Distribuție binomială negativă

Distribuție binomială negativă
Funcția de probabilitate
Desemnare	$\mathrm {NB} (r,p)$
Opțiuni	$r>0$ $p\in (0;1)$ $q\equiv 1-p$
Purtător	$k\în \{0,1,2,\ldots\}$
Funcția de probabilitate	${\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)))\,p^{r}\,q^{k)$
funcția de distribuție	$I_{p}(r,k+1)$
Valorea estimata	${\frac {rq}{p}}$
Modă	$\left\lfloor {\frac {(r-1)q}{p}}\right\rfloor$ dacă dacă $\ r>1\$ $0$ $r\leq 1$
Dispersia	${\frac {rq}{p^{2)}}$
Coeficient de asimetrie	${\frac {2-p}{\sqrt {r\,q))}$
Coeficientul de kurtoză	${\frac {6}{r}}+{\frac {p^{2}}{r\,q}}$
Funcția generatoare a momentelor	$\left({\frac {p}{1-qe^{t}}}\right)^{r}$
functie caracteristica	$\left({\frac {p}{1-qe^{i\,t}}}\right)^{r}$

Distribuția binomială negativă , numită și distribuția Pascal, este distribuția unei variabile aleatoare discrete egală cu numărul de eșecuri dintr-o succesiune de încercări Bernoulli cu o probabilitate de succes înainte de cel de-al- lea succes. $p$ $r$

Definiție

Fie o succesiune de variabile aleatoare independente cu distribuția Bernoulli , i.e. $\{X_{i}\}_{{i=1}}^{{\infty }}$

X_{i}=\left\{{\begin{matrix}1,&p\\0,&q\equiv 1-p\end{matrix}}\right.,\;i\in \mathbb {N } .

Construim o variabilă aleatoare după cum urmează. Fie numărul celui de-al- lea succes din această secvență. Apoi . Mai strict, să . Apoi $Y$ $k+r$ $r$ $Y=k$ $S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$

Y=\inf\{n\mid S_{n}=r\}-r

Distribuția unei variabile aleatoare definită în acest fel se numește binom negativ. Scrie: . $Y$ $Y\sim \mathrm {NB} (r,p)$

Funcții de probabilitate și distribuție

Funcția de probabilitate a unei variabile aleatoare are forma: $Y$

\mathbb {P} (Y=k)={\binom {k+r-1}{k)}\,p^{r}q^{k},\;k=0,1,2 ,\ldots

Funcția de distribuție este constantă pe bucăți, iar valorile sale la puncte întregi pot fi exprimate în termenii funcției beta incomplete : $Y$

F_{Y}(k)=I_{p}(r,k+1)

Momente

Funcția generatoare a momentelor distribuției binomiale negative are forma:

M_{Y}(t)=\left({\frac {p}{1-qe^{t}}}\right)^{r}

Unde

\mathbb {E} [Y]={\frac {rq}{p)}

\mathrm {D} [Y]={\frac {rq}{p^{2)}}

Proprietăți

Lasă atunci $Y_{i}\sim NB(r_{i},p)$ $\sum _{i}Y_{i}\sim NB\left(\sum _{i}r_{i},p\right)$

Cazuri speciale ale distribuției binomiale negative

Ca r→∞, distribuția binomială negativă devine distribuția Poisson
Dacă parametrul r este un număr întreg, atunci distribuția binomială negativă devine distribuția generalizată Bose-Einstein [1] .
Pentru r=1, distribuția binomială negativă devine distribuția geometrică
Pentru r=1, distribuția geometrică rezultată este distribuția Bose-Einstein pentru o singură sursă [1] .

Note

↑ 1 2 Schopper H. (Ed.) Interacțiuni electron - pozitron. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 1992. P. 133// https://www.twirpx.org/file/3458790/ Arhivat 10 mai 2021 la Wayback Machine

Distribuții de probabilitate
Discret	Bernoulli Binom Geometric hipergeometrică Logaritmic Binom negativ Poisson Uniformă discretă Multinom
Absolut continuu	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenţială Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gauss) Logistică Nakagami Pareto Pearson semicircular uniformă continuă Orez Rayleigh Student Tracey - Vidoma Pescar Chi-pătrat Exponenţial Varianta-gama Normal multivariat copulă