Formularea matematică a relativității generale

Acest articol discută baza matematică a relativității generale .

Pozițiile de pornire

Percepția noastră intuitivă ne spune că spațiu-timp este regulat și continuu, adică nu are „găuri”. Matematic, aceste proprietăți înseamnă că spațiu-timp va fi modelat printr-o varietate diferențiabilă netedă 4-dimensională , adică un spațiu 4-dimensional pentru care vecinătatea fiecărui punct seamănă local cu un spațiu euclidian cu patru dimensiuni . Netezimea înseamnă aici suficientă diferențiere, fără a specifica gradul său. $M_4$

Deoarece, în plus, legile teoriei relativității speciale sunt satisfăcute cu o bună acuratețe , o astfel de varietate poate fi înzestrată cu o metrică lorentziană , adică un tensor metric nedegenerat cu semnătură (sau, echivalent, ). Semnificația acestui lucru este dezvăluită în secțiunea următoare. $\{-,+,+,+\}$ $\{+,-,-,-\}$

Geometria spațiu-timpului

N.B. Acest articol urmează convențiile clasice de semne ale lui Misner, Thorne și Wheeler [1]

Acest articol adoptă, de asemenea, convenția Einstein pentru însumarea indicilor repeți.

Tensor metric

O varietate diferențiabilă [2] M, înzestrată cu un tensor metric lorentzian g , este astfel o varietate lorentziană , care constituie un caz special de varietate pseudo-riemanniană (definiția „lorentzianilor” va fi specificată mai târziu în text; vezi Secțiunea metrică lorentziană de mai jos ).

Să luăm un sistem de coordonate în vecinătatea punctului și să fie o bază locală în spațiul tangent la varietatea din punct . Vectorul tangent va fi apoi scris ca o combinație liniară de vectori de bază: $x^{\mu}$ $P$ ${\mathbf e}_{\mu}(x)$ $T_xM$ $M$ $x\în M$ $\mathbf w \in T_xM$

\mathbf{w} \ = \w^{\mu} \ \mathbf{e}_{\mu}.

În acest caz, mărimile sunt numite componente contravariante ale vectorului w . Tensorul metric este atunci o formă biliniară simetrică : $\w^{\mu}$ $\mathbf g$

\mathbf g \ = \ g_{\mu\nu}(x)\ dx^{\mu}\ \otimes \ dx^{\nu},

unde denotă dualul în raport cu baza în spațiul cotangent , adică forme liniare pe , astfel încât: $dx^{\mu}$ ${\mathbf e}_{\mu}(x)$ $T_x^*M$ $T_{x}M$

dx^{\nu} ({\mathbf e}_{\mu}) \ =\ \delta_{\mu}^{\nu}.

Mai mult, vom presupune că componentele tensorului metric se modifică continuu în spațiu-timp [3] . $g_{\mu\nu}(x)$

Tensorul metric poate fi astfel reprezentat printr-o matrice simetrică reală 4x4 :

g_{\mu\nu} \ = \ g_{\nu\mu}.

În general, orice matrice 4x4 reală are a priori 4 x 4 = 16 elemente independente. Condiția de simetrie reduce acest număr la 10: de fapt, există 4 elemente diagonale, la care trebuie să adăugăm (16 - 4) / 2 = 6 elemente în afara diagonalei. Tensorul are astfel doar 10 componente independente. $g_{\mu \nu }$

Produs punct

Tensorul metric definește pentru fiecare punct al varietății un produs pseudo - scalar („pseudo-” în sensul că nu există o definiție pozitivă a formei pătratice asociate (pătratul unui vector; vezi metrica lorentziană) în pseudo-euclidiană. spațiu tangent la varietatea în punctul . Dacă și sunt doi vectori , produsul lor scalar se scrie astfel: $x \în M$ $M^{}$ $X$ $T_{x}M$ $\mathbf u$ ${\mathbf v}$ $T_{x}M$

