Interacțiunea rotație-orbita

Interacțiunea spin-orbită - în fizica cuantică , interacțiunea dintre o particulă în mișcare și propriul ei moment magnetic datorat spin -ului particulei. Cel mai comun exemplu de astfel de interacțiune este interacțiunea unui electron situat pe una dintre orbitele unui atom cu spin propriu. O astfel de interacțiune, în special, duce la apariția așa-numitei structuri fine a spectrului energetic al electronului și la divizarea liniilor spectroscopice ale atomului.

Derivarea hamiltonianului spin-orbita

Interacțiunea spin-orbită este un efect relativist , prin urmare, pentru a deriva partea din Hamiltonian corespunzătoare acestei interacțiuni, ar trebui să pornim de la ecuația lui Dirac cu contribuția câmpului electromagnetic extern luată în considerare în Hamiltonian cu potențialul vectorial A și potențialul scalar φ, pentru care, în ecuația lui Dirac, conform formalismului lagrangian [1] , trebuie să înlocuiți

{\mathbf {p}}\rightarrow {\mathbf {p}}-(e/c){\mathbf {A}}

și

E\rightarrow E+e\varphi

Ca rezultat, ecuația lui Dirac ia forma:

i\hbar {{\frac {\partial \psi }{\partial t}}}=[c{\boldsymbol \alpha }({\mathbf p}-{{\frac {e}{c}}}{\ mathbf A})+\beta mc^{2}+e\varphi ]\psi

Unde $\beta ={\begin{pmatrix}{\mathbf 1}&0\\0&-{\mathbf 1}\\\end{pmatrix)),\quad {\boldsymbol \alpha }={\begin{pmatrix}0&{ \boldsymbol \sigma }\\{\boldsymbol \sigma }&0\\\end{pmatrix}}$

$\sigma _{i}$ sunt matricele Pauli

\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix)),\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\\\ end{pmatrix)),\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix)),\quad \ {\mathbf 1}={\begin{pmatrix }1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}.

Din acest Hamiltonian se poate observa că funcția de undă ψ trebuie să fie cu patru componente și se știe că două dintre componentele sale corespund soluțiilor cu energie pozitivă, iar două, cu energie negativă. Rolul soluțiilor cu energie negativă este mic atunci când se iau în considerare aspecte legate de fenomenele magnetice, deoarece găurile din spectrul energiei negative corespund pozitronilor , pentru formarea cărora o energie de ordinul , care este mult mai mare decât energia asociată cu fenomene magnetice, este necesar. În legătură cu cele de mai sus, este convenabil să folosiți transformarea canonică Foldy și Wouthuizen [2] , care împarte ecuația Dirac într-o pereche de ecuații cu două componente. Una dintre ele descrie soluții cu energie negativă, iar cealaltă cu energie pozitivă și are Hamiltonianul de următoarea formă: $mc^{2}$

{\mathcal H}=\left[mc^{2}+{\frac {1}{2m}}\left(({\mathbf p}}-{\frac {e}{c}}{{\mathbf A}}\right)^{2}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}\right]+{e\varphi }-{\frac {e\ hbar }{2mc)){{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf H}}+\left\{-i({\frac {e\hbar ^{2}}{8m^{2}c ^{2)))){{\boldsymbol \sigma }}\cdot {\nabla }\times {{\mathbf E}}-{{\frac {e\hbar }{4m^{2}c^{2 }}}}{{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf E}}\times {{\mathbf p}}\right\}-{\frac {e\hbar ^{2}}{8m^ {2}c^{2}}}{\nabla }\cdot {{\mathbf E}}.

Termenii încadrați între paranteze caracterizează interacțiunea spin-orbita. În special, dacă câmpul electric este simetric central, atunci avem , iar Hamiltonianul interacțiunii spin-orbita ia forma: $\nabla \times {\mathbf E}=0$

{\mathcal H}_{{so}}=-{{\frac {e\hbar }{4m^{2}c^{2}}}}{{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf E}}\times {{\mathbf p}}={{\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2}}}}{{\frac {1}{r}}{\frac { \partial V}{\partial r}}}{{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf r}}\times {{\mathbf p}}={{\frac {\hbar }{4m^{ 2}c^{2)))){{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}}{{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf L}},

unde este operatorul momentului unghiular al electronului. ${\mathbf L}={\mathbf r}\time {\mathbf p}$

Acest rezultat este în concordanță cu expresia clasică care descrie interacțiunea spinului electronului cu câmpul datorită mișcării orbitale a electronului. Să explicăm asta.

