Soluții la ecuațiile lui Einstein

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 3 decembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Rezolvarea ecuației Einstein înseamnă găsirea formei tensorului metric spațiu-timp. Sarcina este stabilită prin stabilirea condițiilor la limită, condițiile de coordonare și scrierea tensorului energie-impuls , care poate descrie atât un obiect punctual masiv, materie sau energie distribuită, cât și întregul Univers în ansamblu. În funcție de forma tensorului energie-impuls, soluțiile ecuației Einstein pot fi împărțite în soluții de vid, câmp, distribuite, cosmologice și ondulatorii. Există și clasificări pur matematice ale soluțiilor bazate pe proprietățile topologice sau algebrice ale spațiu-timpului pe care îl descriu sau, de exemplu, pe simetria algebrică a tensorului Weyl al unui spațiu dat ( clasificarea lui Petrov ). $g_{\mu \nu }$ $T_{\mu \nu }$

Clasificare în funcție de umplerea spațiului

Această clasificare se bazează pe forma tensorului energie-impuls și mai multe tipuri de soluții pot fi distinse aici: $T_{{\alpha \beta }}$

Soluții în vid - astfel de soluții se obțin dacă:

T_{\alpha \beta}=0.

Astfel, ecuațiile lui Einstein se reduc la:

G_{\alpha \beta}+\Lambda g_{\alpha \beta}=0

R_{\alpha \beta}=\Lambda g_{\alpha \beta}.

În matematică, astfel de soluții sunt numite spații Einstein și multe lucrări sunt dedicate studiului lor în cadrul geometriei riemanniene și pseudo-riemanniene.

Cea mai simplă dintre aceste soluții la este spațiul-timp Minkowski, care descrie un spațiu absolut gol în absența unei constante cosmologice. Aceste soluții pot descrie și spațiul-timp din jurul unui obiect compact masiv (până la suprafața sau singularitățile sale). Acestea includ valorile lui Schwarzschild , Schwarzschild-Desitter [1] , Kerr , Reissner-Nordström, Kerr-Newman, Newman-Unti-Tamburino (NUT), Taub-NUT, Kottler, Eretz-Rosen, Cuvedo și alții. $\lambda=0$

O clasă importantă de astfel de soluții din punct de vedere fizic sunt și soluțiile de undă, care descriu propagarea undelor gravitaționale prin spațiul gol.

Soluții de câmp - uneori câmpuri diferite sunt considerate ca sursă a câmpului gravitațional. În cazul unui câmp fără masă, se iau adesea:

câmp electromagnetic (soluții de electrovacuum generate, după cum se spune, de ecuațiile Einstein-Maxwell)

T^{\alpha \beta}={\frac {1}{4\pi }}\left(F^{\alpha }{}_{\lambda}F^{\lambda \beta}+{ \frac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }\right);

câmp scalar fără masă (soluții scalare)

T^{\alpha \beta}=8\pi \left(\phi ^{;\alpha }\phi ^{;\beta }+{\frac {1}{2}}\phi _{; \mu }\phi ^{;\mu }g^{\alpha \beta }\right).

Dintre câmpurile masive se folosește un câmp scalar (de obicei cu o autoacțiune non-trivială) - așa se obțin stelele bosonice - sau câmpul clasic Dirac (bispinor).

Soluții distribuite - astfel de soluții descriu diferite tipuri de materie, pentru care se folosește de obicei aproximarea „fluid”: materie praf, gazoasă sau lichidă. Valabilitatea aproximării se datorează faptului că, de obicei, în problemele gravitaționale de mecanică cerească și astrofizică, materia suferă solicitări foarte mari, astfel încât devine fluidă, iar nonizotropia tensiunilor din ea poate fi neglijată.

