Distribuția Rayleigh

Distribuția Rayleigh
Probabilitate densitate
funcția de distribuție
Opțiuni	$\sigma >0$
Purtător	$x\in [0;\infty )$
Probabilitate densitate	${\frac {x}{{{\sigma }^{{2))))}\exp \left(-{\frac {{{x}^{{{2)))){2{{\sigma } ^{{2}}}}}\dreapta)$
funcția de distribuție	$1-\exp \left({\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$
Valorea estimata	${\sqrt {{\frac {\pi }{2))))\sigma$
Median	$\sigma {\sqrt {\ln(4))}$
Modă	$\sigma$
Dispersia	$\left(2-\pi /2\right){{\sigma }^{{2))}$
Coeficient de asimetrie	${\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{{{3/2))))$
Coeficientul de kurtoză	$-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}$
Entropia diferenţială	$1+\ln \left({\frac {\sigma }{{\sqrt {2))))\right)+{\frac {\gamma }{2))$
Funcția generatoare a momentelor	$1+\sigma t\,e^{{\sigma ^{2}t^{2}/2}}{\sqrt {{\frac {\pi }{2}}}}\left({\textrm { erf}}\left({\frac {\sigma t}{{\sqrt {2}}}}\right)\!+\!1\right)$
functie caracteristica	$1\!-\!\sigma te^{{-\sigma ^{2}t^{2}/2}}{\sqrt {{\frac {\pi }{2))))\!\left( {\textrm {erfi}}\!\left({\frac {\sigma t}{{\sqrt {2}}}}\right)\!-\!i\right)$

Distribuția Rayleigh este distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare cu o densitate $\displaystyle X$

f(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2} }}\right),x\geqslant 0,\sigma >0,

unde este parametrul de scară. Funcția de distribuție corespunzătoare are forma $\displaystyle \sigma$

{\mathsf P}(X\leqslant x)=\int \limits _{0}^{x}f(\xi )\,d\xi =1-\exp \left(-{\frac {x^{ 2}}{2\sigma ^{2}}}\right),x\geqslant 0.

Introdus pentru prima dată în 1880 de John William Strutt (Lord Rayleigh) în legătură cu problema adunării oscilațiilor armonice cu faze aleatorii.

Aplicație

În sarcini despre împușcarea cu arme. Dacă abaterile de la țintă pentru două direcții reciproc perpendiculare sunt distribuite în mod normal și necorelate, coordonatele țintei coincid cu originea, atunci, notând răspândirea de-a lungul axelor ca și , obținem o expresie pentru valoarea greșită în forma . În acest caz, cantitatea are o distribuție Rayleigh. $X$ $Y$ $R={\sqrt {{{X}^{{2}}}+{{Y}^{{2}}}}}$ $R$
În inginerie radio pentru a descrie fluctuațiile de amplitudine ale unui semnal radio.

Dacă și sunt variabile aleatoare gaussiene independente cu așteptări matematice zero și varianțe egale , atunci variabila aleatoare are o distribuție Rayleigh. ${X}$ ${Y}$ ${{\sigma }^{{2))}$ $Z={\sqrt {{{X}^{{2}}}+{{Y}^{{{2}}}}}$
Dacă variabile aleatoare gaussiene independente și au așteptări matematice diferite de zero, care sunt în general inegale, atunci distribuția Rayleigh devine distribuția Rice . ${X}$ ${Y}$
Distribuția de densitate a pătratului mărimii Rayleigh c are o distribuție chi-pătrat cu două grade de libertate. ${\sigma =1}$
Distribuția Rayleigh, prin schimbarea variabilei, se reduce la distribuția gamma .

Perov, AI Teoria statistică a sistemelor de inginerie radio. - M . : Inginerie radio, 2003. - 400 p. — ISBN 5-93108-047-3 .

Distribuții de probabilitate
Discret	Bernoulli Binom Geometric hipergeometrică Logaritmic Binom negativ Poisson Uniformă discretă Multinom
Absolut continuu	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenţială Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gauss) Logistică Nakagami Pareto Pearson semicircular uniformă continuă Orez Rayleigh Student Tracey - Vidoma Pescar Chi-pătrat Exponenţial Varianta-gama Normal multivariat copulă