Adăugarea funcției divizor

Funcția de însumare a divizorului în teoria numerelor este o funcție care este suma funcției de divizor . Funcția este adesea folosită pentru a investiga comportamentul asimptotic al funcției zeta Riemann . Diverse studii ale comportamentului asimptotic al funcției divizorului sunt uneori denumite probleme de divizor .

Definiție

Funcția de însumare a divizorului este definită astfel:

D(x)=\sum _{n\leq x}d(n)=\sum _{j,k \atop jk\leq x}1

Unde

d(n)=\sigma _{0}(n)=\sum _{j,k \atop jk=n}1

este funcția de divizor . Funcția divizor numără numărul de moduri în care întregul n poate fi scris ca produs a două numere întregi.

Mai general, poate fi definit ca

D_{k}(x)=\sum _{n\leq x}d_{k}(n)=\sum _{mn\leq x}d_{k-1}(n)

unde d k ( n ) definește numărul de moduri de a reprezenta numărul n ca produs al k numere. Acest număr poate fi reprezentat vizual ca numărul de puncte ale rețelei delimitate de o suprafață hiperbolică în k dimensiuni. Atunci, pentru k =2, D ( x )= D 2 ( x ) reprezintă numărul de puncte ale rețelei pătrate mărginite de axele de coordonate și hiperbola jk = x . Această cifră poate fi reprezentată aproximativ ca un simplex hiperbolic , ceea ce ne permite să obținem o modalitate alternativă de a exprima D ( x ) și un mod mai simplu de calcul în timp : $O({\sqrt {x)))$

D(x)=\sum _{k=1}^{x}\lfloor {\frac {x}{k)}\rfloor =2\sum _{k=1}^{u}\lfloor {\frac {x}{k}}\rfloor -u^{2}

, Unde

u=\lfloor {\sqrt {x}}\rfloor

Dacă în acest context hiperbola este înlocuită cu un cerc, se ajunge la problema calculării unei funcții similare, care este cunoscută sub numele de problema cercului gaussian .

Problema divizorului Dirichlet

Găsirea unei expresii complete pentru această sumă pare imposibilă, dar poate fi dată o aproximare care este ușor de găsit. Dirichlet a arătat că

D(x)=x\log x+x(2\gamma -1)+\Delta (x)\

unde este constanta Euler-Mascheroni , iar componenta neasimptotică este egală cu $\gamma$

\Delta (x)={\mathcal {O}}\left({\sqrt {x}}\right).

Formularea precisă a problemei divizorului Dirichlet este de a găsi infimul tuturor valorilor pentru care $\theta$

\Delta (x)={\mathcal {O}}\left(x^{\theta +\epsilon }\right)

este valabil pentru orice . Până în 2006, problema a rămas nerezolvată. $\epsilon >0$

Secțiunea F1 a problemelor nerezolvate în teoria numerelor [1] oferă o privire de ansamblu asupra a ceea ce este cunoscut și a ceea ce rămâne necunoscut despre problema divizorului Dirichlet și problema cercului Gauss.

În 1904, Voronoi a demonstrat că estimarea abaterii poate fi îmbunătățită la [2] . ${\mathcal {O}}(x^{1/3}\log x)$
În 1916 Hardy a arătat că . În special, el a demonstrat că pentru o constantă , există x astfel încât și x astfel încât [3] . $\inf \theta \geq 1/4$ $K$ $\Delta (x)>Kx^{1/4)$ $\Delta (x)<-Kx^{1/4)$
În 1922, Johannes van der Corput a îmbunătățit estimarea lui Dirichlet la $\inf \theta \leq 33/100.$
În 1928, Johannes van der Corput a demonstrat asta $\inf \theta \leq 27/82.$
În 1950, Chih Tsung-tao și, independent, în 1953, ES Richert au demonstrat că $\inf \theta \leq 15/46.$
În 1969 Grigory Kolesnik a arătat că $\inf \theta \leq 12/37$
În 1973 Grigory Kolesnik a arătat că . $\inf \theta \leq 346/1067$
În 1982 Grigory Kolesnik a arătat că . $\inf \theta \leq 35/108$
În 1988 G. Ivanets și CJ Mozzochi au demonstrat că [4] . $\inf \theta \leq 7/22$
În 2003, Martin Huxley a îmbunătățit estimarea arătând că [5] . $\inf \theta \leq 131/416$

