Funcţie semi-continuă

Semi -continuitatea în calcul este o proprietate mai slabă a unei funcții decât continuitatea. O funcție este mai mică semicontinuă într-un punct dacă valoarea funcției în punctele apropiate nu este cu mult mai mică decât valoarea funcției în ea. O funcție este semicontinuă superioară într-un punct dacă valorile funcției în puncte apropiate nu depășesc cu mult valorile funcției în ea.

Definiții

Să fie dat un spațiu metric complet.O funcție cu valoare reală se numește semicontinuă inferior (sus) într-un punct dacă $(X,\varrho ).$ $f:X \to \mathbb{R}$ $x_{0}\în X$

\varliminf _{{x\to x_{0}}}f(x)\geq f(x_{0})\;\left(\varlimsup _{{x\to x_{0}}}f(x) \leq f(x_{0})\right).

Se spune că o funcție este semicontinuă inferioară (superioară) dacă este semicontinuă inferioară (superioară) pentru toate . $f$ $M\subset X$ $x_{0}\în M$

Proprietăți

O funcție este semicontinuă inferioară dacă și numai dacă mulțimea este deschisă în topologia standard a liniei reale pentru oricare $f:X\la \mathbb{R}$ $\{x\in X\mid f(x)>a\}$ $a\in \mathbb{R} .$
Fie două funcții inferioare (superioare) semicontinue. Apoi suma lor este , de asemenea, inferioară (superioară) semicontinuă. $f,g:X\la \mathbb{R}$ $f+g$
Limita unei secvențe monoton crescătoare (descrescătoare) de funcții semicontinue inferioare (superioare) la un punct este o funcție semicontinuă inferioară (superioară) în . Mai precis, să fie dată o succesiune de funcții semi-continue inferioare (superioare) astfel încât Atunci, dacă există limita, atunci este semi-continuă inferioară (superioară). $x_{0}$ $x_{0}$ $f_{n}:X\la {\mathbb {R)],\;n\în {\mathbb {N))$ $f_{{n+1}}(x)\geq (\leq )f_{n}(x)\;\forall n\in {\mathbb {N}}\;\forall x\in X.$ $\lim \limits _{{n\to \infty }}f_{n}(x)=f(x)\;\forall x\in X,$ $f$
Dacă și există funcții semicontinue, respectiv, de jos și, respectiv, de sus și întreg spațiul este satisfăcut, atunci există o funcție continuă , astfel încât $u:X\la {\mathbb {R}}$ $v:X\la {\mathbb {R}}$
$-\infty <v(x)\leq u(x)<\infty ,\;x\in X,$
$f:X \to \mathbb{R}$
$v(x)\leq f(x)\leq u(x),\;x\în X.$
( Teorema lui Weierstrass ) Să se dea o submulțime compactă Atunci funcția semicontinuă inferioară (superioară) își atinge minimul (maximul) pe . $K\subset X.$ $f:K\la \mathbb{R}$ $K$

Exemple

Partea întreagă este o funcție superioară semicontinuă; $x\mapsto[x]$
Partea fracționată este semicontinuă inferioară. $x\mapsto\{x\}$
Indicatorul unui set arbitrar deschis în topologia generată de metrică este o funcție semicontinuă inferioară. ${\mathbf {1}}_{U}$ $\varrho$ $U\subset X$
Indicatorul unei mulțimi închise arbitrare este o funcție superioară semicontinuă. ${\mathbf {1}}_{V}$ $V\subset X$

Literatură

Natanson I.P., Teoria funcțiilor unei variabile reale , ed. a III-a, M., 1974;
Sachs S, Teoria integrală , trad. din engleză, M., 1949.