Grupul spinor

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 9 martie 2019; verificarea necesită 1 editare .

Un grup spinor este un subset de elemente ale algebrei Clifford peste (cu produs scalar ) format din elemente de forma , unde sunt vectori unitari . Operația în grupul spinor este înmulțirea în algebra Clifford. $V$ $q_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{2n)$ $q_{i}\în V$

Grupul spinor peste spațiul euclidian este de obicei notat cu . Există o scurtă secvență exactă $\mathbb {R} ^{n}$ $\operatorname {Spin} (n)$

1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)\to 1

Astfel, grupul spinor este o acoperire cu două foi a grupului ortogonal special . Un homomorfism poate fi construit după cum urmează: Fiecare vector unitar q poate fi asociat cu o reflexie în raport cu un hiperplan perpendicular pe q . Astfel, un element al grupului spinor poate fi asociat cu compoziția reflexiilor $\operatorname {SO} (n)$ $\operatorname {Spin} (n)\la \operatorname {SO} (n)$ $R_{q)$ $q_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{2n)$

R_{q_{1},}\circ \cdots \circ R_{q_{2n)}

care apartine grupului . Reprezentările proiective ale grupului acoperit sunt în corespondență unu-la-unu cu reprezentările acoperirii sale . $\operatorname {SO} (n)$ $\operatorname {SO} (n)$ $\operatorname {Spin} (n)$

Structura primelor grupuri de spinori

\operatorname {Spin} (1)\simeq \operatorname {O} (1)\simeq \mathbb {Z} _{2}\simeq \mathbb {S} ^{0)

\operatorname {Spin} (2)\simeq \operatorname {U} (1)\simeq \mathbb {S} ^{1)

\operatorname {Spin} (3)\simeq \operatorname {Sp} (1)\simeq \operatorname {SU} (2)\simeq \mathbb {S} ^{3)

{\displaystyle \operatorname {Spin} (4)\simeq \operatorname {Sp} (1) {\times }\operatorname {Sp} (1)\simeq \operatorname {SU} (2) {\times }\operatorname { SU} (2)\simeq \mathbb {S} ^{3}{\times }\mathbb {S} ^{3))

\operatorname {Spin} (5)\simeq \operatorname {Sp} (2)

\operatorname {Spin} (6)\simeq \operatorname {SU} (4)