Prima și a doua teoremă a lui Helly

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 25 august 2017; verificarea necesită 1 editare .

Există o corespondență unu-la-unu între funcțiile de distribuție și un set de funcții caracteristice ale acestora . $\left\{F_{\xi }\left(x\right)\right\}$ $\left\{f_{\xi }\left(t\right)\right\}$

Inclusiv teoremele lui Helly arată că această corespondență nu este doar unu-la-unu , ci și reciproc continuă .

Prima și a doua teoremă a lui Helly

Prima teoremă a lui Helly

Din orice succesiune de funcții de distribuție, se poate alege o subsecvență slab convergentă . $\stanga\{F_{x}\dreapta\}$

A doua teoremă a lui Helly

Dacă este o funcție mărginită continuă pe linie și apoi $g\stanga(x\dreapta)$ $F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right), F\left(\infty \right) -F\left(-\infty \right)=1,$

\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{ -\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF\left(x\right)

Dovada primei teoreme a lui Helly

Să fie un set numărabil peste tot dens pe linie . $D=\stânga\{x_{k}\dreapta\}$

Din șirul mărginit alegem o subsecvență convergentă , a cărei limită o notăm $0\leq F_{n}\left(x_{1}\right)\leq 1$ $F_{1n}\left(x_{1}\right)$ $F\left(x_{1}\right).$

Din șirul mărginit, alegem o subsecvență convergentă și așa mai departe. $0\leq F_{1n}\left(x_{2}\right)\leq 1$ $F_{2n}\left(x_{2}\right)\rightarrow F\left(x_{2}\right)$

Apoi, alegeți o subsecvență diagonală , pentru care, pentru orice punct $f_{nn}\stanga(x\dreapta)$ $F_{nn}\left(x\right)\rightarrow F\left(x\right)$ $x_{k}\în D.$

După lemă, asta implică $F_{nn}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right).$

Lema

Dacă pe un dens peste tot pe un set direct , atunci $F_{n}\left(x\right)\rightarrow F\left(x\right)$ $D$ $F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right).$

Notă

$F\stânga(x\dreapta)$ poate să nu fie o funcție de distribuție . De exemplu, dacă la și atunci $F_{n}\left(x\right)=0$ $x<n$ $F_{n}\left(x\right)=1$ $x\geq n,$ $F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right)=0.$

Dovada celei de-a doua teoreme a lui Helly

Să fie puncte de continuitate Să demonstrăm mai întâi asta $a<b$ $F\stânga(x\dreapta)$

\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{a}^ {b}g\stanga(x\dreapta)dF\stanga(x\dreapta)

Lasă . Să împărțim prin puncte de continuitate a funcției în segmente astfel încât pentru puncte . $\varepsilon >0$ $\left[a,b\right]$ $a=x_{0},x_{1},...,x_{N-1},x_{N}=b$ $F\stânga(x\dreapta)$ $\left[x_{k-1},x_{k}\right]$ $\left|g\left(x\right)-g\left(x_{k}\right)\right|<\varepsilon$ $x\in \left[x_{k-1},x_{k}\right]$

Acest lucru se poate face, deoarece este uniform continuu pe , iar punctele de continuitate sunt peste tot dense. $g\stanga(x\dreapta)$ $\left[a,b\right]$ $F\stânga(x\dreapta)$

Să definim o funcție de pas .

g_{\varepsilon}\left(x\right)=g\left(x_{k}\right)

pe .

x\in \left(x_{k-1},x_{k}\right]

Apoi

\left|\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{a}^{b}g\left( x\right)dF\left(x\right)\right|\leq \int _{a}^{b}\left|g\left(x\right)-g_{\varepsilon }\left(x\right) )\right|dF_{n}\left(x\right)+\left|\int _{a}^{b}g_{\varepsilon }dF_{n}-\int _{a}^{b}g_ {\varepsilon }dF\right|+\int _{a}^{b}\left|g\left(x\right)-g_{\varepsilon }\left(x\right)\right|dF\left( x\dreapta)\leq

\leq 2\varepsilon +{\mathsf {M}}\left[\sum _{k=1}^{N}\left[F_{n}\left(x_{k}\right) -F \left(x_{k}\right)-\left(F_{n}\left(x_{k-1}\right)-F\left(x_{k-1}\right)\right)\right] \dreapta].

unde . ${\mathsf {M}}=sup_{x}\left|g\left(x\right)\right|.$

Pentru , ultimul termen poate fi făcut arbitrar mic, de unde rezultă $n\rightarrow\infty$

\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{a}^ {b}g\left(x\right)dF\left(x\right).

Pentru dovada

\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{ -\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF\left(x\right)

alegeți astfel încât și și astfel încât punctele să fie puncte de continuitate $X>0$ $F\left(-X\right)<{\frac {\varepsilon }{4}}$ $1-F\left(X\right)<{\frac {\varepsilon }{4}}$ $\pm X$ $F\stanga(x\dreapta).$

Apoi, din moment ce se poate alege astfel încât pentru și $F_{n}\left(\pm X\right)\rightarrow F\left(\pm X\right)$ $n_{0}$ $n\geq n_{0},F_{n}\left(-X\right)<{\frac {\varepsilon {2)}$ $1-F_{n}\left(X\right)<{\frac {\varepsilon {2)).$

Să estimăm diferența

\left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\ int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{ -X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left( x\right)\right|+\left|\int _{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)\right| +\left|\int _{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq

\leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\ int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+{\mathsf {M}}\varepsilon +{\frac {{\mathsf {M} }\varepsilon }{2}}.

Pe baza acestui lucru, tragem concluzia că partea dreaptă $\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{a}^ {b}g\stanga(x\dreapta)dF\stanga(x\dreapta)$

\left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\ int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{ -X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left( x\right)\right|+\left|\int _{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)\right| +\left|\int _{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq

\leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\ int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+{\mathsf {M}}\varepsilon +{\frac {{\mathsf {M} }\varepsilon }{2}}.

poate fi făcut arbitrar mic, ceea ce demonstrează teorema.

Vezi și

Teorema limitei directe și inverse

Literatură

Sevastyanov V.A. Curs de Teoria Probabilității și Statistică Matematică. - 1982. - 254 p.