Reprezentarea proiectivă

Reprezentarea proiectivă a unui grup pe un spațiu vectorial peste un câmp este un homomorfism într-un grup proiectiv $G$ $V$ $F$ $G$

\mathrm {PGL} (V)=\mathrm {GL} (V)/F^{*},

unde este grupul liniar complet și este subgrupul normal al lui , constând din factori scalari ai operatorului de identitate. [1] Cu alte cuvinte, este un set de operatori astfel încât $\mathrm {GL} (V)$ $F^{*}$ $\rho (g)\in \mathrm {GL} (V),\,g\in G$

\rho (g)\rho (h)=c(g,h)\rho (gh)

pentru unele constante . $c(g,h)\in F$

Unele reprezentări proiective pot fi obținute din reprezentări folosind o mapare a coeficientului . Un interes deosebit pentru algebră este situația în care o reprezentare proiectivă dată poate fi „ridicat” la reprezentarea liniară obișnuită , în cazul general obstacolele în calea acesteia sunt descrise de coomologiile de grup . $\mathrm {GL} (V)$ $\mathrm {GL} (V)\la \mathrm {PGL} (V)$ $\mathrm {GL} (V);$

Cel mai important caz îl reprezintă reprezentările proiective ale grupurilor Lie , al căror studiu duce la luarea în considerare a reprezentărilor extensiilor lor centrale . În multe cazuri interesante, este suficient să studiem reprezentările grupurilor de acoperire cărora le corespund reprezentările proiective ale grupului acoperit:

Grupul ortogonal special este acoperit de două ori de grupul spinor . $\mathrm {SO} (n,F)$ $\mathrm {Spin} (n,F)$
În special, grupul de rotații ale spațiului tridimensional este acoperit de , studiul reprezentărilor cărora, în consecință, este de o importanță capitală pentru teoria nerelativista a spinului . ${\mathrm {SO}}(3)$ ${\mathrm {SU}}(2)$
În mod similar, teoria relativistă a spinului începe prin a lua în considerare reprezentări ale acoperirii universale a grupului Lorentz . $\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$ $\mathrm {SO} ^{+}(3,1)$
Acoperirea universală a grupului Poincaré este produsul semidirect , ale cărui reprezentări ne oferă clasificarea Wigner a particulelor și câmpurilor în fizică. $\mathbb {R} ^{3,1}\rtimes \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$

Teorema lui Bargman afirmă că, dacă coomologia bidimensională a algebrei Lie este trivială, atunci orice reprezentare unitară proiectivă poate fi ridicată la reprezentarea unitară obișnuită . [2] [3] Condițiile teoremei sunt îndeplinite, în special, pentru grupurile semisimple de Lie și grupul Poincaré . $H^{2}({\mathfrak {g});\mathbb {R} )$ $\mathfrak g$ $G$ $G$

Vezi și

Note

↑ Gannon, 2006 , pp. 176–179.
↑ Bargmann, 1954
↑ Simms, 1971

Literatură

Bargmann, Valentine (1954), Despre reprezentările cu raze unitare ale grupurilor continue , Analele matematicii vol . 59 (1): 1–46 , DOI 10.2307/1969831
Gannon, Terry (2006), Moonshine Beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83531-2
Hall, Brian C. (2013), Teoria cuantică pentru matematicieni , voi. 267, Texte pentru absolvenți în matematică, Springer, ISBN 978-1461471158
Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , vol. 222 (ed. a 2-a), Texte pentru absolvenți în matematică, Springer, ISBN 978-3319134666
Schur, I. (1911), Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen , Crelle's Journal vol. 139: 155–250 , < http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/en /dms/load/img/?IDDOC=261150 >
Simms, DJ (1971), O dovadă scurtă a criteriului lui Bargmann pentru ridicarea reprezentărilor proiective ale grupurilor Lie , Rapoarte despre fizica matematică vol. 2 (4): 283–287 , DOI 10.1016/0034-4877(71)90011-5