Funcții ortogonale

Două, în cazul general, funcții cu valori complexe și , aparținând spațiului Lebesgue , unde este o mulțime măsurabilă , se numesc ortogonale dacă $\varphi _{1}(t)$ $\varphi _{2}(t)$ $L_2(E)$ $E$

\int\limits_{E}\!\varphi_1(t)\overline{\varphi_2(t)}\,dt = 0

Pentru funcțiile vectoriale, produsul scalar al funcțiilor sub o integrală este introdus, iar integrarea peste un segment este înlocuită cu integrarea peste o regiune a dimensiunii corespunzătoare. O generalizare utilă a conceptului de ortogonalitate este ortogonalitatea cu o anumită pondere. Sunt ortogonale cu greutatea funcției și dacă $w$ $f$ $g$

\ \int\limits_\Omega\!\langle f(x),g(x)\rangle w(x)\,d\Omega = 0

unde este produsul scalar al vectorilor și sunt valorile funcțiilor cu valori vectoriale și în punctul , este punctul regiunii și este elementul volumului acesteia ( măsură ). Această formulă este scrisă în modul cel mai general în comparație cu toate cele de mai sus. În cazul scalarilor reali , produsul scalar trebuie înlocuit cu cel obișnuit; în cazul scalarilor complecşi , : . $\langle f(x), g(x)\rangle$ $f(x)$ $g(x)$ $f$ $g$ $X$ $X$ $\Omega$ $d\Omega$ $f(x)$ $g(x)$ $f(x)$ $g(x)$ $\langle f(x), g(x)\rangle = \bar f(x) g(x)$

Cerința ca funcțiile să aparțină spațiului se datorează faptului că pentru spații nu formează un spațiu Hilbert și, prin urmare, este imposibil să se introducă un produs scalar pe ele și, odată cu acesta, ortogonalitatea. $L_2(E)$ $p \neq 2$ $L_p(E)$

Exemplu

$\sin x$ și sunt funcții ortogonale pe interval $\cos x$ $[0,\pi ]$
$\sin (2\pi knx$ ) și , unde este un număr întreg, sunt ortogonale pe interval $\cos (2\pi knx)$ $n$ $[0, T], T = 1/k$
$X$ și ortogonală pe interval $unu$ $[-1,1]$

Funcții ortogonale

Exemplu

Vezi și