Statistica Bose-Einstein

Statistica Bose-Einstein este statistica cuantică aplicată sistemelor de bozoni identici (particule cu spin zero sau întreg ), care includ, de exemplu, fotoni și atomi de heliu-4 . Determină numărul mediu de bozoni în stări cu o energie dată într-un sistem în echilibru termodinamic : $n_{i}$ $\varepsilon_i$

n_{i}={\frac {g_{i}}{\exp \left({\dfrac {\varepsilon _{i}-\mu {kT}}\right)-1}}

unde este multiplicitatea degenerării (numărul de stări ale unei particule cu energie ), este potențialul chimic , este constanta Boltzmann , este temperatura absolută . Dacă , atunci funcția numărului de niveluri de umplere cu particule se numește funcția Bose-Einstein : $g_i$ $\varepsilon_i$ $\mu$ $k$ $T$ $g_i=1$

F(\varepsilon,T)={\frac {1}{\exp \left({\dfrac {\varepsilon -\mu}kT))\right)-1))

Propus în 1924 de Shatyendranath Bose pentru a descrie fotonii. În 1924-1925. Albert Einstein a generalizat-o la sisteme de atomi cu spin întreg.

Proprietățile statisticilor Bose-Einstein

Funcția Bose-Einstein are următoarele proprietăți:

adimensional;
definit numai pentru energii care depasesc ; $\varepsilon$ $\mu$
ia valori reale în intervalul de la 0 la ; $+\infty$
scade cu energia;
scăderea devine mai accentuată odată cu scăderea temperaturii;
la temperaturi ridicate și/sau concentrații scăzute de particule intră în statisticile Maxwell-Boltzmann ;
în limită intră în distribuția Rayleigh . $kT\gg \varepsilon -\mu$ $F=kT/(\varepsilon -\mu )$

Comparație cu statisticile Fermi-Dirac

Funcția Bose-Einstein este similară cu funcția Fermi-Dirac , folosită pentru a descrie un sistem de fermioni identici - particule cu spin semiîntreg, respectând principiul Pauli (o stare cuantică nu poate fi ocupată de mai mult de o particulă).

Diferența constă în scăderea unității la numitor, în timp ce în formula Fermi-Dirac există un semn plus în acest loc. Ca rezultat, forma celor două statistici la energii apropiate și sub potențialul chimic este substanțial diferită. La energii mari, totuși, ambele statistici sunt apropiate și coincid cu statisticile clasice maxwelliene . $F(\varepsilon,T)$ $\varepsilon$ $F=\exp[(\mu -\varepsilon)/kT]$

Semnificație matematică și fizică

Funcția Bose-Einstein stabilește numerele de ocupație ( de exemplu, factorul de ocupare ) ale stărilor cuantice. Este adesea numită „distribuție”, dar din punctul de vedere al aparatului teoriei probabilităților, nu este nici o funcție de distribuție, nici o densitate de distribuție . De asemenea, nu poate fi interpretat ca o anumită probabilitate. $F(\varepsilon,T)$

Oferind informații despre ocuparea stărilor, funcția nu spune nimic despre prezența acestor stări. Pentru sistemele cu energii discrete, setul valorilor lor posibile este dat de listă etc. , iar pentru sistemele cu un spectru continuu de energii, stările sunt caracterizate printr-o „ densitate de stări ” (J -1 sau J - 1 m -3 ). $F(\varepsilon,T)$ $\varepsilon_{1}$ $\varepsilon _{2}$ $\rho (\varepsilon )$

Aplicarea statisticilor Bose-Einstein

Statisticile Fermi-Dirac și Bose-Einstein sunt supuse unor sisteme de particule identice în care efectele cuantice nu pot fi neglijate. Efectele cuantice se manifestă la concentrațiile de particule , unde este așa-numita concentrație cuantică , la care distanța medie dintre particule este egală cu unda medie de Broglie pentru un gaz ideal la o anumită temperatură. La concentrare, funcțiile de undă ale particulelor se „ating” unele pe altele, dar practic nu se suprapun. $(N/V)\geq n_{q)$ $n_q$ $n_q$

Condițiile pentru aplicarea statisticilor Bose-Einstein sunt slăbiciunea interacțiunii interparticule din sistem (cazul unui gaz cuantic ideal ) și temperatura peste temperatura de degenerare .

Statistica Bose-Einstein (precum și statistica Fermi-Dirac ) este legată de principiul mecanic cuantic al indistincibilității particulelor identice. Cu toate acestea, fermionii (particulele pentru care principiul de excludere Pauli este valabil) se supun statisticilor Fermi-Dirac , iar bosonii se supun statisticilor Bose-Einstein . Deoarece concentrația cuantică crește odată cu creșterea temperaturii, majoritatea sistemelor fizice la temperaturi ridicate se supun statisticilor clasice Maxwell-Boltzmann . Excepție fac sistemele cu densitate foarte mare, cum ar fi piticele albe .

Bosonii, spre deosebire de fermioni, nu se supun principiului de excludere Pauli - un număr arbitrar de particule pot fi simultan în aceeași stare. Din această cauză, comportamentul lor este foarte diferit de comportamentul fermionilor la temperaturi scăzute. În cazul bosonilor, pe măsură ce temperatura scade, toate particulele se vor asambla într-o stare cu cea mai mică energie, formând așa-numitul condensat Bose-Einstein .