\mathbf u \cdot \mathbf v \ = \ \mathbf g (\mathbf u, \mathbf v) \ = \ g_{\mu \nu} \ u^{\mu } \ v^{\nu}

În special, luând doi vectori de bază, obținem componentele:

g_{\mu \nu} \ = \ \mathbf g ({\mathbf e}_{\mu}, {\mathbf e}_{\nu}) \ = \ {\mathbf e}_{\mu} \ cdot {\mathbf e}_{\nu}

Notă: dacă mărimile denotă componentele contravariante ale vectorului w , atunci putem defini și componentele sale covariante ca: $w^{\mu}$

w_{\mu} \ = \ \mathbf w \ \cdot \mathbf e_{\mu}.

Distanța elementară - interval

Se consideră vectorul elementar de deplasare între un punct și un punct infinit apropiat: . Norma infinitezimală invariantă a acestui vector va fi un număr real, notat cu , numit pătratul intervalului și egal cu: $d\mathbf P \ = \ \epsilon^{\mu} \mathbf e_{\mu}$ $P^{}$ $| \epsilon^{\mu} | \ll 1$ $ds^2$

ds^2 \ = \ g_{\mu\nu}(x)\ \epsilon^{\mu} \\epsilon^{\nu}

Dacă desemnăm componentele vectorului elementar de deplasare „în mod fizic” , pătratul infinitezimal al lungimii (intervalului) se va scrie formal ca: $\epsilon^{\mu} = dx^{\mu}$

ds^2 \ = \ g_{\mu\nu}(x) \ dx^{\mu} \ dx^{\nu}

Atenție : în această formulă, precum și în continuare, este un număr real, care este interpretat fizic ca o „modificare infinitezimală” a coordonatei , și nu ca o formă diferențială! $dx^{\mu}$ $x^{{\mu ))$

metrica Lorentz

Să rafinăm acum expresia „lorentzian” (mai precis, local lorentzian), ceea ce înseamnă că tensorul metric are semnătura (1,3) și coincide local în primul rând cu metrica lorentziană a teoriei relativității speciale . Principiul echivalenței prevede că este posibilă „ștergerea” locală a câmpului gravitațional prin alegerea unui sistem de coordonate local inerțial. Din punct de vedere matematic, o astfel de alegere este o reformulare a cunoscutei teoreme privind posibilitatea reducerii unei forme patratice la axele principale.

Într-un astfel de sistem de coordonate inerțial local, invariantul într-un punct poate fi scris ca: $X^{\alpha}$ $ds^2$ $P$

ds^2 \ = \ \eta_{\alpha \beta } \ dX^{\alpha } \ d X^{\beta } \ = \ - \ c^2 \, dT^2 \, + \, dX^2 \, + \, dY^2 \, + \, dZ^2,

unde este metrica spațiu-timp Minkowski și într-o mică vecinătate a acestui punct $\eta_{\alpha\beta}$

ds^2 \ = \ (\eta_{\alpha \beta}+\delta_{\alpha \beta }) \ dX^{\alpha } \ d X^{\beta },

unde are un minim de ordinul doi de micime în abaterile coordonatelor de la punctul , adică . Acceptând convenția semnelor Misner, Thorne și Wheeler, avem [1] : $\delta_{\alpha\beta}$ $P$ $\delta_{\alpha\beta}|_{P}=0,\ \left.\frac{\partial \delta_{\alpha\beta)){\partial X^\alpha}\right|_{P}= 0$

\eta_{\alpha \beta} \ = \ \mathrm{diag} \ ( -1, \, +1, \, +1, \, +1 \, )

Următoarele convenții convenționale sunt utilizate mai jos:

Indicii greci variază de la 0 la 3. Ei corespund unor cantități în spațiu-timp.
Indicii latini variază de la 1 la 3. Ei corespund componentelor spațiale ale cantităților în spațiu-timp.