Expresia clasică a energiei de interacțiune spin-orbita pentru un electron atomic

Fie ca un electron să se miște uniform și rectiliniu cu o viteză v în câmpul unui nucleu plasat la originea sistemului de coordonate 1 și care creează un câmp coulombian . În cadrul 2, asociat cu electronul în mișcare, observatorul va vedea un nucleu în mișcare, care creează atât un câmp electric, cât și unul magnetic, cu puterile E' și , respectiv, H' . După cum reiese din teoria relativității, E’ și H’ sunt legate de E prin următoarele relații: $e{\mathbf E}=-{{\frac {{\mathbf r}}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}}$

{\mathbf E}'={\mathbf E},\quad {\mathbf H}'\approx -{\frac {1}{c)){\mathbf v}\times {\mathbf E}=-{\ frac {1}{mc)){\mathbf p}\times {\mathbf E}.

Acolo unde termenii de comandă sunt renunțați $v^{2}/c^{2}.$

Atunci ecuația pentru modificarea impulsului de spin a impulsului (asociată, conform ipotezei Uhlenbeck-Goudsmit, cu raportul giromagnetic cu momentul magnetic ca ) în sistemul de coordonate 2 va avea forma: ${\mathbf S}={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol \sigma }{}$ ${\boldsymbol \mu }$ ${\frac {|{\boldsymbol \mu }|}{|{\mathbf S}|}}={\frac {|e|}{mc}}{}$

{\frac {d{\mathbf S}}{dt}}=\mu \times {\mathbf H}'=-{\frac {e\hbar }{2m^{2}c^{2}}}{ \boldsymbol \sigma }\times \left[{\mathbf p}\times {\mathbf E}\right].

Această ecuație corespunde interacțiunii spinului electronului cu câmpul electromagnetic, care este descrisă de hamiltonian sub următoarea formă:

{\mathcal H}'_{{so}}={\frac {e\hbar }{2m^{2}c^{2}}}{\boldsymbol \sigma }\cdot {\mathbf p}\times { \mathbf E}.

Rețineți că forma hamiltonianului, până la un factor de 1/2, coincide cu forma părții spin-orbitale a hamiltonianului obținută din ecuația lui Dirac folosind transformările Foldy și Wouthuysen. Absența acestui factor se datorează faptului că ecuația de modificare a momentului magnetic al unui electron va fi adevărată numai dacă sistemul 2 nu se rotește, altfel această ecuație, datorată precesiei lui Thomas , ar trebui să arate ca

{\frac {d{\mathbf S}}{dt}}={\frac {e\hbar }{2mc}}{\boldsymbol \sigma }\times {\mathbf H}'-\omega _{{T} }\time {\mathbf S},

unde este viteza unghiulară de rotație Tomos . $\omega _{{T}}$

Un electron dintr-un atom este accelerat de un câmp Coulomb ecranat; prin urmare, viteza unghiulară Tomos este descrisă de relația

\omega _{{T))\aprox {\frac {1}{2m^{2}c^{2))}({\frac {1}{r)){\frac {\partial V}{\ parțial r))}[{\mathbf r}\times {\mathbf p}]

Astfel, Hamiltonianul interacțiunii spin-orbita va avea forma:

{\mathcal H}_{{so}}={\frac {\hbar }{2m^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {dV}{dr )){\boldsymbol \sigma }\cdot {\mathbf r}\times {\mathbf p}-{\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2))}{{\frac {1} {r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}}{\boldsymbol \sigma }\cdot {\mathbf r}\times {\mathbf p}={\frac {\hbar }{4m^ {2}c^{2))}{{\frac {1}{r)){\frac {\partial V}{\partial r))}{\boldsymbol \sigma }\cdot {\mathbf r}\ ori {\mathbf p},

Care este exact același cu rezultatul anterior.

Vezi și

Efect Rashba

Note

↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Teoria câmpului. - ediția a VII-a, revizuită. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Fizica teoretică ", Volumul II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ LLFoldy, SAWouthuysen. Despre teoria lui Dirac a particulelor de spin 1/2 și limita sa non-relativistă // Phys.Rev . : revista. - 1950. - Vol. 78 . — P. 29-36 . - doi : 10.1103/PhysRev.78.29 .

Literatură

Stepanov N. F. Mecanica cuantică și chimia cuantică. -M.:Mir, 2001. - S. 391-398. — 519 p. -5000 de exemplare. -ISBN 5-03-003414-5.
White R. Teoria cuantică a magnetismului / Per. din engleza. — Ed. a II-a, corectată. și. adăuga. — M.: Mir , 1985. — 304 p.
Björken JD , Drell S.D. Teoria cuantică relativistă. Volumul 2. - IO NFMI, 2000. - 296 p.
Jackson J. Electrodinamică clasică. — M.: Mir , 1965. — 703 p.