Transformarea Mehler-Fock

Transformarea Mehler-Fock a funcției are forma: $f(x)$

F(\tau )=\int _{1}^{\infty }f(x)P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau}(x)dx,\quad \ tau \geqslant 0,

unde este funcţia Legendre sferică de primul fel . Dacă este o funcție reală și $P_{\nu }(x)$ $f(x)$

f(x)f(x)P_{-{\frac {1}{2}}}(x)\in L(1,+\infty ),

atunci integrala , înţeleasă în sensul lui Lebesgue , este o funcţie reală definită pentru orice . $F(\tau )$ $\tau \geqslant 0$

Transformarea inversă arată astfel:

f(x)=\int _{0}^{\infty }\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )F(\tau )P_{-{\frac {1} {2}}+i\tau }d\tau .

Această transformare a fost introdusă pentru prima dată de G. F. Mehler în 1881, principalele teoreme referitoare la ea fiind demonstrate de V. A. Fock .

Transformarea Mehler-Fock își găsește aplicație în rezolvarea problemelor de teoria potențialului , teoria conducției căldurii , în rezolvarea ecuațiilor integrale liniare și a altor probleme de fizică matematică .

Alte definiții

Uneori definiția este extinsă la , presupunând $F(\tau )$ $\tau <0$

F(-\tau )=F(\tau ).

Teoria transformării Mehler-Fock se bazează pe extinderea unei funcții arbitrare într-o integrală de tip Fourier:

f(x)=\int _{0}^{\infty }\int _{1}^{\infty }\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )P_{- {\frac {1}{2}}+i\tau }f(\xi )P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(\xi )d\xi d\tau .

Pe baza acesteia, pot fi obținute și alte definiții posibile ale transformării Mehler-Fock.

Există o definiție în literatură:

{\tilde {F}}(x)=\int _{0}^{\infty }P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)f(\tau )d\tau ,\quad x\geqslant 1.

Atunci, dacă , este integrabil local pe și , atunci formula de inversare este adevărată: $f(\tau)\in L[0,\infty )$ $|f'(\tau )|$ $[0, \infty)$ $f(0) = 0$

f(\tau )=\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )\int _{1}^{\infty }P_{-{\frac {1}{2)} +i\tau }(x){\tilde {F}}(x)dx.

Calcul

Calculul propriu-zis al transformării Mehler-Fock se realizează prin intermediul reprezentărilor integrale ale funcțiilor Legendre și modificarea ulterioară a ordinii integrării.

Exemple de astfel de reprezentări integrale sunt:

P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(\mathrm {ch} \,\alpha )={\frac {2}{\pi }}\int _{0} ^{\alpha }{\frac {\cos \tau s}{\sqrt {2(\mathrm {ch} \,\alpha -\mathrm {ch} \,s)))}ds,\quad \alpha \ geqslant 0,

(această reprezentare este numită și integrala Mehler)

P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(\mathrm {ch} \,\alpha )={\frac {2}{\pi }}\mathrm {ch} \ ,\pi \tau \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos \tau s}{\sqrt {2(\mathrm {ch} \,\alpha -\mathrm {ch} \,s )}}}ds,\quad \alpha \geqslant 0.

Egalitatea lui Parseval

Pentru transformarea Mehler-Fock, se poate obține un analog al egalității Parseval pentru transformata Fourier .

Fie două funcții arbitrare care îndeplinesc condițiile: $g_{k}(x),\;i=1,2$

g_{k}(x)x^{-{\frac {1}{2}}}\ln(1+x)\in L(1,\infty),\quad g_{k}(x )\în L_{2}(1,\infty ),

iar transformarea Mehler-Fock este dată de egalitățile:

G_{k}(\tau )=\int _{1}^{\infty }{\sqrt {\tau \mathrm {th} \,\pi \tau }}P_{-{\frac {1 }{2}}+i\tau }(x)g_{k}(x)dx,\quad i=1,2,

g_{k}(x)=\int _{0}^{\infty }{\sqrt {\tau \mathrm {th} \,\pi \tau }}P_{-{\frac {1} {2}}+i\tau }(x)G_{k}(\tau )dx,\quad i=1,2,

atunci egalitatea Parseval este valabilă pentru transformarea Mehler-Fock:

\int _{0}^{\infty }G_{1}(\tau )G_{2}(\tau )d\tau =\int _{1}^{\infty }g_{1}( x)g_{2}(x)dx.

Exemplu de utilizare

Luați în considerare un exemplu de soluție folosind transformarea Mehler-Fock a ecuației integrale:

f(x)=g(x)+\lambda \int _{1}^{\infty }{\frac {f(s)}{x+s}}ds,\quad x\geqslant 1, \quad \pi \lambda<1.

Lasă transformările Mehler-Fock

F(\tau )=\int _{1}^{\infty }f(x)P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)dx,

G(\tau )=\int _{1}^{\infty }g(x)P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)dx,

exista.

Apoi ecuația poate fi transformată în forma:

F(\tau)=G(\tau)+{\frac {\lambda \pi }{\mathrm {ch} \,(\pi \tau )))F(\tau),

Unde:

F(\tau )={\frac {G(\tau )}{1-{\frac {\lambda \pi }{\mathrm {ch} \,(\pi \tau ))))).

If este o funcție continuă a variației mărginite în orice interval finit și $g(x)$ $x\in(1,b),$

g(x)P_{\frac {1}{2}}(x)\in L(1,+\infty ),

G(\tau)\tau \in L(0,+\infty),

apoi cu ajutorul formulei de inversare obținem soluția ecuației inițiale:

f(x)=\int _{0}^{\infty }\tau \mathrm {th} \,(\pi \tau ){\frac {G(\tau )}{1-{\frac {\lambda \pi }{\mathrm {ch} \,(\pi \tau )))))P_{-{\frac {1}{2))+i\tau }(x)d\tau .

Transformă Mehler-Fock generalizată

Transformarea Mehler-Fock generalizată este dată de formula:

{\tilde {F}}_{k}(x)=\int _{0}^{\infty }P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }^{( k)}f(\tau )d\tau ,

unde sunt funcţiile Legendre asociate de primul fel. $P_{\nu }^{(k)}(x)$

Formula de conversie corespunzătoare este:

f(\tau )={\frac {\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )}{2))\Gamma \left({\frac {1}{2)} -k+ix\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}-k-ix\right)\int _{1}^{\infty }P_{-{\frac {1}{ 2}}+i\tau }^{(k)}(x){\tilde {F}}_{k}(x)dx.

Cazuri speciale

La , obținem cazul transformării obișnuite Mehler-Fock . $k = 0$ ${\tilde {F}}(x)$
Când obțineți transformata Fourier cosinus . $k={\frac {1}{2}),x=\,\mathrm {ch} \,\alpha$
Când obțineți transformata Fourier sinusoială . $k=-{\frac {1}{2)),x=\,\mathrm {ch} \,\alpha$

Literatură

Enciclopedia matematică Ed. colegiu: I. M. Vinogradov (șef redactor) [și alții] M., „Enciclopedia Sovietică”, 1977-1985.
Ditkin V. A., Prudnikov A. P. Transformări integrale și calcul operațional.- M, Fizmatgiz, 1961

Transformări integrale
Abel transforma Bessel se transformă Transformarea Bushman Transformarea Gegenbauer Transformarea Hilbert Transformarea Kontorovich-Lebedev Transformarea Laplace Transformarea Meyer Transformarea Mehler-Fock Transformarea Mellin Transformarea Nerain Transformarea radonului Stieltjes transforma transformata Fourier Transformarea Hankel Transformarea Hartley