De exemplu, un vector cu 4 poziții ar fi scris într-un sistem de coordonate inerțial local ca:

X^{\alpha} \ = \ \left( \begin{matrix} X^{0} \\ X^{i} \end{matrix} \right) \ = \ \left( \begin{matrix} X^ {0} \\ X^{1} \\ X^{2} \\ X^{3} \end{matrice} \right) \ = \ \left( \begin{matrix} c \, T \\ X \\ Y \\ Z \end{matrice} \right).

Atenție : de fapt, incrementele de coordonate finite, nu infinitezimale, nu formează un vector. Un vector al acestora apare numai într-un spațiu omogen de curbură zero și topologie trivială.

Caracterul lorentzian al varietății asigură astfel că tangentele la în fiecare punct al spațiului pseudo-euclidian vor avea produse pseudo - scalare ("pseudo-" în sensul că nu există o definiție pozitivă a formei pătratice asociate (vector pătrat) ) cu trei valori proprii strict pozitive (corespunzătoare spațiului) și o valoare proprie strict negativă (corespunzătoare timpului). În special, intervalul elementar al „timpului propriu”, care separă două evenimente succesive, este întotdeauna: $M^{}$ $M^{}$

d \tau^2 \ = \ - \frac{ds^2}{c^2} \ > \ 0.

Concepte generale de conexiune afină și derivată covariantă

În general, o conexiune afină este un operator care asociază un câmp vectorial dintr-un creion tangent cu câmpul de endomorfisme al acestui creion. Dacă este vectorul tangent în punctul , acesta este de obicei notat $\nabla$ $\mathbf V$ $TM$ $\nabla \mathbf V$ ${\mathbf w} \in T_xM$ $x \în M$

\nabla_{\mathbf w} \ \mathbf V(x) \ = \ \nabla \mathbf V(x,\mathbf w).

Se spune că este „ derivată covariantă ” a vectorului în direcție . Să presupunem, în plus, că îndeplinește condiția suplimentară: pentru orice funcție f, avem $\nabla_{\mathbf w} \mathbf V$ $\mathbf V$ ${\mathbf w}$ $\nabla \mathbf V$

\nabla_{\mathbf w} (f \mathbf V) \ = \ f \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ df(\mathbf w) \ \mathbf V

Derivata covariantă satisface următoarele două proprietăți de liniaritate:

liniaritatea în w , adică oricare ar fi câmpurile vectorilor w și u și ale numerelor reale a și b , avem:

\nabla_{(a \mathbf w + b \mathbf u)} \mathbf V \ = \ a \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ b \ \nabla_{\mathbf u} \mathbf V.

liniaritatea în V , adică oricare ar fi câmpurile vectorilor X și Y și ale numerelor reale a și b , avem:

\nabla_{\mathbf w} (a\mathbf X + b\mathbf Y) \ = \ a \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf X \ + b \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf Y.

Odată ce derivata covariantă este definită pentru câmpurile vectoriale, aceasta poate fi extinsă la câmpurile tensorale folosind regula Leibniz : dacă și sunt oricare doi tensori, atunci prin definiție: ${\mathbf T}$ $\mathbf S$

\nabla_{\mathbf w}(\mathbf T \otimes \mathbf S) \ = \ (\nabla_{\mathbf w} \mathbf T )\otimes \mathbf S \ + \ \mathbf T \otimes(\nabla_{\ mathbf w} \mathbf S)

Derivata covariantă a câmpului tensor de-a lungul vectorului w este din nou un câmp tensor de același tip.

Conectivitate asociată cu metrica

Se poate dovedi că legătura asociată metricului, legătura Levi-Civita [1] , este singura legătură care, pe lângă condițiile anterioare, asigură suplimentar că pentru orice câmpuri de vectori X, Y, Z din TM

$\nabla_{\mathbf X}(\mathbf g(\mathbf Y,\mathbf Z)) \ = \ \mathbf g(\nabla_{\mathbf X} \mathbf Y,\mathbf Z) \ + \ \mathbf g( \mathbf Y,\nabla_{\mathbf X} \mathbf Z)$ ( metricity - tensorul de nonmetricitate este egal cu zero).

