Element aleatoriu

Un element aleatoriu este o generalizare a conceptului de variabilă aleatoare . Termenul a fost introdus aparent de M. Frechet (1948), care a remarcat că „dezvoltarea teoriei probabilității și extinderea domeniului de aplicare a aplicațiilor sale au condus la necesitatea trecerii de la scheme în care rezultatele (aleatorie) ale experienței pot fi descrise printr-un număr sau un set finit de numere, la scheme în care rezultatele experienței sunt, de exemplu, vectori , funcții , procese , câmpuri , serii , transformări, precum și mulțimi sau mulțimi de mulțimi.

Definiție

Fie un probabilist și să fie un spațiu măsurabil . Apoi funcția măsurabilă se numește element aleator (cu valori în ) sau variabilă aleatoare cu valoare. $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $(E,{\mathcal {E))$ $X:(\Omega,{\mathcal {F)),\mathbb {P} )\la (E,{\mathcal {E))}$ $E$ $E$

Exemple de elemente aleatorii

Dacă , unde este axa reală și este algebra Borel a submulțimilor sale, atunci definiția lui S.e. coincide cu definirea unei variabile aleatoare . $(E,{\mathcal {E}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ $\mathbb {R}$ ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ $\sigma$

Definiția S.e. într-un spațiu Banach , seamănă cu definiția unei variabile aleatoare. Fie spațiul dual al lui k. O mapare a spațiului evenimentelor elementare în se numește element aleatoriu dacă fiecare funcțională liniară continuă se dovedește a fi o variabilă aleatoare. Pe S.e. într-un spațiu Banach, conceptele de bază ale teoriei probabilităților, cum ar fi funcția caracteristică , așteptarea matematică , covarianța etc., pot fi extinse. $X$ $B$ $B^{*}$ $B$ $X=X(\omega )$ $\Omega$ $\omega$ $B$ $X^{*}(X(\omega ))$

Pentru S.e. cu valori în spații arbitrare, unele concepte de bază ale teoriei probabilităților nu pot fi definite. De exemplu, este imposibil de definit conceptul clasic de așteptare matematică pentru SE, al cărui spațiu de valori nu este liniar (mulțime abstractă finită aleatorie, set aleatoriu de evenimente). În astfel de situații, se folosește de obicei unul sau altul analog al conceptelor clasice (mulțimea medie-dimensională).

Elemente aleatorii de natură variată

Valoare aleatoare
Variabilă aleatorie discretă
Variabilă aleatoare continuă
Variabilă aleatoare complexă
Variabila aleatorie simpla
vector aleatoriu
matrice aleatorie
functie aleatorie
proces aleatoriu
câmp aleatoriu
măsură aleatorie
set aleatoriu
Set închis aleatoriu
Set compact aleatoriu
„punct” aleatoriu
Cifra aleatorie
formă aleatorie
Set finit aleatoriu
Set abstract finit aleatoriu
Set aleatoriu de evenimente

Literatură

Frechet, M. (1948) Les éléments aleatories de nature quelconque dans un espace distancie. Ann.Inst.H.Poincare 10, 215-310.
Shiryaev A. N. (1980) Probabilitate. - M .: Nauka, 576s.

Vezi și

Funcție măsurabilă