Scufundare riemanniana

O scufundare riemanniană este o scufundare între varietăți riemanniene care este infinitezimal o proiecție ortogonală .

Definiție

Fie și să fie varietăți riemanniene . O mapare lină se numește submersiune riemanniană dacă pentru orice punct există o încorporare liniară izometrică astfel încât să existe o proiecție ortogonală. Aici denotă diferenţialul mapării în punctul . $(M,g)$ $(N,h)$ $f\coloană (M,g)\la (N,h)$ $X$ $\imath _{x}\colon T_{f(x)}N\la T_{x}M$ $\imath _{x}\circ d_{x}f$ $d_{x}f$ $f$ $X$

Pentru un vector , vectorul se numește ridicare orizontală . $X\în T_{{f(x)}}$ $\overline {X}=\imath _{x}(X)$ $X$

Formula lui O'Neill

Să fie o scufundare riemanniană. Apoi, pentru orice câmp vectorial , pe , valoarea tensorului de curbură poate fi calculată folosind formula O'Neill $f\colon N\la M$ $X$ $Y$ $M$ $R_{M}$

\langle R_{M}(X,Y)V,W\rangle =\langle R_{N}({\overline {X)), {\overline {Y}}} {\overline {V)} ,{\overline {W}}\rangle +{\tfrac {1}{2}}\langle [{\overline {X}},{\overline {Y}}]^{V},[{\overline { V)),{\overline {W}}]^{V}\rangle +{\tfrac {1}{4}}\langle [{\overline {X}},{\overline {V}}]^{ V},[{\overline {Y)),{\overline {W}}]^{V}\rangle -{\tfrac {1}{4}}\langle [{\overline {X}},{\ overline {W}}]^{V},[{\overline {Y}},{\overline {V}}]^{V}\rangle

unde sunt ridicările orizontale ale câmpurilor , respectiv, și este componenta verticală a parantezei Lie a câmpurilor vectoriale pe . ${\overline {X}},{\overline {Y}},{\overline {V}},{\overline {W}}$ $X,Y,V,W$ $[\overline {X},\overline {Y}]^{V}$ $\overline {X},\overline {Y}$ $N$

În special,

\langle R_{M}(X,Y)Y,X\rangle =\langle R_{N}(\overline {X},\overline {Y})\overline {Y},\overline {X}\rangle + {\tfrac 34}\left|[\overline {X},\overline {Y}]^{V}\right|^{2}

Note

$[\overline {X},\overline {Y}]^{V}$ este un tensor, adică valoarea lui într-un punct depinde numai de valorile vectorilor orizontali și în acel punct. $\overline {X}$ ${\overline {Y}}$

Consecințele

Valoarea absolută într-un punct depinde numai de punct și de valorile și de la punctul . $[\overline {X},\overline {Y}]^{V}$ $p\în N$ $p$ $X$ $Y$ $f(p)$
Dacă spațiul total al unei scufundări riemanniene are curbură în secțiune , atunci același lucru este valabil și pentru baza sa. $\geqslant \kappa$

Variații și generalizări

O submetrie este o mapare 1 - Lipschitz și 1 -Colipschitz între spațiile metrice.

Literatură

Burago Yu.D., Zalgaller V.A. Introducere în geometria riemanniană. - Sankt Petersburg: Nauka, 1994. - ISBN 5-02-024606-9 .
Besse A. Einstein varietati. - M .: Mir, 1990. - ISBN 5-03-002066-7 . , Volumul 2, p. 326-379.