$\nabla_{\mathbf X} \mathbf Y \ - \ \nabla_{\mathbf Y} \mathbf X \ = \ [\mathbf X, \mathbf Y]$ , unde este comutatorul Lie al lui X și Y (fără torsiune — tensorul de torsiune este egal cu zero). $[\mathbf X,\mathbf Y]$

Descriere în coordonate

Derivata covariantă a unui vector este un vector și, prin urmare, poate fi exprimată ca o combinație liniară a tuturor vectorilor de bază:

\nabla_{\mathbf w} V \ = \ \left[ \, \nabla_{\mathbf w} V \, \right]^\rho \ \mathbf e_\rho \ = \ \Gamma^\rho \ \mathbf e_ \rho,

unde sunt componentele vectoriale ale derivatei covariante în direcție (această componentă depinde de vectorul ales w ). $\Gamma^\rho$ $\mathbf e_\rho$

Pentru a descrie derivata covariantă, este suficient să o descriem pentru fiecare dintre vectorii de bază de -a lungul direcției . Să definim apoi simboluri Christoffel (sau pur și simplu simboluri Christoffel) în funcție de 3 indici [4] $\mathbf e_\nu$ $\mathbf e_\mu$ $\Gamma^\rho {}_{\mu \nu},$

\nabla_{\mu} {\mathbf e}_{\nu} \ = \ \nabla_{{\mathbf e}_{\mu)) {\mathbf e}_{\nu} \ = \ \Gamma^\ rho {}_{\mu \nu} \ {\mathbf e}_\rho

Legătura Levi-Civita este pe deplin caracterizată prin simbolurile sale Christoffel. Conform formulei generale

\nabla_{\mathbf w} (f \mathbf V) \ = \ f \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ df(\mathbf w) \ \mathbf V

pentru vectorul V :

\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ \nabla_{\mu} (V^\nu \mathbf e_\nu) \ = \ V^\nu \ (\nabla_{\mu} \mathbf e_\nu ) \ + \ dV^\nu(\mathbf e_\mu) \ \mathbf e_\nu.

Știind asta , obținem: $dV^\nu (\mathbf e_\mu) = \partial_\mu V^\nu$

\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ V^\nu \ \Gamma^\rho {}_{\mu \nu} \ {\mathbf e}_\rho \ + \ \partial_\mu V^\ nu \ \mathbf e_\nu

Primul termen al acestei formule descrie „deformarea” sistemului de coordonate în raport cu derivata covariantă, iar al doilea - modificări ale coordonatelor vectorului V . Când însumăm indici muți, putem rescrie această relație sub forma

\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ \left[ \, V^\rho \ \Gamma^\nu {}_{\mu \rho} \ + \ \partial_\mu V^\nu \, \ dreapta] \ \mathbf e_\nu

Din aceasta obținem o formulă importantă pentru componente:

\nabla_{\mu} \mathbf{V}^{\nu} \ = \ \left[ \, \nabla_{\mu} \mathbf{V} \, \right]^{\nu} \ = \ \partial_ {\mu} V^{\nu} \ + \ \Gamma_{~ \mu \rho}^{\nu} \ V^{\rho }

Folosind formula Leibniz, se poate demonstra în același mod că:

\nabla_{\mu} \mathbf{V}_{\nu} \ = \ \partial_{\mu} V_{\nu} \ - \ \Gamma_{~ \mu \nu}^{\rho } \ V_{ \rho}.

Pentru a calcula aceste componente în mod explicit, expresiile pentru simbolurile Christoffel trebuie definite din metrica. Sunt ușor de obținut scriind următoarele condiții:

\nabla_{\mu} \ \mathbf{g}_{\nu \rho} \ = \ 0.

