Produs tensor

Produsul tensor este o operație pe spații vectoriale , precum și pe elemente ( vectori , matrice , operatori , tensori etc.) ale spațiilor multiplicate.

Produsul tensor al spațiilor liniare este spațiul liniar notat cu . Pentru elemente și produsul lor tensor se află în spațiu . $A$ $B$ $Uneori B$ $a\în A$ $b\în B$ $uneori b$ $Uneori B$

Notația pentru produsul tensor a apărut prin analogie cu notația pentru produsul cartezian al mulțimilor.

Produsul tensor al spațiilor liniare (vectorale)

Spații cu dimensiuni finite

Fie și să fie spații vectoriale cu dimensiuni finite peste câmpul , să fie o bază în , și să fie o bază în . Vom numi produsul tensor al spatiilor spatiul vectorial generat de elemente , numiti produse tensoriale ale vectorilor de baza . Produsul tensor al vectorilor arbitrari poate fi definit prin setarea operației să fie biliniară : $A$ $B$ $K$ $\{e_{i}\}_{{i=1\dots n}}$ $A$ $\{f_{k}\}_{{k=1\dots m}}$ $B$ $Uneori B$ $A$ $B$ $e_{i}\otime f_{k}$ $uneori b$ $a\în A,~b\în B$ $uneori$

(\lambda a_{1}+\mu a_{2})\otimes b=\lambda \,a_{1}\otimes b+\mu \,a_{2}\otimes b,~~\lambda ,\mu \ în K

a\otimes (\lambda b_{1}+\mu b_{2})=\lambda \,a\otimes b_{1}+\mu \,a\otimes b_{2},~~\lambda ,\mu \în K

În acest caz, produsul tensor al vectorilor arbitrari și este exprimat ca o combinație liniară de vectori de bază . Elementele din , reprezentabile ca , se numesc descompuse . $A$ $b$ $e_{i}\otime f_{k}$ $Uneori B$ $uneori b$

Deși produsul tensor al spațiilor este definit în funcție de alegerea bazelor, proprietățile sale geometrice nu depind de această alegere.

Definirea cu o proprietate generică

Produsul tensor este, într-un sens, spațiul cel mai general în care spațiile originale pot fi mapate biliniar. Și anume, pentru orice altă mapare spațială și biliniară , există o mapare liniară unică astfel încât $C$ $\otimes ^{\prime }:A\times B\to C$ $f:A\uneori B\la C$

\otimes ^{\prime }=f\circ \otimes ,

unde denota compunerea functiilor . $\circ$

În special, rezultă din aceasta că produsul tensor nu depinde de alegerea bazelor în și , deoarece toate spațiile care satisfac proprietatea universală se dovedesc a fi izomorfe canonic la . $A$ $B$ $Uneori B$

Astfel, specificarea unei mapări biliniare arbitrare este echivalentă cu specificarea unei mapări liniare : spații și sunt izomorfe din punct de vedere canonic. $L^{2}\ni \varphi :A\times B\to C$ $L\ni \varphi :A\otimes B\to C$ $\ L^{2}(A\time B,C)$ $L(A\x ori B,C)$

Produs de mai mult de două spații

Proprietatea universală de mai sus poate fi extinsă la produse de mai mult de două spații. De exemplu, fie , , și trei spații vectoriale. Produsul tensor împreună cu maparea triliniară din produsul direct $V_{1}$ $V_{2}$ $V_{3}$ $V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3)$

\varphi:V_{1}\times V_{2}\times V_{3}\to V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3)

are forma în care orice mapare triliniară de la un produs direct la un spațiu vectorial $F$ $W$

F:V_{1}\time V_{2}\time V_{3}\la W

este trecut în mod unic prin produsul tensor:

F=L\circ \varphi

unde este o mapare liniară. Produsul tensor este caracterizat în mod unic de această proprietate, până la izomorfism . Rezultatul construcției de mai sus coincide cu repetarea produsului tensor a două spații. De exemplu, dacă , și sunt trei spații vectoriale, atunci există un izomorfism (natural). $L$ $V_{1}$ $V_{2}$ $V_{3}$

V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3}\cong V_{1}\otimes (V_{2}\otimes V_{3})\cong (V_{1}\otimes V_{ 2})\uneori V_{3}.

