Paradoxul lui Skolem

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 12 februarie 2019; verificările necesită 2 modificări .

Paradoxul lui Skolem este un raționament controversat descris pentru prima dată de matematicianul norvegian Turalf Skolem , asociat cu utilizarea teoremei Löwenheim-Skolem pentru teoria axiomatică a mulțimilor .

Spre deosebire de paradoxul lui Russell , paradoxul lui Cantor , paradoxul lui Burali-Forti , unde, cu ajutorul unor concluzii corecte din punct de vedere logic, se dezvăluie o contradicție „deghizată” în premisele inițiale, „contradicția” paradoxului lui Skolem decurge dintr-o eroare în raționamentul și o analiză atentă a problemei arată că acesta este doar un paradox imaginar . Cu toate acestea, luarea în considerare a paradoxului lui Skolem este de mare valoare didactică.

Formulare

Dacă sistemul de axiome al oricărei teorii axiomatice a mulțimilor este consistent, atunci, în virtutea teoremelor Gödel și Löwenheim-Skolem, are un model și, în plus, acest model poate fi construit pe numere naturale . Adică, este necesar doar un set numărabil de obiecte (fiecare dintre ele va corespunde unui set unic ) pentru a alege o valoare de predicat pentru fiecare pereche de obiecte care satisface pe deplin axiomele acestei teorii (de exemplu, sau - presupunând consistență , vezi Axiomatica teoriei mulțimilor ). Într-o astfel de situație, pentru fiecare obiect al modelului, doar un număr finit sau numărabil de obiecte (pur și simplu nu mai există în domeniul subiectului) poate fi inclus în relație . Reparăm un astfel de model cu un numărabil ca domeniu. $M$ $x\în y$ $\mathrm {ZF}$ $\mathrm {ZFC}$ $y$ $\ldots \în y$ ${\mathfrak {M}}$ $M$

În virtutea teoremelor , indiferent de modelul acceptat în acesta este deductibilă , de exemplu, existența unui termen a cărui cardinalitate este nenumărabilă. Dar într-un model numărabil, orice set este forțat să fie nu mai mult decât numărabil - o contradicție? $\mathrm {ZF}$ $\mathrm {ZF}$ ${\mathcal {P}}(\omega )$

Rezoluție

Să discutăm cu atenție. Faptul înseamnă că există un astfel de obiect încât formula de ordinul întâi corespunzătoare expresiei este adevărată în modelul de evaluare, în care variabila individuală este asociată cu obiectul . Teorema lui Cantor afirmă că este nenumărabil, ceea ce prin definiție înseamnă $\mathrm {ZF} \vdash \exists x(x={\mathcal {P}}(\omega ))$ $c\în M$ $x={\mathcal {P}}(\omega )$ ${\mathfrak {M}}$ $X$ $c$ $X$

\mathrm {ZF} \vdash \neg \exists f(f

— bijecție între și — bijecție între și

{\mathcal {P}}(\omega )

\omega)\land \exists f(f

\omega

\omega \cup {\omega}),

unde " este o bijecție între și " înseamnă , unde este orice codificare a perechilor ordonate , de exemplu, . $f$ $A$ $B$ $\forall x\forall y(\langle x,\;y\rangle \in f\Leftrightarrow (x\in A\land y\in B))$ $\langle x,\;y\rangle$ $\langle x,\;y\rangle =\{x,\;y,\;\{x\}\)$

Dar aceasta înseamnă doar că printre elemente $M$ nu există astfel încât în model să satisfacă proprietățile bijecției dintre și . În același timp, nu este important ca relația de apartenență cu un obiect din corespunzător unui termen să poată include nu mai mult de un număr numărabil de obiecte din - important este că printre obiecte nu există care să implementeze bijecția necesară. . $f$ ${\mathfrak {M}}$ ${\mathcal {P}}(\omega )$ $\omega$ $M$ ${\mathcal {P}}(\omega )$ $M$ $M$ $f$

Raționamentul „dacă modelul este numărabil, atunci nu mai mult de un număr numărabil de obiecte poate intra în relație cu orice obiect” este un raționament extern teoriei axiomatice studiate și nu corespunde nici unei formule din această teorie. Dintr-un punct de vedere extern al teoriei „ mulțimea tuturor mulțimilor ” (a doua oară cuvântul „mulțime” înseamnă aici doar un obiect al domeniului subiectului ) poate exista și chiar poate fi numărabil, care nu este în niciun fel conectat (și deci nu poate contrazice) cu formulele deduse. $\în$ $\mathrm {ZF}$ $\mathrm {ZF}$ $\mathrm {ZF}$

Literatură

Kolmogorov A. N. , Dragalin A. G. Logica matematică. — M.: URSS, 2005. — 240 p.
Frenkel A. A. , Bar-Hillel I. Fundamentele teoriei mulțimilor. — M.: Mir, 1966. — 556 p.