndeplinită condiția de instabilitate (teorema lui Lyapunov 2), adică , ceea ce duce la oscilații divergente; $Ae^{{\alpha _{i}t}}\sin {(\beta _{i}t+\varphi _{i})}\rightarrow {\mathcal {1}}$
pentru ∃α i =0 și ¬∃α i >0 , ceea ce duce la oscilații sinusoidale neamortizate ale sistemului (un sistem la limita de stabilitate) (teorema 3 a lui Lyapunov). $Ae^{{\alpha _{i}t}}\sin {(\beta _{i}t+\varphi _{i})}=const$

Criterii de stabilitate

Criteriul Routh

Pentru a determina stabilitatea sistemului, se construiesc tabele cu formularul:

Cote	Siruri de caractere	coloana 1	coloana 2	coloana 3
	unu	$C_{{11}}=a_{0}=T_{1}T_{2}T_{3}$	$C_{{12}}=a_{2}=T_{1}+T_{2}+T_{3}$	$C_{{13}}=a_{4}$
	2	$C_{{21}}=a_{1}=T_{1}T_{2}+T_{2}T_{3}+T_{1}+T_{3}$	$C_{{22}}=a_{3}=1+k$	$C_{{23}}=a_{5}$
$r_{3}={\frac {C_{{11}}}{C_{{21}}}}$	3	$C_{{31}}=C_{{12}}-r_{3}C_{{22}}$	$C_{{32}}=C_{{13}}-r_{3}C_{{23}}$	$C_{{33}}=C_{{14}}-r_{3}C_{{{24}}$
$r_{4}={\frac {C_{{21}}}{C_{{31}}}}$	patru	$C_{{41}}=C_{{22}}-r_{4}C_{{{32}}$	${\displaystyle C_{42}=C_{23}-r_{4}C_{33))$	$C_{{43}}=C_{{24}}-r_{4}C_{{{34}}$

Pentru stabilitatea sistemului, este necesar ca toate elementele primei coloane să aibă valori pozitive; dacă există elemente negative în prima coloană, sistemul este instabil; dacă cel puțin un element este egal cu zero, iar restul sunt pozitive, atunci sistemul se află la limita stabilității.

Criteriul Hurwitz

$D(p)=a_{0}p^{n}+a_{1}p^{{n-1}}+...+a_{n}$

$\Delta _{n}=a_{n}\cdot \Delta _{{n-1}}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&...&0\\a_ {0}&a_{2}&a_{4}&...&0\\0&a_{1}&a_{3}&...&0\\...&...&...&...&. ..\\0&...&...&...&a_{n}\end{vmatrix}}$ - determinant Hurwitz

Teorema : pentru stabilitatea unui ACS închis, este necesar și suficient ca determinantul Hurwitz și toți minorii săi să fie pozitivi la $a_{0}>0.$

Criteriul lui Mihailov

$D(p)=a_{0}p^{n}+a_{1}p^{{n-1}}+...+a_{n}$

Să înlocuim , unde ω este frecvența unghiulară a oscilațiilor corespunzătoare rădăcinii pur imaginare a polinomului caracteristic dat. $p=j\omega$

$D(j\omega )=X(\omega )+jY(\omega )=A(\omega )e^{{j\psi (\omega )}}$

$X(\omega )=a_{n}-a_{{n-2}}\omega ^{2}+...$

$Y(\omega )=a_{{n-1}}\omega -a_{{n-3}}\omega ^{3}+...$

Criteriu : pentru stabilitatea unui sistem liniar de ordinul al n-lea, este necesar și suficient ca curba Mikhailov, construită în coordonate , să treacă secvenţial prin n cadrane. $X(\omega), Y(\omega)$

$D(p)=a_{0}(p-p_{1})(p-p_{2})...(p-p_{n})$

$p=j\omega \Rightarrow D(j\omega )=a_{0}(j\omega -p_{1})(j\omega -p_{2})...(j\omega -p_{n} )$

Luați în considerare relația dintre curba Mikhailov și semnele rădăcinilor sale (α>0 și β>0)

