Set simplu

O mulțime simplială (în sursele timpurii - un complex semi-simplicial ) este o construcție teoretică categorie care generalizează conceptul de complex simplial și, într-un anumit sens, modelează conceptul de spațiu topologic cu proprietăți „bune”: homotopia teoria pentru mulțimi simpli este echivalentă cu teoria clasică a homotopiei pentru spații topologice. Este o construcție pur algebrică care asigură paralelism aproape complet cu obiectele geometrice; în acest sens, este considerat unul dintre cele mai importante obiecte din topologia algebrică, atât din punct de vedere metodologic, cât și instrumental [1] .

Din punctul de vedere al teoriei categoriilor, ea este definită ca un obiect simplicial din categoria mulțimilor , sau, echivalent, ca un prespor al unei categorii simpliste în categoria mulțimilor.

Definiții și structură

O mulţime simplială este un functor contravariant de la o categorie simplială la categoria mulţimilor : . $X$ $\Delta ^{{\mathrm {op}}}\la {\mathbf {Set}}$

Deoarece fiecare morfism al unei categorii simpliale este generat de morfisme și ( ) definit ca [2] : $\delta _{i}^{n}:[n-1]\la [n]$ $\sigma _{i}^{n}:[n+1]\la [n]$ $0\leq i\leqslant n$

\delta _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j<i\\j+1,&j\geq i\end{cases}}

\sigma _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j\leq i\\j-1,&j>i\end{cases}}

atunci mulțimea simplială poate fi construită ca un sistem de straturi conectate prin mapările corespunzătoare ( duale la și ) și satisfacând relațiile: $n$ $X_n$ $\delta$ $\sigma$ $d_{i}^{n}:X_{n}\la X_{{n-1}}$ $s_{i}^{n}:X_{n}\la X_{{n+1}}$

d_{i}^{n}d_{j}^{{n+1}}=d_{{j-1}}^{n}d_{i}^{{n+1}}

, dacă ,

i<j

{\displaystyle s_{i}^{n}s_{j}^{n-1}=s_{j+1}^{n}s_{i}^{n-1))

, dacă ,

i\leqslant j

d_{i}^{n+1}s_{j}^{n}={\begin{cases}s_{j-1}^{n-1}d_{i}^{n},&i <j\\{\mathsf {Id}}_{X_{n}},&(i=j)\,\vee \,(i=j+1)\\s_{j}^{n-1} d_{i-1}^{n},&i>j+1\end{cases}}

Punctele stratului se numesc simplexe dimensionale , mai mult, punctele stratului se numesc vârfuri , iar punctele stratului se numesc muchii. Morfismele se numesc operatori faciali, iar morfismele se numesc operatori de degenerare . $X_n$ $n$ $X_{0}$ $X_{1}$ $d_{i}^{n}$ $s_{j}^{n}$

O mapare simplială este un morfism (functor) între mulțimi simpliale , o mapare simplială poate fi considerată și ca o colecție de straturi , în plus, deține: $f:X\la X'$ $f_{n}:X_{n}\la X_{n}'$

d_{i}^{n}f_{n}=f_{n-1}d_{i}^{n)

( ),

0\leq i\leq n

s_{i}^{n}f_{n}=f_{{n+1}}s_{i}^{n}

( ).

0\leq i\leq n

O mulțime simplială se numește submulțime simplială dacă toate fibrele hărții simpliale sunt injective ; în acest caz, operatorii de față și operatorii de degenerare în sunt restricții ale operatorilor corespunzători pentru . $X$ $X'$ $f_{n}:X_{n}\la X_{n}'$ $f:X\la X'$ $X$ $X'$

Un set de factori simpli este o construcție obținută prin factorizarea strat cu strat a unei mulțimi simpli, adică un set de straturi , în plus, operatorii de față și degenerările straturilor factoriale sunt induse de operatorii de mulțime corespunzători . $X/\sigma$ $X_{n}/\sigma$ $X$

Mulțimile simple cu toate mapările simple posibile între ele formează o categorie [3] . ${\mathbf {Set}}^{{\Delta ^{{\mathrm {op}}}}}$

Motivație

Exemple

Proprietăți

Categoria multimilor simple admite limite directe si inverse , care pot fi calculate strat cu strat. În special, pentru orice seturi simple și produsul direct și suma directă (unirea separată) sunt definite , în plus, pentru toate straturile: $X$ $X'$ $X\ ori X'$ $X\oplus X'$

(X\x ori X')_{n}=X_{n}\x ori X'_{n}

(X\oplus X')_{n}=X_{n}\oplus X'_{n}

Realizare geometrică

Set Cosimplicial

Se foloseşte şi conceptul dual al unei mulţimi cosimplice - un functor de la o categorie simplială la categoria mulţimilor: . Mulțimile cosimplice au o structură stratificată similară cu operatori de față și degenerare (duali față de operatorii de mulțimi simpli corespunzători) și formează categoria . $\Delta \to {\mathbf {Set}}$ ${\mathbf {Set}}^{\Delta }$

Note

↑ Gabriel, Tsisman, 1971 , ... Ne referim la existența unui paralelism aproape complet (exprimat în echivalența categoriilor corespunzătoare) între teoria homotopie a spațiilor topologice și teoria analogă a mulțimilor simpliale - obiecte, în esență, pur algebrice. . Teoria multimilor simpliale, pe de o parte, are o mare importanta metodologica, clarificand semnificativ natura logica si conceptuala a fundamentelor topologiei algebrice, iar pe de alta parte, joaca rolul unuia dintre cele mai puternice instrumente de topologie. cercetare ... (din prefața lui M. M. Postnikov), p. 5.
↑ Simplicial object - Encyclopedia of Mathematics articol . Malygin S. N., Postnikov M. M.
↑ Surse din anii 1970 folosesc notația . Se folosește și notația $\Delta ^{\circ }{\mathcal E}ns$ ${\mathbf {sSet}}$

Literatură

Gabriel P., Tsisman M. Categorii de fracții și teoria homotopiei = Calculus of Fractions and Homotopy Theory / Traducere din engleză de M. M. Postnikova. — M .: Mir , 1971. — 296 p.
Simplicial set - Encyclopedia of Mathematics articol . Malygin S. N., Postnikov M. M.
McLane S. Capitolul 7. Monoizi // Categorii pentru matematicianul de lucru / Per. din engleza. ed. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 188-221. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .