Spațiul stărilor (teoria controlului)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 26 iunie 2016; verificările necesită 10 modificări .

Spațiul de stări este una dintre principalele metode de descriere a comportamentului unui sistem dinamic în teoria controlului . Mișcarea sistemului în spațiul stărilor reflectă schimbarea stărilor sale .

Definiție

Spaţiul de stări se numeşte de obicei spaţiul de fază al unui sistem dinamic , iar traiectoria de mişcare a punctului reprezentativ din acest spaţiu se numeşte traiectoria de fază . [B:1] [B:2] [A:1]

În spațiul de stări, este creat un model al unui sistem dinamic , incluzând un set de variabile de intrare, ieșire și stare , interconectate prin ecuații diferențiale de ordinul întâi, care sunt scrise sub formă de matrice . Spre deosebire de descrierea funcției de transfer și de alte metode din domeniul frecvenței, spațiul de stare vă permite să lucrați nu numai cu sisteme liniare și condiții inițiale zero. În plus, este relativ ușor să lucrezi cu sisteme MIMO în spațiul de stat .

Sisteme liniare continue

Pentru cazul unui sistem liniar cu intrări, ieșiri și variabile de stare, descrierea este: $p$ $q$ $n$

\dot{\mathbf{x}}(t) = A(t) \mathbf{x}(t) + B(t) \mathbf{u}(t)

\mathbf{y}(t) = C(t) \mathbf{x}(t) + D(t) \mathbf{u}(t)

Unde

x(t) \in \mathbb{R}^n

; ; ;

y(t) \in \mathbb{R}^q

u(t) \in \mathbb{R}^p

\operatorname{dim}[A(\cdot)] = n \times n

, , , , :

\operatorname{dim}[B(\cdot)] = n \times p

\operatorname{dim}[C(\cdot)] = q \times n

\operatorname{dim}[D(\cdot)] = q \times p

\dot{\mathbf{x}}(t) := {d\mathbf{x}(t) \over dt}

x(\cdot)

este vectorul de stare ale cărui elemente se numesc stări de sistem

y(\cdot)

este vectorul de ieșire ,

u(\cdot)

este vectorul de control ,

A(\cdot)

este matricea sistemului ,

B(\cdot)

este matricea de control ,

C(\cdot)

este matricea de ieșire,

D(\cdot)

este matricea feedforward .

Adesea, matricea este zero, ceea ce înseamnă că nu există un feedforward explicit în sistem . $D(\cdot)$

Sisteme discrete

Pentru sistemele discrete , înregistrarea ecuațiilor în spațiu se bazează nu pe ecuații diferențiale , ci pe ecuații diferențiale :

\mathbf{x}(nT + T) = A(nT) \mathbf{x}(nT) + B(nT) \mathbf{u}(nT)

\mathbf{y}(nT) = C(nT) \mathbf{x}(nT) + D(nT) \mathbf{u}(nT)

Sisteme neliniare

Un sistem dinamic neliniar de ordinul al n-lea poate fi descris ca un sistem de n ecuații de ordinul I:

\dot x_1=f_1(x_1(t);\ldots,x_n(t),u_1(t),\ldots,u_m(t))

\vdots

\dot x_n=f_n(x_1(t);\ldots,x_n(t),u_1(t),\ldots,u_m(t))

sau într-o formă mai compactă:

\mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf{f}(t, \mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t))

\mathbf{y}(t) = \mathbf{h}(t, \mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t))

Prima ecuație este ecuația de stare , a doua este ecuația de ieșire .

Linearizare

În unele cazuri este posibilă liniarizarea descrierii sistemului dinamic pentru vecinătatea punctului de operare . În stare staționară , următoarea expresie este valabilă pentru punctul de funcționare : $(\mathbf{\tilde x}, \mathbf{\tilde u})$ $(\mathbf{\tilde u}= const)$ $\mathbf{\tilde x}= const,$

\mathbf{\dot{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{\tilde x},\mathbf{\tilde u})=\mathbf{0}

Prezentarea notației:

\delta\mathbf{u} = \mathbf{u}-\mathbf{\tilde u}

\delta\mathbf{x} = \mathbf{x}-\mathbf{\tilde x}

Expansiunea ecuației de stare într- o serie Taylor , limitată de primii doi termeni, dă următoarea expresie: $\mathbf{f}(\mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t))$

\mathbf{f}(\mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t))\aprox \mathbf{f}(\mathbf{\tilde x}(t),\mathbf{\tilde u} (t)) + \frac{\delta \mathbf{f}}{\delta \mathbf{x}} \delta \mathbf{x} + \frac{\delta \mathbf{f}}{\delta \mathbf{ u}} \delta \mathbf{u}

Când se iau derivate parțiale ale funcției vectoriale în raport cu vectorul variabilelor de stare și vectorul acțiunilor de intrare , se obțin matricele Jacobi ale sistemelor de funcții corespunzătoare : ${\mathbf {f))$ $\mathbf {x}$ $\mathbf {u}$

