Tensor energie-impuls

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 23 octombrie 2021; verificările necesită 3 modificări .

Tensorul energie-impuls (EMT) este un tensor simetric de rangul doi (valență) care descrie densitatea și fluxul de energie și impulsul câmpurilor de materie [1] și determină interacțiunea acestor câmpuri cu câmpul gravitațional .

Tensorul energie-impuls este o generalizare relativistă suplimentară a conceptelor de energie și impuls din mecanica clasică a continuumului . O generalizare a conceptului apropiată de acesta este 4-vectorul energiei-impuls al unei particule în teoria relativității speciale .

Componentele tensorului energie-impuls

Tensorul energie-impuls poate fi scris ca o matrice simetrică reală 4x4:

T^{\mu \nu} \ = \ \left( \begin{matrix} T^{00} și T^{01} și T^{02} și T^{03} \\ T^{10} și T^{11} și T^{12} și T^{13} \\ T^{20} și T^{21} și T^{22} și T^{23} \\ T^{30} și T^{31} și T^{32} și T^{33} \end{matrice} \right).

Conține următoarele mărimi fizice:

T 00 - densitatea energiei volumetrice . De regulă, ar trebui să fie pozitiv , cu toate acestea, existența unor regiuni spațiale locale cu o densitate de energie negativă este teoretic permisă. În special, o astfel de regiune poate fi creată folosind efectul Casimir [2] .
T 10 , T 20 , T 30 sunt componentele impulsului densității înmulțite cu c .
T 01 , T 02 , T 03 sunt componentele fluxului de energie ( vector Poynting ) împărțite la c . Datorită simetriei lui T μν se observă următoarea egalitate: T 0μ = T μ0
Submatrice 3 x 3 de componente pur spațiale

T^{ik} \ = \ \left( \begin{matrix} T^{11} și T^{12} și T^{13} \\ T^{21} și T^{22} și T^{ 23} \\ T^{31} și T^{32} și T^{33} \end{matrice} \right)

este tensorul de densitate a fluxului de impuls tridimensional sau tensorul tensiunii cu semnul minus.

Astfel, componentele tensorului energie-impuls au dimensiunea ML −1 T −2 .

Cazuri speciale

În mecanica fluidelor, componentele sale diagonale corespund presiunii, iar celelalte componente corespund forțelor tangențiale (tensiuni sau, în terminologia veche, tensiuni) cauzate de vâscozitate .

Pentru un fluid în repaus, tensorul energie-impuls se reduce la o matrice diagonală , unde este densitatea masei și este presiunea hidrostatică. ${\rm {diag}}({{\rho}c^{2}},~p,~p,~p)$ ${\rho}$ $p$

În cazul simplu al materiei praf , tensorul energie-impuls se scrie ca

T^{ik} = \rho\, u^iu^k

unde este densitatea masei ( repaus ), sunt componentele cu 4 viteze - se scrie si pentru cel mai simplu caz, cand toate particulele de praf se misca cu aceeasi viteza cel putin local, iar daca aceasta din urma nu este cazul, expresia trebuie de asemenea, se însumează (integrat) peste viteze. $\rho$ $u^i, u^k$

Tensor canonic de energie-impuls

În teoria relativității speciale, legile fizice sunt aceleași în toate punctele spațiu-timp, astfel încât translațiile coordonatelor 4 nu ar trebui să modifice ecuațiile de mișcare ale câmpului. Astfel, conform teoremei lui Noether , translațiile spațiu-timp infinitezimale trebuie să corespundă unui flux noetherian conservat, care în acest caz se numește EMT canonic.

Pentru Lagrangianul (densitatea funcției Lagrange) , care depinde de funcțiile de câmp și de derivatele lor primare, dar nu depinde de coordonate, funcționalitatea de acțiune va fi invariabilă sub translații: $\mathcal{L}_\mathrm{M} = \mathcal{L}_\mathrm{M} ( \phi_i , \partial_{\mu} \phi_i )$ $\phi _{i)$

\begin{cases} x^{\mu} \to x^{\prime\mu} = x^{\mu} + \delta x^{\mu} \\ \phi_i(x) \to \phi_i^{ \prime}(x^{\prime}) = \phi_i(x). \end{cazuri}

Din teorema Noether va urma legea conservării EMT canonice (scrisă în coordonate galileene)

{{T_c}^\mu}_\nu (x) = \sum^{n}_{i=1} \frac{\partial \mathcal{L}_\mathrm{M)) {\partial (\partial_ {\mu} \phi_{i})} \partial_{\nu} \phi_{i} - \mathcal{L}_\mathrm{M} \delta^\mu_\nu ,

care arata ca

\partial_{\mu} {T^\mu}_\nu \equiv T^\mu_{\nu,\;\mu}=0.

EMT canonic în forma sa complet contravariantă are forma

T^{\mu\nu} = g^{\nu\rho}\, {T^\mu}_\rho = \sum^{n}_{i=1} \frac{\partial \mathcal{L }_\mathrm{M)) {\partial (\partial_{\mu} \phi_{i})} \partial^{\nu} \phi_{i} - \mathcal{L}_\mathrm{M} g ^{\mu\nu} .