Astfel, valoarea adevărată se află undeva între 1/4 și 131/416 (aproximativ 0,3149). Ipoteza larg acceptată este că valoarea este exact 1/4. Calculele directe conduc la această presupunere, deoarece se dovedește a fi o distribuție aproape normală cu varianță 1 pentru x până la 10 16 . $\inf \theta$ $\Delta (x)$ $\Delta (x)/x^{1/4)$

Problemă cu divizorul generalizat

În cazul generalizat

D_{k}(x)=xP_{k}(\log x)+\Delta _{k}(x)

unde este un polinom de grad . $P_{k}$ $k-1$

Folosind estimări simple, se poate demonstra asta

\Delta _{k}(x)={\mathcal {O}}\left(x^{1-1/k}\log ^{k-2}x\right)

pentru numere întregi . Ca și în cazul lui , limita inferioară este necunoscută. Dacă notăm cu valoarea minimă pentru care $k\geq 2$ $k=2$ $\theta_k$

\Delta _{k}(x)={\mathcal {O}}\left(x^{\theta _{k}+\varepsilon }\right)

pentru orice , atunci se cunosc următoarele rezultate: $\varepsilon >0$

Voronoi si Landau: pt $\theta _{k}\leq {\frac {k-1}{k+1)}$ $k=2,3,\ldots$
Hardy și Littlewood: pentru $\theta _{k}\leq {\frac {k-1}{k+2)}$ $k=4,5,\ldots$
Hardy a arătat asta $\theta _{k}\geq {\frac {k-1}{2k)}$ $k=2,3,\ldots$
Titchmarsh a sugerat că . $\theta _{k}={\frac {k-1}{2k)}$

Transformarea Mellin

Ambii termeni pot fi exprimați în termenii transformării Mellin :

D(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{ci\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{2}(w){\frac { x^{w}}{w}}\,dw

pentru . Iată funcțiile zeta Riemann . $c>1$ $\zeta (s)$

In acelasi fel

\Delta (x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c^{\prime }-i\infty }^{c^{\prime }+i\infty } \zeta ^{2}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw

cu . Termenul asimptotic se obține prin deplasarea conturului dincolo de punctul dublu singular : termenul asimptotic este pur și simplu un reziduu (conform formulei integrale Cauchy ). $0<c^{\prime <1$ $D(x)$ $w=1$

În general

D_{k}(x)={\frac {1}{2\pi i))\int _{ci\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{k}(w){ \frac {x^{w}}{w}}\,dw

si la fel pentru , pentru . $\Delta _{k}(x)$ $k\geq 2$

Note

↑ Richard K. Guy. Probleme nerezolvate în teoria numerelor. — al 3-lea. - Berlin: Springer, 2004. - ISBN 978-0-387-20860-2 .
↑ Ivic Aleksandar. Funcția Zeta Riemann. - New York: Dover Publications, 2003. - ISBN 0-486-42813-3 .
↑ Montgomery Hugh, R. C. Vaughan . Teoria numerelor multiplicative I: Teoria clasică. - Cambridge: Cambridge University Press, 2007. - ISBN 978-0-521-84903-6 .
↑ Henryk Iwaniec, CJ Mozzochi . Despre problemele divizorului și cercului // Journal of Number Theory. - 1988. - Emisiune. 29 . - S. 60-93 . - doi : 10.1016/0022-314X(88)90093-5 .
↑ Martin Huxley. Sume exponențiale și puncte de rețea III // Proc. London Math. Soc .. - 2003. - T. 87 , nr 3 . - S. 591-609 . - doi : 10.1112/S0024611503014485 .

Literatură

Harold Edwards . Funcția Zeta a lui Riemann. - Dover Publications, 1974. - ISBN 0-486-41740-9 .
EC Titchmarsh. capitolul 12 pentru o discuție a problemei divizorului generalizat // Theory of the Riemann Zeta-Function. — Oxford: Oxford la Clarendon Press, 1951.
Apostol, Tom M. Introducere în teoria analitică a numerelor, Texte de licență în matematică. - New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976. - ISBN 978-0-387-90163-3 . . Oferă o introducere în problema divizorului lui Dirichlet.
El a crescut. Un curs de teoria numerelor . — Oxford, 1988.
Martin Huxley . Sume exponențiale și puncte latice III // Proc. London Math. soc. - 2003. - T. 87 , nr 3 . - S. 591-609 .