Distribuția geometrică

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 30 mai 2014; controalele necesită 53 de modificări .

Distribuția geometrică în teoria probabilității înseamnă una dintre cele două distribuții ale unei variabile aleatoare discrete :

distribuția probabilității unei variabile aleatoare egală cu numărul primului „succes” dintr-o serie de încercări Bernoulli și luarea de valori ; $X$ $n=1,2,3,...$
distribuția probabilității unei variabile aleatoare egală cu numărul de „eșecuri” înainte de primul „succes” și luând valorile . $Y=X-1$ $n=0,1,2,...$

Definiție

Se spune că o variabilă aleatorie are o distribuție geometrică cu parametru și se scrie dacă ia valori cu probabilități . O variabilă aleatoare cu această distribuție are semnificația numărului primului test de succes în schema Bernoulli cu probabilitatea de succes . $X$ $p\in(0,1)$ $\mathrm {Geom} _{1}(p)$ $n=1,2,3,...$ $\mathbb {P} (X=n)=(1-p)^{n-1}p$ $p$

Fie o succesiune infinită de variabile aleatoare independente cu distribuția Bernoulli , i.e. $Z_{1},\ldots ,Z_{n},\ldots$

Z_{i}=\left\{{\begin{matrix}1,&p\\0,&q\equiv 1-p\end{matrix}}\right.,\;i=1,2,\ ldots

. Să construim o variabilă aleatorie - numărul de „eșecuri” înainte de primul „succes”. Distribuția unei variabile aleatoare se numește geometrică cu probabilitatea de „succes” , care se notează astfel: . Funcția de probabilitate a unei variabile aleatoare are forma: .

Y=\min \left\{i\mid Z_{i}=1\right\}-1

Y

p

Y\sim \mathrm {Geom} _{0}(p)

Y

\mathbb{P}(Y = n) = q^np,\; n=0,1,2,\ldots

Notă

Uneori se presupune prin definiție că este numărul primului „succes”. Atunci funcția de probabilitate ia forma unde . Tabelul din dreapta arată formulele pentru ambele opțiuni. $X$ $\mathbb {P} (X=n)=q^{n-1}p,\;$ $n=1,2,3,\ldots$
Funcția de probabilitate este o progresie geometrică , de unde provine numele distribuției.

Momente

Lasă și . Atunci funcția generatoare a momentelor distribuției geometrice are forma: $X\sim \mathrm {Geom} _{1}(p)$ $Y\sim \mathrm {Geom} _{0}(p)$

M_{Y}(t)={\frac {pe^{t}}{1-qe^{t}}}

Unde

\mathbb {E} [X]={\frac {1}{p)}

\mathrm {D} [X]={\frac {q}{p^{2)}}

. Este corect ca.

\mathbb {E} [Y]=\mathbb {E} [X-1]={\frac {1}{p}}-1={\frac {1-p}{p}}={ \frac {q}{p}}

Proprietăți ale distribuției geometrice

Dintre toate distribuțiile discrete cu suport și o medie fixă , distribuția geometrică este una dintre distribuțiile cu entropia maximă a informațiilor . $\{1,2,3,\dots\}$ $\mu>1$ $\mathrm{Geom}(1/\mu)$
Dacă și sunt independente , atunci $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $X_{i}\sim \mathrm {Geom} (p_{i}),\;i=1,\ldots, n$

X=\min \limits _{i}(X_{i})\sim \mathrm {Geom} \left(1-\prod \limits _{i=1}^{n}(1-p_{ i})\dreapta)

Distribuția geometrică este divizibilă la infinit .

Lipsa memoriei

Dacă , atunci , adică numărul de „eșecuri” trecute nu afectează numărul de „eșecuri” viitoare. $X\sim \mathrm {Geom} (p)$ $\mathbb {P} (X>m+n\mid X\geq m)=\mathbb {P} (X>n)\;,\forall m,n\in \mathbb {N} \cup \ {0\}$

Distribuția geometrică este singura distribuție discretă cu proprietatea fără memorie .

Relația cu alte distribuții

Distribuția geometrică este un caz special al distribuției binomiale negative : . $\mathrm{Geom}(p) \equiv \mathrm{NB}(1,p)$
Dacă și sunt independente , atunci $Y_1,\ldots, Y_n$ $Y_i \sim \mathrm{Geom}(p),\; i=1,\ldots,n$

\sum\limits_{i=1}^n Y_i \sim \mathrm{NB}(n,p)

Dacă parametrul r=1 în distribuția binomială negativă, atunci distribuția binomială negativă devine distribuția geometrică . Ultima distribuție este distribuția Bose-Einstein pentru o singură sursă [1]

Exemplu

Lăsați zarurile să fie aruncate până când apar primele șase.

Calculați probabilitatea ca numărul de încercări efectuate înainte de primul succes, inclusiv ultimul test de succes, să nu fie mai mare de trei.

Lasă . Apoi

X\sim \mathrm {Geom} _{1}(p=1/6)

\mathbb {P} (X\leq 3)=\mathbb {P} (X=1)+\mathbb {P} (X=2)+\mathbb {P} (X=3)=

= \left(\frac{5}{6}\right)^{\!0} \left(\frac{1}{6}\right) + \left(\frac{5}{6}\right) ^{\!1} \left(\frac{1}{6}\right) + \left(\frac{5}{6}\right)^{\!2} \left(\frac{1}{ 6}\dreapta) \aprox 0{,}42

Calculați probabilitatea ca numărul de „eșecuri” înainte de primul „succes” să nu fie mai mare de două.

Lasă . Apoi

Y\sim \mathrm {Geom} _{0}(p=1/6)

\mathbb {P} (Y\leq 2)=\mathbb {P} (Y=0)+\mathbb {P} (Y=1)+\mathbb {P} (Y=2)=

=\left({\frac {5}{6}}\right)^{0}\left({\frac {1}{6}}\right)+\left({\frac {5} {6}}\right)^{1}\left({\frac {1}{6}}\right)+\left({\frac {5}{6}}\right)^{2}\left ({\frac {1}{6}}\dreapta)\aproximativ 0{,}42

Vezi și

Distribuție binomială .

Link -uri

↑ Schopper H. (Ed.) Interacțiuni electron - pozitron. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 1992. P. 133// https://www.twirpx.org/file/3458790/ Arhivat 10 mai 2021 la Wayback Machine

Distribuții de probabilitate
Discret	Bernoulli Binom Geometric hipergeometrică Logaritmic Binom negativ Poisson Uniformă discretă Multinom
Absolut continuu	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenţială Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gauss) Logistică Nakagami Pareto Pearson semicircular uniformă continuă Orez Rayleigh Student Tracey - Vidoma Pescar Chi-pătrat Exponenţial Varianta-gama Normal multivariat copulă