Acest tensor este ambiguu. Proprietatea ambiguității poate fi folosită pentru a aduce, în general vorbind, un tensor asimetric la o formă simetrică prin adăugarea unei mărimi de tensor în care tensorul este antisimetric în ultimii doi indici . Într-adevăr, pentru un EMT simetric $T^{\mu \nu }$ $\frac{\partial \psi^{\mu\nu\lambda}}{\partial x^{\lambda}}\;,$ $\psi^{\mu\nu\lambda}\;$ $\psi ^{\mu \nu \lambda}=-\psi ^{\mu \lambda \nu }$

\Theta^{\mu\nu} = T^{\mu\nu} + \partial_\lambda \psi^{\mu\nu\lambda}

respectă automat legea conservării $\partial_\nu \Theta^{\mu\nu} = 0 .$

Tensor metric de energie-impuls

În teoria generală a relativității , așa-numita EMT metrică este exprimată în termeni de derivată variațională față de tensorul metric într-un punct din spațiu-timp din densitatea lagrangiană a funcționalei de acțiune, care este invariantă la modificările coordonatelor. : $T^ {\mu \nu} (x)$ $g_{\mu \nu }$ $X$

{T_m}^{\mu \nu} (x) = \frac {2}{\sqrt{-g)) \frac {\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M} )}{ \delta g_{\mu \nu} (x)}=g^{\mu \nu} \mathcal{L}_\mathrm{M} - 2 \frac{\delta \mathcal{L}_\ mathrm{M}}{\delta g_{\mu \nu}}=

=\frac {2}{\sqrt{-g}}\left(\frac{\partial (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{ \partial g_{\mu \ nu} (x)}-\frac{\partial}{\partial x^\lambda}\frac {\partial (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\partial\ stil de afișare\frac{\partial g_{\mu \nu} (x)}{\partial x^\lambda))+\ldots\right),

unde Acest tensor energie-impuls este evident simetric. EMT metric este inclus în ecuațiile Einstein ca sursă externă a câmpului gravitațional: $g(x) = \det \left ( g_{\mu \nu} (x) \right ).$

\frac {c^4}{8 \pi G} \left ( R_{ \mu \nu } - \frac {1}{2} g_{ \mu \nu } R + \Lambda g_{ \mu \nu } \right ) = T_{ \mu \nu } (x),

unde este tensorul Ricci , este curbura scalară . Pentru acest tensor, din cauza invarianței acțiunii față de substituțiile de coordonate, o lege de conservare diferențială este valabilă sub forma $R_{ \mu \nu }$ $R = g^{ \mu \nu } R_{ \mu \nu }$

T^\mu_{\nu;\mu}=0.

Tensorul energie-impuls în electrodinamica clasică

În electrodinamica clasică , tensorul energie-impuls al câmpului electromagnetic în Sistemul Internațional de Unități (SI) are forma:

T_{00} = \frac{\mathbf E \cdot \mathbf D}{2} + \frac{\mathbf B \cdot \mathbf H}{2}

\begin{pmatrix} T_{01} și T_{02} și T_{03} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} T_{10} și T_{20} și T_{30} \end{pmatrix} = \frac{1}{c} \left[ \mathbf E \times \mathbf H \right]

T_{ij} = E_i D_j + B_i H_j - \frac{1}{2}\delta_{ij}(\mathbf E \cdot \mathbf D + \mathbf B \cdot \mathbf H) = E_i D_j + B_i H_j - \delta_{ij}T_{00}.

Componentele spațiale formează un tensor tridimensional, care se numește tensorul Maxwellian de tensiune [3] sau tensorul Maxwell de tensiune [4] . $T_{ij}$

În formă covariantă , putem scrie:

T^{\mu\nu} = -\frac{1}{\mu_0}[ F^{\mu \alpha}F_{\alpha}{}^{\nu} + \frac{1}{4} \ eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}]\,.

Tensorul energie-impuls în teoria câmpului cuantic

Note

↑ Câmpurile de materie (câmpurile materiale) în teoria generală a relativității sunt numite în mod tradițional toate câmpurile, cu excepția câmpurilor gravitaționale.
↑ M. Morris, K. Thorne și U. Yurtsever, Wormholes, Time Machines, and the Weak Energy Condition Arhivat la 17 iulie 2012. , Physical Review , 61 , 13, septembrie 1988, pp. 1446-1449
↑ Landau L. D., Lifshitz E. M. Teoria câmpului. - ediția a VII-a, revizuită. — M .: Nauka , 1988 . - P. 115. - („Fizica teoretică”, Volumul II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Stepanovsky Yu. P. Maxwell tensor de stres // Enciclopedia fizică / Cap. ed. A. M. Prohorov . - M. : Great Russian Encyclopedia , 1992. - T. 3. Compresor de magnetoplasmă - Teorema lui Poynting. - S. 32-33. — 672 p. - 48.000 de exemplare. — ISBN 5-85270-019-3 .

Literatură

Landau L. D. , Lifshits E. M. Teoria câmpului. - Ediția a 8-a, stereotip. — M .: Fizmatlit , 2001. — 534 p. - (" Fizica teoretică ", Volumul II). — ISBN 5-9221-0056-4 .
- § 32 - TEI canonic
- § 94 - TEI metric.