Ring de privat

Inelul de câte S −1 R al unui inel comutativ R (cu unitate) conform sistemului multiplicativ este spațiul fracțiilor cu numărători din R și numitori din S cu operații aritmetice și identificări uzuale pentru fracții.

Se foloseşte şi termenul de localizare a inelului R în raport cu mulţimea S. Acest termen provine din geometria algebrică : dacă R  este un inel de funcții pe o varietate algebrică V , atunci pentru a studia proprietățile locale ale acestei varietăți într-un punct p , se consideră de obicei mulțimea de funcții care nu sunt egale cu zero la acest punct și localizează R de-a lungul acestei mulțimi.

Notația obișnuită pentru o localizare (sau un inel de coeficienti) este S −1 R , dar alte notații sunt mai des folosite în unele cazuri. Astfel, dacă S  este complementul unui ideal prim I , localizarea lui R se notează cu R I (și se numește localizarea inelului printr-un ideal prim), iar dacă S  este mulțimea tuturor puterilor elementului f , se folosește notația R f . Ultimele două cazuri sunt fundamentale pentru teoria circuitelor .

Definiție

Un sistem multiplicativ dintr-un inel R este o submulțime S din R care conține 1, nu conține zero și este închis la înmulțire (în inelul R ). Pentru un sistem multiplicativ S , mulțimea formează un ideal în inelul R . În cazul în care mulțimea S nu conține divizori zero ai inelului R , idealul este format doar din zero, iar sistemul S se numește regulat. Dacă R  este un inel integral , atunci fiecare sistem multiplicativ din el este regulat.

Elementele inelului de fracții ale inelului R prin sistemul multiplicativ S sunt fracții formale de forma r/s , unde r  este un element arbitrar al lui R și s  este un element al mulțimii S . Două fracții și sunt considerate echivalente (reprezintă același element al inelului coeficient) dacă . Operațiile de adunare și înmulțire sunt definite ca de obicei:

Se verifica ca daca in suma sau produs fractiile sunt inlocuite cu altele echivalente, noul rezultat va fi exprimat printr-o fractie echivalenta cu cea precedenta. Cu astfel de operații, mulțimea capătă structura unui inel comutativ cu unitate. Zero din el este fracția 0/1 , unitatea este fracția 1/1 .

Câmp privat

Dacă R  este un domeniu de integritate , atunci mulțimea tuturor elementelor sale non-nule formează un sistem multiplicativ. Inelul de câte conform acestui sistem este un câmp și se numește câmp de câte sau câmp de relații , este de obicei notat Frac(R) sau Quot(R) . Toate elementele câmpului coeficient sunt de forma a/b , unde a, b  sunt elemente ale lui R și b ≠ 0, cu regulile aritmetice obișnuite pentru reducerea numărătorului și numitorului, adunare și înmulțire. Este ușor de observat că câmpul de câte este cel mai mic câmp în care R poate fi încorporat . De exemplu, câmpul de câte a unui câmp este izomorf cu câmpul însuși.

Există o încorporare naturală a unui inel în câmpul său coeficient, trimițând a la a/1 . Câmpul fracțiilor unui inel R satisface următoarea proprietate universală : dacă h  : R → F  este un homomorfism injectiv al inelelor din R într-un câmp F , atunci există un homomorfism inel unic g  : Quot( R ) → F care coincide cu h pe elementele lui R . Această proprietate universală poate fi exprimată în următoarele cuvinte: câmpul de coeficienti este o modalitate standard de a face inversabile elementele unui inel , respectiv, inelul de coeficienti este o modalitate standard de a face un subset de elemente ale unui inel inversabil .

Din punct de vedere al teoriei categoriilor, construcția câmpului de coeficient poate fi descrisă după cum urmează. Să considerăm o categorie ale cărei obiecte sunt inele integrale și ale cărei morfisme sunt homomorfisme de inel injectiv. Există un functor de uitare din categoria câmpurilor la această categorie (deoarece toate homomorfismele de câmp sunt injective). Se pare că acest functor are un adjunct stâng și atribuie unui inel integral câmpul său de fracții.

