Masa Cayley

Tabelul Cayley  este un tabel care descrie structura sistemelor algebrice finite prin aranjarea rezultatelor unei operații într-un tabel asemănător cu o tabelă de înmulțire. Numit după matematicianul englez Arthur Cayley . Tabloul este important în matematica discretă , în special în teoria grupurilor . Tabelul vă permite să aflați unele proprietăți ale grupului, de exemplu, dacă grupul este abelian , găsiți centrul grupului și elementele inverse ale elementelor grupului.

În algebra superioară , tabelele Cayley pot fi, de asemenea, folosite pentru a defini operații binare pe câmpuri , inele și alte structuri algebrice.

Un exemplu simplu de tabel Cayley pentru grupul {1, −1} cu înmulțire normală :

× unu −1
unu unu −1
−1 −1 unu

Istorie

Tabelele Cayley au apărut pentru prima dată în lucrarea lui Cayley „Despre teoria grupurilor, ca depinzând de ecuația simbolică θ n = 1” în 1854. În acest articol, acestea au fost doar tabele folosite în scopuri ilustrative. Mai târziu au fost numite mese Cayley în onoarea creatorului lor.  

Structura

Deoarece multe tabele Cayley descriu grupuri care nu sunt abeliene , produsul ab nu este neapărat egal cu produsul ba pentru toate a și b din grup. Pentru a evita confuzia, se presupune că multiplicatorul corespunzător rândurilor este primul, iar multiplicatorul corespunzător coloanelor este pe al doilea. De exemplu, intersecția rândului a și coloanei b  este ab , nu ba , așa cum se arată în exemplul următor:

* A b c
A a 2 ab ac
b ba b 2 bc
c ca cb c 2

Cayley în munca sa a plasat un element neutru în primul rând și prima coloană, ceea ce i-a permis să nu evidențieze rândurile și coloanele separate care indică elementele, așa cum se poate vedea în exemplul de mai sus. De exemplu, același tabel a fost prezentat astfel:

A b c
b c A
c A b

În acest exemplu de grup ciclic Z3 , elementul a este elementul neutru și apare în colțul din stânga sus al tabelului. Este ușor de observat, de exemplu, că b 2 = c și că cb = a . Spre deosebire de aceasta, majoritatea textelor moderne, inclusiv acest articol, includ un rând de antet și o coloană pentru o mai mare claritate.

Proprietăți și utilizări

Comutativitate

Tabelul Cayley ne spune dacă un grup este abelian . Deoarece operația de grup pe un grup Abelian este comutativă , un grup este Abelian dacă și numai dacă tabloul său Cayley este simetric (în raport cu diagonala). Grupul ciclic de ordinul 3 de mai sus, precum și {1, −1} prin înmulțire obișnuită, sunt ambele exemple de grupuri abeliene, iar simetria tabelelor lor Cayley demonstrează acest lucru. Dar cel mai mic grup diedric non-abelian de ordinul al șaselea nu are simetrie în tabelul Cayley.

Asociativitate

Deoarece asociativitatea este prezentă în grupuri prin definiție, este adesea presupusă și în tabelele Cayley. Cu toate acestea, tabelele Cayley pot fi folosite pentru a descrie operații în cvasigrupuri , unde asociativitatea nu este necesară (mai mult, tabelele Cayley pot fi folosite pentru a descrie o operație în orice magmă finită ). Din păcate, în general, este imposibil să se determine dacă o operație este asociativă sau nu prin simpla privire la un tabel, în contrast cu comutativitatea. Acest lucru se datorează faptului că asociativitatea depinde de cele trei elemente în egalitate, în timp ce tabelul Cayley arată produsul a două elemente. Cu toate acestea, testul de asociativitate al lui Light poate determina asociativitatea cu mai puțin efort decât forța brută.

Permutări

Deoarece abrevierea este valabilă pentru grupuri (într-adevăr, chiar și pentru cvasigrupuri), niciun rând sau coloană a tabelului Cayley nu poate conține același element de două ori. Astfel, fiecare rând și coloană a tabelului este o permutare a elementelor grupului.

Pentru a vedea de ce rândurile și coloanele nu pot conține aceleași elemente, fie a , x și y  elemente ale unui grup, iar x și y sunt diferite. Acum rândul corespunzător elementului a și coloana corespunzătoare elementului x vor conține produsul ax . În mod similar, coloana corespunzătoare lui y va conține ay . Fie două produse egale, adică șirul a conține elementul de două ori. Prin regula reducerii, putem concluziona din ax = ay că x = y , ceea ce contrazice alegerea lui x și y . Exact același raționament este valabil și pentru coloane. Având în vedere caracterul finit al grupului conform principiului Dirichlet , fiecare element al grupului va fi prezentat exact o dată pe fiecare rând și pe fiecare coloană.