Concluzie și descriere

Hamiltonianul unui sistem de particule care nu interacționează este egal cu suma hamiltonienilor particulelor individuale. Funcțiile proprii ale Hamiltonianului sistemului sunt reprezentate ca produsul funcțiilor proprii ale Hamiltonienilor particulelor individuale. Și valorile proprii ale hamiltonianului (energia) sistemului sunt egale cu suma energiilor (valorilor proprii ale hamiltonienilor) particulelor individuale. Dacă există particule la un anumit nivel de energie, atunci energia sistemului este o sumă ponderată , iar funcția de undă a sistemului este produsul $\varepsilon_i$ $n_{i}$ $E=\sum^{\infty}_{i=0}n_i \varepsilon_i$

\psi(r)=\psi(r_1,r_2,...,r_n)=\psi_{i_1}(r_1)\psi_{i_2}(r_2)...\psi_{i_n}(r_n)

unde este funcția de undă pentru nivelul de energie . $\psi_{i_k}$ $\varepsilon_{i_k}$

Formula generală pentru probabilitatea unei stări a unui sistem cu un nivel de energie dat este definită după cum urmează ( marele ansamblu canonic ):

W(E)=e^{\frac {\Omega +\mu nE}{\Theta}}g(E),

unde este multiplicitatea degenerării a nivelului energetic dat. $GE)$

Pentru funcția de undă descrisă mai sus, permutarea coordonatelor schimbă funcția de undă, adică permutarea coordonatelor creează o nouă microstare. Adică, alegerea unei astfel de funcție de undă implică distingerea microscopică a particulelor. Cu toate acestea, macroscopic ele corespund aceleiași stări. Prin urmare, pentru o astfel de funcție de undă, atunci când se caracterizează macrostările, este necesar să se împartă formula de mai sus prin excluderea luării în considerare multiple a aceleiași macrostări în suma statistică. $n!$

Cu toate acestea, este necesar să se țină seama de faptul că, după cum se știe, o combinație liniară arbitrară de funcții de undă este, de asemenea, o soluție a ecuației Schrödinger. Datorită identității particulelor, adică indistinguirii lor microscopice, este necesar să alegeți o astfel de combinație liniară, astfel încât permutarea coordonatelor să nu schimbe funcția de undă, adică

\psi =\sum _{P}P\psi ,

unde este operația de permutare a coordonatelor particulelor. În plus, conform teoremei Pauli pentru bozoni, funcțiile de undă sunt simetrice, adică înmulțirea cu coordonatele unității minus nu modifică nici funcția de undă. Astfel de funcții de undă descriu stări nedegenerate, prin urmare . În plus, necesitatea de mai sus de împărțire la este eliminată , deoarece permutările nu conduc la noi microstări pentru funcția de undă aleasă. Astfel, este în sfârșit posibil să se exprime probabilitatea unei stări date după cum urmează prin numerele de umplere : $P$ $g(E)=1$ $n!$ $n_l$

W(n_{0},n_{1},...)=e^{\frac {\Omega +\sum _{l=0}^{\infty }n_{i}(\mu - \varepsilon _{i})}{\Theta )).

De aici se poate arăta că

\Omega =\Theta \sum _{i=0}^{\infty}\ln(1-e^{(\mu -\varepsilon _{i})/\Theta}).

Numărul mediu de particule într-o stare dată poate fi exprimat în termenii acestei mărimi ca o derivată parțială (cu semnul opus) prin presupunerea convențională că acestea diferă pentru fiecare . Apoi, pentru numărul mediu de particule într-o stare dată, conform statisticilor Bose-Einstein, obținem $\mu _{i}$ $\mu$ $i$

{\overline {n}}_{i}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/kT}-1)),

unde , este numărul de particule din stare , este energia stării . $\varepsilon_i > \mu$ $n_{i}$ $i$ $\varepsilon_i$ $i$

Variații și generalizări

Dacă parametrul din distribuția binomială negativă este un număr întreg, cea din urmă distribuție devine distribuția generalizată Bose-Einstein [1] . $r$
Dacă parametrul se află în distribuția binomială negativă , atunci distribuția binomială negativă devine distribuția geometrică . Ultima distribuție este distribuția Bose-Einstein pentru o singură sursă [1] . $r=1$

Vezi și

Literatură

Statistici Bose-Einstein // Bari-Bracelet. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1970. - ( Marea Enciclopedie Sovietică : [în 30 de volume] / redactor-șef A. M. Prokhorov ; 1969-1978, vol. 3).
Statistica Bose-Einstein / A. G. Bashkirov // „Campania de banchet” 1904 - Big Irgiz. - M .: Marea Enciclopedie Rusă, 2005. - S. 674. - ( Marea Enciclopedie Rusă : [în 35 de volume] / redactor-șef Yu. S. Osipov ; 2004-2017, v. 3). — ISBN 5-85270-331-1 .
Distribuție Bose-Einstein // Kazahstan. Enciclopedia Națională . - Almaty: Enciclopedii kazahe , 2004. - T. I. - ISBN 9965-9389-9-7 . (Rusă) (CC BY SA 3.0)

Link -uri

↑ 1 2 Schopper H. (Ed.) // Electron - Positron Interactions Arhivat 10 mai 2021 la Wayback Machine . Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 1992. P. 133

Când scriu acest articol, material din publicația „ Kazahstan. National Encyclopedia " (1998-2007), furnizat de editorii "Kazakh Encyclopedia" sub licența Creative Commons BY-SA 3.0 Unported .

Dicționare și enciclopedii	Mare norvegian Rusă mare Rusă mare Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	GND : 4146391-2