1) Rădăcina ecuației caracteristice este un număr real negativ $p_{1}=-\alpha _{1}$

Factorul corespunzător rădăcinii date $(\alpha _{1}+j\omega )$

$\left\{{\begin{matrix}\omega \rightarrow +{\mathcal {1}}\\p_{1}=-\alpha _{1}\end{matrix}}\right.\Rightarrow \psi \ săgeată la dreapta {\frac {\pi }{2))$

2) Rădăcina ecuației caracteristice este un număr real pozitiv $p_{1}=+\alpha _{1}$

Factorul corespunzător rădăcinii date $(\alpha _{1}-j\omega )$

$\left\{{\begin{matrix}\omega \rightarrow +{\mathcal {1}}\\p_{1}=+\alpha _{1}\end{matrix}}\right.\Rightarrow \psi \ săgeată la dreapta -{\frac {\pi }{2}}$

3) Rădăcina ecuației caracteristice este o pereche complexă de numere cu o parte reală negativă $p_{{2,3}}=-\alpha _{1}\pm j\beta$

Factorul corespunzător rădăcinii date $(j\omega +\alpha _{1}-j\beta )(j\omega +\alpha _{1}+j\beta)$

$\left\{{\begin{matrix}\omega \rightarrow +{\mathcal {1}}\\p_{2}=-\alpha _{1}+j\beta \\p_{3}=-\alpha _{1}-j\beta \end{matrice}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}\psi _{2}\rightarrow +{\frac {\pi }{2}}- \gamma \\\psi _{3}\rightarrow +{\frac {\pi }{2}}+\gamma \end{matrice}}\right.\Rightarrow \psi \rightarrow +2{\frac {\pi }{2}}=+\pi$ , Unde $\gamma =\operatorname {arctg}{\frac {\beta }{\alpha ))$

4) Rădăcina ecuației caracteristice este o pereche complexă de numere cu o parte reală pozitivă $p_{{2,3}}=+\alpha _{1}\pm j\beta$

Factorul corespunzător rădăcinii date $(j\omega -\alpha _{1}-j\beta )(j\omega -\alpha _{1}+j\beta)$

$\left\{{\begin{matrix}\omega \rightarrow +{\mathcal {1}}\\p_{2}=+\alpha _{1}+j\beta \\p_{3}=+\alpha _{1}-j\beta \end{matrice}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}\psi _{2}\rightarrow -{\frac {\pi }{2}}+ \gamma \\\psi _{3}\rightarrow -{\frac {\pi }{2}}-\gamma \end{matrice}}\right.\Rightarrow \psi \rightarrow -2{\frac {\pi }{2}}=-\pi$ , Unde $\gamma =\operatorname {arctg}{\frac {\beta }{\alpha ))$

criteriul Nyquist

Criteriul Nyquist este un criteriu analitic grafic. Trăsătura sa caracteristică este că concluzia despre stabilitatea sau instabilitatea unui sistem închis se face în funcție de tipul de caracteristici de amplitudine-fază sau frecvență logaritmică a unui sistem deschis.

Fie ca sistemul deschis să fie reprezentat ca un polinom $W(p)={\frac {R(p)}{Q(p)}}={\frac {b_{0}p^{n}+b_{1}p^{n-1} +...+b^{n}}{a_{0}p^{m}+a_{1}p^{m-1}+...+a^{m}}}$

apoi facem o înlocuire și obținem: $p=j\omega$ $W(j\omega )={\frac {R(j\omega )}{Q(j\omega )}}(*)=X(\omega )+jY(\omega )=A(\omega )e^ {{j\psi (\omega )}}$

Pentru o construcție mai convenabilă a hodografului pentru n>2, aducem ecuația (*) la forma „standard”: $W(j\omega )={\frac {K(1+j\omega \tau _{1})(1+j\omega \tau _{2})[(1-\tau _{3}^{ 2}\omega ^{2})+2j\xi _{3}\tau _{3}\omega ]...}{(j\omega )'[(1-T_{2}^{2}\ omega ^{2})+2j\xi _{2}T_{2}\omega ](-1+j\omega T_{3})...}}$

Cu această reprezentare, modulul A(ω) = | W(jω)| este egal cu raportul dintre modulele numărătorului și numitorului, iar argumentul (faza) ψ(ω) este diferența dintre argumentele lor. La rândul său, modulul produsului numerelor complexe este egal cu produsul modulelor, iar argumentul este suma argumentelor.

