Ideal primar

În algebra comutativă, un Q ideal al unui inel comutativ A se numește primar dacă nu coincide cu întregul inel, iar pentru orice element Q de forma xy , fie x , fie y n pentru unele n>0 este, de asemenea, un element al Q. De exemplu, în inelul numerelor întregi Z , un ideal este prim dacă și numai dacă are forma ( p n ), unde p  este un număr prim .

Idealurile primare sunt importante în teoria inelelor comutative deoarece orice ideal al unui inel noetherian are o descompunere primară, adică poate fi scris ca intersecția unui număr finit de idealuri primare. Acest rezultat este cunoscut sub numele de teorema Lasker-Noether .

Idealurile primare sunt de obicei considerate în teoria inelelor comutative, astfel încât în ​​exemplele următoare se presupune că inelul este comutativ și cu unitate.

Exemple și proprietăți

• Orice ideal prim este primar.
• Un ideal este prim dacă și numai dacă orice divizor zero din inelul coeficient față de acesta este nilpotent .
• Dacă Q  este un ideal primar, atunci radicalul său P este simplu. În acest caz Q se numește P -primar.
• Dacă P  este un ideal prim maxim , atunci orice putere a lui P  este un ideal primar. Totuși, nu toate idealurile P -primare sunt puteri ale lui P , de exemplu, idealul ( x ,  y 2 ) este P - primar pentru P  = ( x ,  y ) în inelul k [ x ,  y ], dar nu este un puterea lui P.
• Dacă A  este un inel Noetherian și P  este un ideal prim, atunci nucleul mapării de la A la localizarea sa prin idealul P este intersecția tuturor idealurilor P -primare. [unu]

Note

1. ↑ Atiyah-McDonald, Corolarul 10.21

• Atiyah M., McDonald I. Introducere în algebra comutativă. - Presa factorială , 2003 - ISBN 5-88688-067-4 .
• Gorton, Christine și Heatherly, Henry (2006), Inele și idealuri primare generalizate, Matematică. panon. T. 17 (1): 17–28, ISSN 0865-2090