Calculul acestei derivate covariante conduce la

\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma} \ = \ \frac{1}{2} \ g^{\mu \nu} \ \left(\partial_\sigma g_{\nu \rho } \ + \ \partial_\rho g_{\nu \sigma} \ - \ \partial_\nu g_{\rho \sigma} \right),

unde sunt componentele tensorului metric „invers” definite de ecuații $g^{\mu \nu}\$

g^{\mu \nu} \ g_{\nu \rho} \ = \ \delta^\mu{}_\rho

Simbolurile Christoffel sunt „simetrice” [5] în ceea ce privește indicele: $\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma}=\Gamma^\mu {}_{\sigma \rho}.\$

Notă: uneori sunt definite și următoarele simboluri:

\Gamma_{\nu \rho \sigma} \ = \ \frac{1}{2} \ \left(\partial_\sigma g_{\nu \rho } \ + \ \partial_\rho g_{\nu \sigma} \ - \ \partial_\nu g_{\rho \sigma} \right)

primit ca:

\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma} \ = \ g^{\mu \nu} \ \Gamma_{\nu \rho \sigma}

Tensor de curbură Riemann

Tensorul de curbură Riemann R este un al patrulea tensor de valență definit pentru orice câmpuri vectoriale X, Y, Z din M ca

\mathbf R(\mathbf X,\mathbf Y)\mathbf Z \ = \ \nabla_{\mathbf X} \, (\nabla_{\mathbf Y} \mathbf Z) \ - \ \nabla_{\mathbf Y} \ , (\nabla_{\mathbf X} \mathbf Z) \ - \ \nabla_{[\mathbf X,\mathbf Y]} \mathbf Z\; .

Componentele sale sunt exprimate explicit din coeficienții metrici:

R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ \frac{1}{2}\left( \partial^2_{ \nu \rho } g_{ \mu \sigma } \ + \ \partial^2_{ \mu \sigma } g_{ \nu \rho } \ - \ \partial^2_{ \nu \sigma } g_{ \mu \rho } \ - \ \ \partial^2_{ \mu \rho } g_{ \nu \ sigma } \right) \ +

+ \ g_{ \lambda \tau } \left( \Gamma^\lambda {}_{ \nu \rho } \Gamma^\tau {}_{ \mu \sigma } \ - \ \Gamma^\lambda {} _{ \nu \sigma } \Gamma^\tau {}_{ \mu \rho } \right)\;.

Simetriile acestui tensor:

R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ R_{ \rho \sigma \mu \nu }\;,

R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ - \ R_{ \nu \mu \rho \sigma } \ = \ - \ R_{\mu \nu \sigma \rho }\;.

De asemenea, satisface următoarea relație:

R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ + \ R_{ \mu \sigma \nu \rho } \ + \ R_{ \mu \rho \sigma \nu } \ = \ 0.

Tensor de curbură Ricci

Tensorul Ricci este tensorul de valență 2 definit de convoluția tensorului de curbură Riemann

R_{\mu \nu} \ = \ g^{\rho \sigma } \ R_{\rho \mu \sigma \nu} \ = \ R^\sigma_{~ \mu \sigma \nu} \; .

Componentele sale explicit prin simbolurile Christoffel:

R_{\mu \nu} \ = \ \partial_{\rho } \Gamma^{\rho } {}_{\mu \nu} \ - \ \partial_{\nu} \Gamma^{\rho } {} _{\mu \rho } \ + \ \Gamma^{\rho } {}_{\mu \nu } \Gamma^{\sigma } {}_{\rho \sigma } \ - \ \Gamma^{\ sigma} {}_{\mu \rho}\Gamma^{\rho} {}_{\nu \sigma} \; .

Acest tensor este simetric: . $R_{\mu\nu} \ = \ R_{\nu \mu} \$

Curbură scalară

Curbura scalară este un invariant definit de convoluția tensorului Ricci cu metrica

R \ = \ g^{\mu \nu} \ R_{\mu \nu} \ = \ R^\nu_{~ \nu}.