Module și argumente corespunzătoare factorilor funcției de transfer:

Factor	$A(\omega)$	$\psi (\omega )$
k	k	0
p	ω	${\frac {\pi }{2))$
$p^{2}$	$\omega ^{2}$	$\pi$
$Tp+1$	${\sqrt {1+T^{2}\omega ^{2}}}$	$\operatorname {arctg}\omega T$
$Tp-1$	${\sqrt {1+T^{2}\omega ^{2}}}$	$\pi -\operatorname {arctg}\omega T$
$1-Tp$	${\sqrt {1+T^{2}\omega ^{2}}}$	$-\operatorname {arctg}\omega T$
$T^{2}p^{2}+1$	$\left\|1-T^{2}\omega ^{2}\right\|$	${\begin{matrice}0,&\omega <{\frac {1}{T}}\\\pi ,&\omega >{\frac {1}{T}}\end{matrice}}$
$T^{2}p^{2}+2\xi Tp+1$	${\sqrt {(1-T^{2}\omega ^{2})^{2}+4\xi ^{2}T^{2}\omega ^{2))}$	${\begin{matrice}\operatorname {arctg}{\frac {2\xi \omega T}{1-T^{2}\omega ^{2}}},&\omega <{\frac {1}{ T}}\\\pi +\operatorname {arctg}{\frac {2\xi \omega T}{1-T^{2}\omega ^{2}}},&\omega \geqslant {\frac { 1}{T}}\end{matrice}}$

Apoi construim un hodograf pentru funcția auxiliară , pentru care ne vom schimba $W_{1}(j\omega )=1+W(j\omega )$ $\omega [0;{\mathcal {1)))$

Pentru , dar pentru (pentru că n<m și ) $\omega =0,\quad W_{1}(j\omega )=K+1$ $\omega ={\mathcal {1)),\quad W_{1}(j\omega )=1$ $W(j\omega )=0$

Pentru a determina unghiul de rotație rezultat, găsim diferența dintre argumentele numărătorului și numitorului $\psi_{1}$ $\psi_{2}$

Polinomul numărătorului funcției auxiliare are același grad cu polinomul numitorului său, ceea ce implică , prin urmare, unghiul de rotație rezultat al funcției auxiliare este 0. Aceasta înseamnă că pentru stabilitatea sistemului închis, hodograful de vectorul funcției auxiliare nu trebuie să acopere originea, iar hodograful funcției , respectiv, un punct cu coordonate $\psi_{1}=\psi_{2}$ $W(j\omega )$ $(-1;j0)$

Marja stabilității tunurilor autopropulsate

În condiții de funcționare, parametrii sistemului, dintr-un motiv sau altul, se pot modifica în anumite limite (îmbătrânire, fluctuații de temperatură etc.). Aceste fluctuații ale parametrilor pot duce la o pierdere a stabilității sistemului dacă acesta funcționează lângă limita de stabilitate. Prin urmare, ei se străduiesc să proiecteze sistemul astfel încât să funcționeze departe de limita de stabilitate. Gradul acestei îndepărtari se numește marjă de stabilitate.

Necesitatea unei marje de stabilitate este determinată de următoarele condiții:

Respingerea termenilor neliniari în timpul liniarizării.
Coeficienții incluși în ecuația care descrie ACS sunt determinați cu o eroare.
Stabilitate de cercetare pentru sisteme tipice în condiții tipice.

