Reprezentarea proiectivă a unui grup pe un spațiu vectorial peste un câmp este un homomorfism într-un grup proiectiv
unde este grupul liniar complet și este subgrupul normal al lui , constând din factori scalari ai operatorului de identitate. [1] Cu alte cuvinte, este un set de operatori astfel încât
pentru unele constante .
Unele reprezentări proiective pot fi obținute din reprezentări folosind o mapare a coeficientului . Un interes deosebit pentru algebră este situația în care o reprezentare proiectivă dată poate fi „ridicat” la reprezentarea liniară obișnuită , în cazul general obstacolele în calea acesteia sunt descrise de coomologiile de grup .
Cel mai important caz îl reprezintă reprezentările proiective ale grupurilor Lie , al căror studiu duce la luarea în considerare a reprezentărilor extensiilor lor centrale . În multe cazuri interesante, este suficient să studiem reprezentările grupurilor de acoperire cărora le corespund reprezentările proiective ale grupului acoperit:
Teorema lui Bargman afirmă că, dacă coomologia bidimensională a algebrei Lie este trivială, atunci orice reprezentare unitară proiectivă poate fi ridicată la reprezentarea unitară obișnuită . [2] [3] Condițiile teoremei sunt îndeplinite, în special, pentru grupurile semisimple de Lie și grupul Poincaré .