Aici tensorul este construit pentru o masă distribuită (câmp energie-masă) și se pot distinge două reprezentări principale utilizate ale materiei distribuite: $T_{\mu \nu }$

fluid ideal (soluții fluide)

T_{\alpha \beta}=(\rho +p)u_{\alpha }u_{\beta}+pg_{\alpha \beta},

unde este interpretat ca un 4-vector al vitezei fluidului într-un punct dat, , este densitatea de energie a fluidului și este presiunea acestuia, care ar trebui legată de ecuația de stare ( este temperatura fluidului); $u^{{\alpha }}$ $u^{\alpha }u_{\alpha }=-1$ $\rho$ $p$ $p=f(\rho,T)$ $T$

praful care nu interacționează (soluții de praf) este un caz special al cazului anterior $p\equiv 0$

T_{\alpha \beta}=\rho u_{\alpha }u_{\beta}.

Se poate demonstra că atunci când praful se mișcă, fiecare dintre elementele sale se mișcă de-a lungul liniei geodezice a metricii generate.

În general, se poate face o clasificare algebrică completă a posibililor tensori ai celei de-a doua valențe - de exemplu, tensorul Einstein sau energia-impuls. Variante ale unor astfel de clasificări: clasificarea tensorială a lui Segre dezvoltată pentru cazul spațiului-timp cu patru dimensiuni de către A. Z. Petrov (cu o eroare - omiterea unuia dintre tipurile posibile - derivată și în teoria câmpului a lui Landau și Lifshitz) și spinorul lui R. Penrose clasificare. Toți tensorii energie-impuls enumerați mai sus sunt speciali din punct de vedere algebric conform acestor clasificări.

După mărimea constantei cosmologice

Soluțiile cu sunt soluții ale ecuațiilor Einstein fără termenul lambda. $\Lambda \,=0$

Soluțiile cu sunt soluții ale ecuațiilor Einstein cu un termen lambda, a căror prezență complică soluția, dar permite obținerea de metrici staționare. Cea mai simplă dintre aceste soluții este metrica de Sitter. $\Lambda \,\neq 0$

Soluții exacte și aproximative

Soluții exacte

Soluții aproximative - se obțin, de exemplu, cu o aproximare non-relativistă a unor parametri ai ecuațiilor lui Einstein - formalism post-newtonian , sau prin extindere în parametri mici.

Clasificare în funcție de timp

Soluții staționare - au un câmp vectorial Killing asemănător timpului . Pentru ei, există un cadru de referință inerțial , în care tensorul metric nu depinde de timp.

Soluții statice - câmpul lor de ucidere este asemănător timpului și ortogonal cu o familie de suprafețe spațiale în timp constant. Astfel de soluții includ metrica Schwarzschild .
Soluții non-statice - descriu un câmp gravitațional în schimbare, dar pentru ei puteți găsi un grup de observatori care nu observă nicio modificare în câmpul gravitațional. Acestea includ metrica Kerr.

Soluții non-staționare

Soluții de unde - descrie undele gravitaționale.

Clasificare în funcție de simetria spațiului

Soluții izotrope - curbura lor se modifică în mod egal de-a lungul oricărei axe desenate dintr-un punct dat.

Soluțiile omogene sunt soluții izotrope față de oricare dintre punctele lor, adică au aceeași curbură în orice punct al spațiului.
Soluții simetrice sferic - curbura este constantă pe suprafețele care au geometria sferelor bidimensionale. Centrul de simetrie al unor astfel de sfere ca un eveniment spațiu-timp real poate să nu existe deloc, ca în cazul găurilor de vierme . Aceste soluții sunt folosite pentru a descrie spațiul din jurul găurilor negre statice, găurilor de vierme și stelelor care nu se rotesc.

Soluții anizotrope.

Soluții simetrice axial - curbura este constantă pe liniile care au geometria cercurilor paralele între ele. Având în vedere existența unor evenimente ale axei de simetrie în sine, se poate alege un punct pe acesta și se poate spune că curbura depinde atât de distanța până la acest punct, cât și de unghiul polar (în coordonate sferice). Aceste soluții pot fi comparate cu găurile negre, stele, galaxii rotative .
Soluții simetrice în oglindă - metrica lor este simetrică față de planul tridimensional.
Soluții asimetrice.