Proprietăți

• Inelul fracțiilor are structura canonică a unei algebre peste inelul R, deoarece împreună cu inelul S −1 R este imediat definit omomorfismul canonic al inelului R în S −1 R (fiecare element r din R corespunde fracției r/1 ). Miezul acestui homomorfism este idealul . Dacă sistemul S este regulat (nu conține divizori zero), acest homomorfism este injectiv, iar inelul R este astfel înglobat în inelul său de coeficienti față de sistemul S . În acest caz, fracția r/s este singura soluție a ecuației sx = r .
• Dacă ambele elemente r și s aparțin lui S , atunci inelul S −1 R conține fracțiile r/s și s/r . Produsul lor este 1, deci sunt inversabile. În schimb, fiecare element inversabil al inelului S −1 R are forma er/s , unde r și s aparțin lui S și e  este un element inversabil al inelului R .
• Dacă R  este un inel euclidian , atunci orice inel intermediar între R și câmpul său de fracții este un inel de fracții ale inelului R de către un sistem multiplicativ S.
• Dacă sistemul S constă numai din elemente inversabile ale inelului R , atunci homomorfismul canonic al inelului R în S −1 R se transformă într- un izomorfism , deoarece fiecare fracție r/s se dovedește a fi anulabilă în inelul R .
• Există o bijecție între mulțimea idealurilor prime S −1 R și mulțimea idealurilor prime R care nu intersectează mulțimea S (indusă de homomorfismul R → S −1 R ). Un caz special important al acestei proprietăți: localizarea unui inel de către un ideal prim p dă un inel local al cărui singur ideal prim este generat de imaginile elementelor lui p .

Exemple

• Câmpul câterilor inelului de numere întregi este câmpul numerelor raționale .
• Puterile lui 10 formează un sistem multiplicativ. Inelul de câte în raport cu acesta va fi inelul de fracții zecimale finite.
• Câmpul de câte a inelului polinomial peste câmpul k va fi câmpul funcțiilor raționale .
• Numerele pare formează un ideal prim. Localizarea inelului conform acestuia va fi inelul fracțiilor raționale, în care numitorul în formă ireductibilă este un număr impar.
• Se consideră un inel polinomial k [ x ] și f = x . Atunci R f  este inelul polinoamelor Laurent k [ x, x −1 ].

Module private

Aproximativ aceeași construcție poate fi aplicată modulelor și pentru un A -modul M arbitrar se consideră modulul de coeficienti S −1 M . Și anume, să  fie mulțimea elementelor de modul anihilate prin înmulțirea cu un element al sistemului multiplicativ S , este ușor de verificat că această mulțime este închisă sub adunare și înmulțire cu un element al inelului. Modulul fracțiilor S −1 M  este mulțimea fracțiilor formale de forma m/s cu relația de echivalență , dacă , cu operația uzuală de adunare a fracțiilor, precum și cu operația de înmulțire cu elemente ale inelului S − 1 A de forma m/s * a/s' = am /ss' .

Fie  un homomorfism al modulelor A ; acesta induce un homomorfism al modulelor S −1 A care mapează m /s la u(m)/s . Este evident că , adică operația S −1 este un functor . Mai mult, acest functor este exact . [1] Rezultă că dacă este un submodul de , atunci este un submodul de . Dacă luăm în considerare două submodule ale unui modul dat, atunci aplicarea lui S −1 la acestea permută cu luarea sumei modulelor, intersecția modulelor și luarea modulului coeficient.

Există o reprezentare a modulului de coeficienti prin intermediul unui produs tensor: Din această reprezentare și din precizia functorului de localizare rezultă că modulul este plat .

Proprietăți locale

O proprietate P a unui inel A (sau a unui A -modul M ) se numește locală dacă următoarele afirmații sunt echivalente:

• A (respectiv M ) are proprietatea P ,
• A I (resp. M I ) are proprietatea P pentru toate idealurile prime I ale inelului A .

Pot fi date următoarele exemple de proprietăți locale: proprietatea unui modul de a fi egal cu zero, proprietatea unui homomorfism de a fi injectiv sau surjectiv (trebuie să ia în considerare homomorfismele induse de localizare), proprietatea unui modul de a fi plat .

Note

1. ↑ Atiyah M., McDonald I. Introducere în algebra comutativă. — 2003.

Link -uri

• Atiyah M., McDonald I. Introducere în algebra comutativă. - Presa factorială, 2003. - ISBN 5-88688-067-4 .
• Zarissky O., Samuel P. Algebră comutativă. - T.1. — M .: IL, 1963.