Punct de șa

Un punct de șa în analiza matematică este un punct din domeniul unei funcții care este staționar pentru o funcție dată , dar nu este extremul ei local . Este un punct de echilibru în strategiile pure . Într-un astfel de punct, dacă se consideră o funcție a două variabile, suprafața formată de graficul funcției seamănă de obicei cu o șa sau un pas de munte în formă - convexă într-o direcție și concavă în cealaltă. Pe o hartă de înălțime, un punct de șa poate fi găsit în general la intersecția izoliniilor . De exemplu, două dealuri, între care există o trecere înaltă , formează un punct de șa în vârful acestei trecători : pe harta înălțimii, acesta va arăta ca centrul celor „opt” formate de izoliniile corespunzătoare .

Punct de șa în calcul

Puteți verifica dacă un punct staționar dat al unei funcții F ( x , y ) a două variabile este un punct șa, calculând matricea Hessiană a funcției în acest punct: dacă Hessianul este o formă pătratică nedefinită , atunci acest punct este un punct de șa. De exemplu, compilând matricea Hessiană a funcției într-un punct staționar , obținem matricea: $z=x^{2}-y^{2}$ $(0, 0)$

{\begin{bmatrix}2&0\\0&-2\\\end{bmatrix))

care este nedefinit. Prin urmare, punctul acestei funcții este un punct de șa. Cu toate acestea, criteriul de mai sus oferă doar o condiție suficientă pentru prezența unui punct de șa. De exemplu, este punctul de șa al funcției , dar matricea hessiană în acest caz va fi o matrice zero, care, prin definiție, nu poate fi numită nedefinită. $(0, 0)$ $(0, 0)$ $z=x^{4}-y^{4}$

În cazul general, un punct de șa al unei funcții netede ( al cărui grafic ilustrează o curbă , o suprafață sau o hipersuprafață ) este un punct staționar în vecinătatea căruia curba/suprafața/hiperfața dată nu se află în întregime pe o parte a spațiului tangent . la punctul dat.

În cazul unei funcții a unei variabile, un punct de șa este unul care este atât un punct staționar, cât și un punct de inflexiune (un punct de inflexiune nu este un extremum local ).

Vezi și

Literatură

Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L. & Frank, David H (1990), Calcul doi: funcții liniare și neliniare , Berlin: Springer-Verlag, p. pagina 375, ISBN 0-387-97388-5
Hilbert D., Cohn-Vossen S. , Geometrie vizuală. — URSS, Trad. din germană, Ed.5, 2010. 344
von Petersdorff, Tobias (2006), Puncte critice ale sistemelor autonome , Ecuații diferențiale pentru oameni de știință și ingineri (note de curs Matematică 246) , < http://www.wam.umd.edu/~petersd/stab.html > . Preluat la 12 noiembrie 2009. Arhivat la 3 ianuarie 2007 la Wayback Machine
Widder, DV (1989), Calcul avansat , New York: Dover Publications, p. pagina 128, ISBN 0-486-66103-2