Clasificare asimptotică

Această clasificare se bazează pe comportamentul soluției la infinit ca lumina .

Soluții asimptotic plate - astfel de soluții apar de obicei la o constantă cosmologică zero și un purtător compact al tensorului energie-impuls. Pe infinitate asemănătoare luminii (sau cel puțin pe părțile lor), un astfel de spațiu-timp tinde destul de repede spre un spațiu Minkowski plat. Aceste soluții sunt foarte importante din punct de vedere fizic, deoarece descriu cu o bună aproximare sisteme insulare - sisteme solitare de corpuri astronomice, precum găurile negre, sisteme planetare, stele multiple și chiar galaxii.

Pentru astfel de soluții, grupul de simetrii asimptotice spațiu-timp (grupul Bondi-Metzner-Sachs) permite determinarea energiei-impuls 4-vector și calcularea tranziției energiei sistemului în radiația gravitațională.

Soluțiile cosmologice stau la baza cosmologiei fizice . Ele descriu structura și evoluția Universului , presupusă a fi aproximativ omogenă și izotropă . Astfel de soluții sunt clasificate ca fiind distribuite , deoarece, de obicei, se consideră că materia praf din particule de praf-galaxii le plasează în stadiul actual al evoluției Universului.

Acum, soluția cosmologică de bază universal recunoscută care descrie evoluția Universului „ca întreg” este soluția Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker [2] [3] [4] . Anterior, au fost luate în considerare și alte soluții - metrica lui Einstein, Lemaitre, Eddington.

Soluții închise - în principiu, ecuațiile Einstein, ca ecuații locale, limitează slab topologia globală a soluției, care este dată de condițiile inițiale. Astfel, este posibil să se construiască soluții de ecuații chiar și pentru cazuri de topologie extrem de patologice. Cel mai simplu exemplu ar fi spațiul Minkowski pliat într-un tor prin identificarea hiperplanelor și în orice număr de dimensiuni, chiar și în timp. $x^{\alpha }=0$ $x^{\alpha }=x_{0}^{\alpha }$

Cu toate acestea, unele restricții ale ecuației Einstein încă impun, de exemplu, spațiul de curbură scalară pozitivă constantă trebuie neapărat închis.

Clasificarea după congruențe izotrope (clasificarea lui Petrov)

Principiul auto-consecvenței al lui Novikov

Principiul auto-consecvenței Novikov este un principiu menit să rezolve paradoxurile asociate călătoriei în timp , permise teoretic de unele soluții ale ecuațiilor lui Einstein, permițând existența unor linii închise asemănătoare timpului .

Vezi și

Formularea matematică a relativității generale
Teoria generală a relativității
Proiect:Fizică/Liste/Lista oamenilor de știință relativiști celebri
Ecuațiile lui Einstein

Note

↑ Wikipedia are un articol Schwarzschild solution sau Schwarzschild metric
↑ metrica Friedman-Lemaitre-Robertson-Walker .
↑ Georges Lemaitre .
↑ Fridman, Alexander Alexandrovici .

Literatură

Soluții exacte ale ecuațiilor lui Einstein. Ed. E. Schmutzer M .: Energoizdat, 1982. - 416 p.
Hawking , Ellis Structura la scară largă a spațiu-timpului.
JA Wheeler. Gravitație / JA Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne. - W.H. Freeman & Co, 1973. - ISBN 0-7167-0344-0 .
JA Wheeler. Gravitație și inerție / JA Wheeler, I. Ciufolini. - Princeton University Press , 1995. - ISBN 978-0-691-03323-5 .
RJA Lambourne. Relativitate, gravitație și cosmologie. - The Open University, Cambridge University Press, 2010. - ISBN 978-0-521-13138-4 .