Ecuațiile lui Einstein

Ecuațiile câmpului gravitațional, care sunt numite ecuații Einstein , sunt scrise ca

R_{\mu \nu} \ - \ \frac{1}{2} \, g_{\mu \nu} \, R \ + \ \Lambda \ g_{\mu \nu} \ = \ \frac{8 \pi G}{c^4} \ T_{\mu \nu},

sau așa

G_{\mu \nu }\ +\ \Lambda \ g_{\mu \nu }\ =\ {\frac {8\pi G}{c^{4))}\ T_{\mu \nu },

unde este constanta cosmologică , este viteza luminii în vid, este constanta gravitațională , care apare și în legea gravitației universale a lui Newton, este tensorul Einstein și este tensorul energie-impuls . $\lambda$ $c$ $G$ $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }\ -\ {\frac {1}{2)}\,g_{\mu \nu }\,R$ $T_{\mu\nu}$

Un tensor simetric are doar 10 componente independente, ecuația tensorului Einstein într-un sistem de coordonate dat este echivalentă cu un sistem de 10 ecuații scalare. Acest sistem de 10 ecuații diferențiale parțiale neliniare cuplate este în majoritatea cazurilor foarte greu de învățat. $g_{\mu\nu}$

Tensorul energie-impuls

Tensorul energie-impuls poate fi scris ca o matrice simetrică reală 4x4:

T_{\mu \nu} \ = \ \left( \begin{matrix} T_{00} și T_{01} și T_{02} și T_{03} \\ T_{10} și T_{11} și T_ {12} și T_{13} \\ T_{20} și T_{21} și T_{22} și T_{23} \\ T_{30} și T_{31} și T_{32} și T_{33} \end{matrice}\dreapta).

Conține următoarele mărimi fizice:

T 00 - densitatea energiei volumetrice . Trebuie să fie pozitiv .
T 10 , T 20 , T 30 sunt densitățile componentelor impulsului .
T 01 , T 02 , T 03 sunt componente ale fluxului de energie .
Submatrice 3 x 3 de componente pur spațiale:

T_{ik} \ = \ \left( \begin{matrix} T_{11} și T_{12} și T_{13} \\ T_{21} și T_{22} și T_{23} \\ T_{31 } și T_{32} și T_{33} \end{matrice} \right)

este matricea fluxurilor de impulsuri . În mecanica fluidelor, componentele diagonale corespund presiunii, iar celelalte componente forțelor tangențiale (tensiuni sau, în vechea terminologie, tensiuni) cauzate de vâscozitate .

Pentru un fluid în repaus, tensorul energie-impuls se reduce la o matrice diagonală , unde este densitatea masei și este presiunea hidrostatică. ${\rm {diag}}({{\rho}c^{2}},~p,~p,~p)$ ${\rho}$ $p$

Note

↑ 1 2 C. W. Misner, Kip S. Thorne și John A. Wheeler; Gravitation , Freeman & Co. (San Francisco-1973), ISBN 0-7167-0344-0 . sau C. MIZNER, C. THORNE, J. WHEELER. GRAVITATIE. volumul I-III. M. Mir, 1977.
↑ În cele ce urmează, nu scriem peste tot indicele 4, care precizează dimensiunea varietății „M”.
↑ Mai precis, trebuie să fie de cel puțin clasa C².
↑ Atenție, simbolurile Christoffel nu sunt tensoare.
↑ Cuvântul „simetric” este între ghilimele, întrucât acești indici, în virtutea originii lor, nu sunt tensori.

Teorii ale gravitației

Teorii standard ale gravitației

Teorii alternative ale gravitației

Teorii cuantice ale gravitației

Teorii unificate de câmp

fizica clasica

Teoria gravitației lui Newton

Fizica relativistă

Teoria generală a relativității
- Formulare matematică
- Formulare hamiltoniană

Principii

Clasic

Relativistă

Multidimensional

Siruri de caractere

Alte

Teoria excepțional de simplă a tuturor