Criterii

Criteriul Routh: pentru a modela o marjă de stabilitate, este necesar ca elementele primei coloane să fie mai mari decât o valoare fixă ε>0, numită factorul marjei de stabilitate.
Criteriul Hurwitz : marja de stabilitate este determinată similar cu marja de stabilitate Routh, doar ε caracterizează valoarea determinantului Hurwitz.
Criteriul lui Mihailov: se înscrie un cerc de rază diferită de zero cu un centru în punctul O (0; 0). Marja este determinată de raza acestui cerc. Sistemul este instabil atunci când criteriul Mihailov este încălcat sau când curba lui Mihailov se intersectează cu un cerc.
Criteriul Nyquist : aici punctul critic este (-1; j0), prin urmare, în jurul acestui punct se construiește o zonă interzisă, a cărei rază va reprezenta factorul de stabilitate.

Caracteristici comparative ale criteriilor de stabilitate

Criteriul de frecvență Nyquist este aplicabil în principal atunci când este dificil să se obțină experimental caracteristicile de fază. Cu toate acestea, calculul AFC-urilor, în special a celor de frecvență, este mai dificil decât construirea curbelor Mihailov. În plus, locația AFC nu oferă un răspuns direct la întrebarea: sistemul este stabil, adică este nevoie de cercetări suplimentare privind stabilitatea sistemului în stare deschisă.

Criteriul Mikhailov este aplicat sistemelor de orice ordin, spre deosebire de criteriul Routh. Folosind criteriul de frecvență Nyquist și criteriul Mikhailov, curbele caracteristice pot fi construite treptat, ținând cont de influența fiecărei legături, ceea ce clarifică criteriile și rezolvă problema alegerii parametrilor sistemului din condiția de stabilitate.

Vezi și

Note

↑ Rotach V.Ya. Teoria controlului automat. - al 2-lea, revizuit. și suplimentare .. - Moscova: MPEI, 2004. - S. 3-15. — 400 s. - ISBN 5-7046-0924-4 .
↑ A. V. Andryushin, V. R. Sabanin, N. I. Smirnov. Management și inovație în ingineria energiei termice. - M: MPEI, 2011. - S. 15. - 392 p. — ISBN 978-5-38300539-2

Literatură

Besekersky V.A. Teoria sistemelor automate de control: manual. indemnizatie. - Sankt Petersburg. : Profesie, 2007.
Besekersky V.A., Popov E.P. Ed . a IV-a // Teoria sistemelor de control automat. - Sankt Petersburg. : Profesie, 2003.
Vasiliev DV, Chuich VG Calcul sisteme de control automat. - M. - L .: Mashgiz, 1959. - 390 p.
Goodwin G.K., Grebe S.F., Salgado M.E. Proiectarea sistemelor de control. - M. : Binom, Laboratorul de cunoștințe de bază, 2004.
Dorf R., Bishop R. Sisteme moderne de control. - M. : Binom, Laboratorul de cunoștințe de bază, 2004.
Egorov, AI Osnovy teorii upravleniya: ucheb. indemnizatie. — M. : Fizmatlit, 2007.
Zubov, V. I. Prelegeri despre teoria controlului: manual. indemnizatie. - Sankt Petersburg. : Lan, 2009.
Knorring, V. I. Teoria, practica și arta managementului: un manual pentru universități. - M . : Norma, 2007 (marcat de Ministerul Apărării al Federației Ruse).
Miroshnik I.V. Teoria controlului automat. Sisteme liniare. - Sankt Petersburg. : Peter, 2005.
Parakhina V.N. Atelier de teoria controlului: manual. indemnizatie. - M. : Finanțe și statistică, 2009 (certificat de UMO MO RF).
Pervozvansky A.A. Curs de teoria controlului automat. — M .: Nauka, 1986.
Popov E.P. Teoria sistemelor liniare de reglare și control automat .. - M. : Nauka, 1989.
Rujnikov G.M. Un curs de prelegeri despre TAU.
Senigov P.N. Teoria controlului automat. Note de curs.
Makarov I. M., Lokhin V. M., Manko S. V., Romanov M. P. Inteligență artificială și sisteme de control inteligente. - M. : Nauka, 2006. - 333 p. — ISBN 5-02-033782-X .

Dicționare și enciclopedii	in jurul lumii
În cataloagele bibliografice	GND : 4076594-5