Adică, tabloul lui Cayley pentru grup este un exemplu de pătrat latin .

Construcția meselor Cayley pentru grupuri

Folosind structura de grup, este adesea posibil să „complezi” tabele Cayley care au câmpuri goale fără să știi măcar nimic despre operațiunea grupului. De exemplu, deoarece fiecare rând și fiecare coloană trebuie să conțină toate elementele unui grup, un element lipsă dintr-un rând (sau coloană) poate fi completat fără a ști nimic despre grup. Acest lucru arată că această proprietate și alte proprietăți ale grupurilor fac posibilă construirea tabelelor Cayley chiar dacă știm puțin despre grup.

„Scheletul elementelor neutre” al unui grup finit

Deoarece în orice grup, nici măcar într-unul abelian, orice element comută cu inversul său, distribuția elementelor neutre în tabloul Cayley este simetrică în raport cu diagonala. Elementele neutre situate pe diagonală corespund elementelor care coincid cu inversele lor.

Deoarece ordinea rândurilor și coloanelor din tabelul Cayley este arbitrară, este convenabil să le aranjam în următoarea ordine: începem cu elementul neutru al grupului, care coincide întotdeauna cu inversul său, apoi enumeram toate elementele care coincid. cu inversele lor și apoi scrieți perechi de elemente (element și inversul lui).

Acum, pentru un grup finit de o anumită ordine, este ușor să definiți un „schelet de elemente neutre”, numit așa deoarece elementele neutre fie se află pe sau în apropierea diagonalei principale.

Este relativ ușor de demonstrat că grupurile cu schelete diferite nu pot fi izomorfe , dar invers nu este adevărat (de exemplu, grupul ciclic C 8 și grupul cuaternion Q nu sunt izomorfe, deși au aceleași schelete).

Să fie șase elemente de grup e , a , b , c , d și f . Fie e  un element neutru. Deoarece elementul neutru este același cu inversul său, iar inversul este unic, trebuie să existe cel puțin un alt element care este același cu inversul său. Astfel, obținem următoarele schelete posibile:

În cazul nostru, nu există un grup de primul tip de ordin 6. Mai mult, faptul că un schelet este posibil nu implică deloc că există un grup al cărui schelet coincide cu acesta.

De remarcat este faptul (și este ușor de demonstrat) că orice grup în care orice element coincide cu inversul său este abelian.

Completarea tabelului după scheletul elementelor neutre

Dacă este dat scheletul elementelor neutre, puteți începe să completați tabelul Cayley. De exemplu, să alegem al doilea schelet al grupului de ordinul 6 dintre cele descrise mai sus:

e A b c d f
e e
A e
b e
c e
d e
f e

Evident, rândul e și coloana e pot fi completate imediat. Odată făcut acest lucru, poate fi necesar (și este necesar în cazul nostru) să facem o presupunere, care poate duce ulterior la o contradicție, ceea ce va însemna că presupunerea este greșită. Vom presupune că ab = c . Apoi:

e A b c d f
e e A b c d f
A A e c
b b e
c c e
d d e
f f e

Înmulțind ab = c din stânga cu a , obținem b = ac . Înmulțirea dreaptă cu c dă bc = a . Înmulțirea ab = c de la dreapta cu b dă a = cb . Înmulțirea bc = a de la stânga cu b dă c = ba , iar înmulțirea de la dreapta cu a dă ca = b . După completarea acestor produse în tabel, constatăm că ad și af rămân goale în rândul a . Deoarece fiecare element trebuie să apară exact o dată la rând, obținem că anunțul trebuie să fie d sau f . Totuși, acest element nu poate fi egal cu d , deoarece altfel a ar fi egal cu e , în timp ce știm că cele două elemente sunt diferite. Astfel ad = f și af = d .

Acum, deoarece inversul lui d este f , înmulțind ad = f din dreapta cu f dă a = f 2 . Înmulțirea la stânga cu d dă da = f . Înmulțind la dreapta cu a , obținem d = fa .

După introducerea tuturor acestor lucrări, tabelul Cayley va lua forma:

e A b c d f
e e A b c d f
A A e c b f d
b b c e A
c c b A e
d d f e
f f d e A

Deoarece fiecare element al grupului trebuie să apară exact o dată pe fiecare rând, este ușor de observat că cele două celule goale ale tabelului din rândul b trebuie să fie ocupate fie de d , fie de f . Cu toate acestea, d și f sunt deja prezente în coloanele corespunzătoare . Astfel, orice am pune în aceste câmpuri, vom obține repetare în coloane, ceea ce arată că presupunerea noastră inițială ab = c a fost greșită. Cu toate acestea, acum știm că ab ≠ c .