{\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {x} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {x_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\\\vdots &\ddots & \vdots \\{\frac {\delta \mathbf {f_{n)) }{\delta \mathbf {x_{1)) }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{n)) }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\end{bmatrix}}\quad {\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {u} }}={\begin{bmatrix }{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {u_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\ delta \mathbf {u_{p)) }}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\delta \mathbf {f_{n)) }{\delta \mathbf {u_{1)) } }&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{n)) }{\delta \mathbf {u_{p)) }}\end{bmatrix}}

În mod similar pentru funcția de ieșire:

{\frac {\delta \mathbf {h} }{\delta \mathbf {x} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {x_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\\\vdots &\ddots & \vdots \\{\frac {\delta \mathbf {h_{q)) }{\delta \mathbf {x_{1)) }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{q)) }{\delta \mathbf {x_{n)) }}\end{bmatrix}}\quad {\frac {\delta \mathbf {h} }{\delta \mathbf {u} }}={\begin{bmatrix }{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {u_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\ delta \mathbf {u_{p)) }}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\delta \mathbf {h_{q)) }{\delta \mathbf {u_{1)) } }&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{q)) }{\delta \mathbf {u_{p)) }}\end{bmatrix}}

Ținând cont de , descrierea liniarizată a sistemului dinamic din vecinătatea punctului de operare va lua forma: $\delta \mathbf{\dot x}=\mathbf{\dot x}-\mathbf{\dot \tilde x}=\mathbf{\dot x}$

$\mathbf{\punct x}$	$=\mathbf{A}\delta \mathbf{x}+\mathbf{B} \delta \mathbf{u}$
$\delta \mathbf{y}$	$=\mathbf{C}\delta \mathbf{x}+\mathbf{D} \delta \mathbf{u}$

Unde

\mathbf{A}=\frac{\delta \mathbf{f}}{\delta \mathbf{x}}\quad \mathbf{B}=\frac{\delta \mathbf{f}}{\delta \mathbf {u}}\quad \mathbf{C}=\frac{\delta \mathbf{h}}{\delta \mathbf{x}}\quad \mathbf{D}=\frac{\delta \mathbf{h} }{\delta \mathbf{u))

Exemple

Modelul de stat-spațiu pentru pendul

Pendulul este un sistem clasic neliniar liber . Din punct de vedere matematic, mișcarea pendulului este descrisă de următoarea relație:

ml{\ddot {\theta }}(t)=-mg\sin \theta (t)-kl{\dot {\theta }}(t)

Unde

$\theta (t)$ este unghiul de deviere al pendulului.
$m$ este masa redusă a pendulului
$g$ - accelerarea gravitației
$k$ — coeficientul de frecare în rulmentul suspensiei
$l$ - lungimea suspensiei pendulului

În acest caz, ecuațiile din spațiul stărilor vor arăta astfel:

\dot{x_1}(t) = x_2(t)

\dot{x_2}(t) = - \frac{g}{l}\sin{x_1}(t) - \frac{k}{m}{x_2}(t)

Unde

$x_{1}(t):=\theta (t)$ - unghiul de deviere al pendulului
$x_2(t) :=\dot{x_1}(t)$ este viteza unghiulară a pendulului
$\dot{x_2}(t) :=\ddot{x_1}(t)$ este accelerația unghiulară a pendulului

Scrierea ecuațiilor de stare în formă generală:

\dot{\mathbf{x}}(t) = \left( \begin{matrice} \dot{x_1}(t) \\ \dot{x_2}(t) \end{matrice} \right) = \mathbf {f}(t, x(t)) = \left( \begin{matrix} x_2(t) \\ - \frac{g}{l}\sin{x_1}(t) - \frac{k}{ m}{x_2}(t) \end{matrice} \right)

Linearizarea modelului pendulului

Matricea sistemului liniarizat pentru modelul pendulului din vecinătatea punctului de echilibru are forma: $\left(\tilde x_1=0 \right)$

\frac{\delta \mathbf{f}}{\delta \mathbf{x}} = \left( \begin{matrix} 0&\ 1 \\ -\frac{g}{l}\cos{\tilde x_1} &\ - \frac{k}{m} \end{matrice} \right) = \left( \begin{matrix} 0&\ 1 \\ -\frac{g}{l}&\ - \frac{k} {m} \end{matrice} \right)

În absența frecării în suspensie ( k = 0 ) obținem ecuația de mișcare a unui pendul matematic :

\ddot x = -\frac{g}{l}x

Vezi și

Teoria controlului
spațiu fazelor
Criteriul de stabilitate în spațiul de stat
Conceptul de spațiu
sistem de referință
controlul modal

Literatură

Cărți

↑ Andronov A. A. , Leontovich E. A. , Gordon I. M. , Mayer A. G. Teoria bifurcațiilor sistemelor dinamice pe un plan. - M .: Nauka, 1967.
↑ Andronov A. A. , Witt A. A. , Khaikin S. E. Teoria oscilațiilor. - Ed. a II-a, revizuită. și corectat.- M . : Nauka, 1981. - 918 p.

Articole

↑ Feigin M.I. Manifestarea efectelor memoriei de bifurcare în comportamentul unui sistem dinamic // Soros Educational Journal : Journal. - 2001. - T. 7 , nr. 3 . - S. 121-127 . Arhivat din original la 30 noiembrie 2007. (Rusă)

Link -uri

Ecuații diferențiale inițiale ale ACS