Grup simetric

Grup simetric - grupul tuturor permutărilor unei mulțimi date (adică bijecții ) în raport cu operația de compunere . $X$ $X\la X$

Grupul simetric al unei mulțimi este de obicei notat . Dacă , atunci este de asemenea notat cu . Deoarece pentru mulțimi de putere egală ( ) grupurile lor de permutare ( ) sunt și izomorfe , atunci pentru un grup de ordin finit , grupul său de permutare este identificat cu . $X$ $S X)$ $X=\{1,2,...,n\}$ $S X)$ $S_{n}$ $|X|=|Y|$ $S(X)\cong S(Y)$ $n$ $S_{n}$

Elementul neutru din grupul simetric este permutarea identităţii . $\mathrm {id} (x)=x$

Grupuri de permutare

Deși, de obicei, grupul de permutări (sau permutări) se referă la grupul simetric în sine, uneori, mai ales în literatura de limba engleză, subgrupurile grupului simetric [1] sunt numite grupuri de permutare ale unui set . În acest caz, gradul grupului se numește cardinalitate . $X$ $S X)$ $X$

Fiecare grup finit este izomorf cu un subgrup al grupului ( teorema lui Cayley ). $G$ $S(G)$

Proprietăți

Numărul de elemente ale grupului simetric pentru o mulțime finită este egal cu numărul de permutări ale elementelor, adică factorialul de putere : . Pentru , grupul simetric este necomutativ. $|S_{n}|=n!$ $n\geqslant 3$ $S_{n}$

Grupul simetric admite următoarea sarcină : $S_{n}$

\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots,\sigma _{n-1}|\sigma _{i}^{2},(\sigma _{i}\ sigma _{i+1})^{3},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if))\ |ij| >1\rangle

Putem presupune că permută și . Ordinea maximă a elementelor de grup este funcția Landau . $\sigma_i$ $i$ $i+1$ $S_{n}$

Grupurile sunt rezolvabile , în timp ce grupul simetric este de nerezolvat . ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4))$ $n\geqslant 5$ $S_{n}$

Un grup simetric este perfect (adică maparea de conjugare este un izomorfism) dacă și numai dacă ordinea sa este diferită de 2 și 6 ( teorema lui Hölder ). În cazul în care, grupul are încă un automorfism exterior . În virtutea acestei proprietăți și a proprietății anterioare pentru , toate automorfismele sunt interne, adică fiecare automorfism are forma pentru unele . $n=6$ $S_6$ $n\geqslant 3,n\neq 6$ $S_{n}$ $\alpha(x)$ $g^{-1}xg$ $g\în S_n$

Numărul de clase de elemente conjugate ale grupului simetric este egal cu numărul de partiții ale numărului [2] . Setul de transpoziții este un set generator . Pe de altă parte, toate aceste transpoziții sunt generate de doar două permutări , astfel încât numărul minim de generatori ai unui grup simetric este de doi. $S_{n}$ $n$ $(12),(23),...,(n-1 \ n)$ $S_{n}$ $(12),(12...n)$

Centrul grupului simetric este banal pentru . Comutatorul este grupul alternant ; în plus, at este singurul subgrup normal non-trivial și are încă un subgrup normal - grupul cvadruplu Klein . $n\geqslant 3$ $S_{n}$ $Un}$ $n\neq 4$ $Un}$ $S_{n}$ $S_4$

Vizualizări

Orice subgrup al grupului de permutare poate fi reprezentat printr-un grup de matrice din , iar fiecare permutare corespunde unei matrice de permutare (o matrice în care toate elementele din celule sunt egale cu 1, iar celelalte elemente sunt egale cu zero); de exemplu, o permutare este reprezentată de următoarea matrice : $G$ $S_{n}$ $SL(n,\mathbb {Z} )$ $\pi:i\to\pi (i)$ $(i,\pi(i))$ $(231)$ $de 3\ ori 3$

\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Un subgrup al unui astfel de grup, compus din matrice cu determinant egal cu 1, este izomorf cu grupul alternant . $Un}$

Există și alte reprezentări ale grupurilor simetrice, de exemplu grupul de simetrie (format din rotații și reflexii) al dodecaedrului este izomorf , în timp ce grupul de rotație al cubului este izomorf . $S_5$ $S_4$

Note

↑ Aigner M. Teoria combinatorie. M.: Mir, 1982. - 561 p.
↑ Secvența OEIS A000041 _

Literatură

Vinberg E. B. Curs de algebră. - M. : Factorial-Press, 2001.
Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Fundamentele teoriei grupurilor. - M. : Nauka, Fizmatlit, 1982.
Kostrikin A.I. Introducere în algebră. Partea a III-a. Structuri de bază. - Editura M. = Fizmatlit, 2004.
Kurosh A.G. Teoria grupurilor. - M. : Nauka, Fizmatlit, 1967.
Teoria Postnikov M. M. Galois. — M .: Fizmatlit, 1963.