Au rămas două posibilități - fie ab = d , fie ab = f . Deoarece d și f sunt reciproc inverse și alegerea literelor este arbitrară, ar trebui să ne așteptăm ca rezultatul să fie același până la izomorfism. Fără pierderea generalității, putem presupune că ab = d . Dacă acum obținem o contradicție, trebuie să admitem că nu există un grup corespunzător pentru acest schelet.

Primim o nouă masă Cayley:

e A b c d f
e e A b c d f
A A e d
b b e
c c e
d d e
f f e

Înmulțind ab = d din stânga cu a , obținem b = ad . Înmulțirea la dreapta cu f dă bf = a , iar înmulțirea la stânga cu b dă f = ba . Înmulțind în dreapta cu a , obținem fa = b , iar înmulțind în stânga cu d , obținem a = db . Introducând rezultatele în tabelul Cayley, obținem (elementele noi sunt evidențiate cu roșu):

e A b c d f
e e A b c d f
A A e d b
b b f e A
c c e
d d A e
f f b e

Șirul a lipsește c și f , dar întrucât af nu poate fi egal cu f (altfel a ar fi egal cu e ), putem concluziona că af = c . Înmulțirea în stânga cu a dă f = ac , iar aceasta putem înmulți în dreapta cu c , ceea ce dă fc = a . Înmulțind acesta din urmă cu d în stânga dă c = da , pe care îl putem înmulți în dreapta cu a pentru a obține ca = d . În același mod, înmulțind af = c din dreapta cu d , obținem a = cd . Actualizați tabelul (cele mai recente modificări sunt evidențiate cu albastru):

e A b c d f
e e A b c d f
A A e d f b c
b b f e A
c c d e A
d d c A e
f f b A e

Deoarece șirul b nu conține c și d , iar bc nu poate fi egal cu c , deducem că bc = d , deci produsul lui bd trebuie să fie egal cu c . Înmulțirea la dreapta cu f ne dă b = cf , care poate fi convertită în cb = f prin înmulțirea cu c la stânga. Argumentând în mod similar, putem deduce că c = fb și dc = b . Facem modificări în tabel (elementele introduse sunt evidențiate cu verde):

e A b c d f
e e A b c d f
A A e d f b c
b b f e d c A
c c d f e A b
d d c A b e
f f b c A e

Numai f lipsește din rândul d , deci d 2 = f . În același mod, obținem că f 2 = d . Am completat întreg tabelul și nu am ajuns la o contradicție. Astfel, am găsit un grup de ordinul 6 corespunzător scheletului. O privire asupra tabelului arată că nu este abelian. De fapt, acesta este cel mai mic grup non-abelian, grupul diedric D 3 :

* e A b c d f
e e A b c d f
A A e d f b c
b b f e d c A
c c d f e A b
d d c A b f e
f f b c A e d

Generarea matricei de permutare

În forma standard a tabelului Cayley, ordinea rândurilor și coloanelor este aceeași. O altă modalitate de ordonare este aranjarea coloanelor în așa fel încât coloana a n -a să corespundă elementelor inverse ale rândului n -lea. În exemplul nostru pentru D 3 , trebuie doar să schimbăm ultimele două coloane, deoarece numai f și d nu sunt inverse față de ei înșiși, ci sunt inverse unul față de celălalt.

e A b c f=d −1 d=f −1
e e A b c f d
A A e d f c b
b b f e d A c
c c d f e b A
d d c A b e f
f f b c A d e

În exemplul nostru, pot fi create șase matrici de permutare (toate elementele sunt 1 sau 0, câte un 1 în fiecare rând și fiecare coloană). Matricea 6x6 conține un unu dacă eticheta coloanei se potrivește cu eticheta rândului și zerouri în toate celelalte câmpuri, simbolul Kronecker pentru etichetă. (Rețineți că pentru rândul e obținem matricea de identitate.) De exemplu, pentru a obținem matricea de permutare.

e A b c f d
e 0 unu 0 0 0 0
A unu 0 0 0 0 0
b 0 0 0 0 unu 0
c 0 0 0 0 0 unu
d 0 0 unu 0 0 0
f 0 0 0 unu 0 0

Aceasta arată că orice grup de ordin n este un subgrup al grupului de permutare S n de ordin n !.

Generalizări

Proprietățile descrise mai sus depind de unele axiome pentru grupuri. Este firesc să extindem tablourile Cayley la alte structuri algebrice, cum ar fi semigrupurile , cvasigrupurile și magmele , dar unele dintre proprietățile de mai sus nu vor fi valabile pentru ele.

Vezi și

Link -uri