În general, produsul tensor al unei familii indexate arbitrare de mulțimi este definit ca un obiect universal pentru mapările multiliniare dintr-un produs direct . $V_i$ $i\în eu$ $\textstyle \prod _{i\in I}V_{i}$

Fie un număr natural arbitrar. Atunci puterea tensorală a spațiului se numește produsul tensor al copiilor : $n$ $n$ $V$ $n$ $V$

V^{{\otimes n}}\;{\overset {{\mathrm {def}}}{=}}\;\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V}_{{n}}.

Funcționalitate

Produsul tensor acționează și asupra mapărilor liniare. Fie , să fie operatori liniari. Produsul tensor al operatorilor este determinat de regulă $A\colon U_{1}\to U_{2}$ $B\colon W_{1}\to W_{2)$ $A\otimes B\colon U_{1}\otimes W_{1}\to U_{2}\otimes W_{2)$

(A\otimes B)(u\otimes w)=(Au)\otimes (Bw),~~u\in U_{1},\,w\in W_{1}

După această definiție, produsul tensor devine un bifunctor din categoria spațiilor vectoriale în sine, covariant în ambele argumente. [unu]

Dacă matricele operatorilor A și B pentru o anumită alegere de baze au forma

{\mathrm {A}}={\begin{bmatrix}a_{{11}}&\cdots &a_{{1n}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{m1}}&\cdots &a_{{mn}}\end{bmatrix}}

{\mathrm {B}}={\begin{bmatrix}b_{{11}}&\cdots &b_{{1q}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{{p1}}&\cdots &b_{{pq}}\end{bmatrix}}

atunci matricea produsului tensor al acestora se va scrie în baza formată din produsul tensor al bazelor sub forma unei matrice bloc

{\mathrm {A}}\otimes {\mathrm {B}}={\begin{bmatrix}a_{{11}}B&\cdots &a_{{1n}}B\\\vdots &\ddots &\vdots \ \a_{{m1}}B&\cdots &a_{{mn}}B\end{bmatrix}}=

={\begin{bmatrix}a_{{11}}b_{{11}}&a_{{11}}b_{{{12}}&\cdots &a_{{11}}b_{{1q}}&\cdots & \cdots &a_{{1n}}b_{{11}}&a_{{1n}}b_{{{12}}&\cdots &a_{{1n}}b_{{1q}}\\a_{{{11}}b_ {{21}}&a_{{11}}b_{{22}}&\cdots &a_{{11}}b_{{2q}}&\cdots &\cdots &a_{{1n}}b_{{21}} &a_{{1n}}b_{{22}}&\cdots &a_{{1n}}b_{{2q}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots & \vdots \\a_{{11}}b_{{p1}}&a_{{11}}b_{{p2}}&\cdots &a_{{11}}b_{{pq}}&\cdots &\cdots &a_ {{1n}}b_{{p1}}&a_{{1n}}b_{{p2}}&\cdots &a_{{1n}}b_{{pq}}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{{m1}}b_{{11}}&a_{{m1 }}b_{{12}}&\cdots &a_{{m1}}b_{{1q}}&\cdots &\cdots &a_{{mn}}b_{{11}}&a_{{mn}}b_{{ 12}}&\cdots &a_{{mn}}b_{{1q}}\\a_{{m1}}b_{{{21}}&a_{{m1}}b_{{22}}&\cdots &a_{{ m1}}b_{{2q}}&\cdots &\cdots &a_{{mn}}b_{{21}}&a_{{mn}}b_{{22}}&\cdots &a_{{mn}}b_{ {2q}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{m1}}b_{{p1}}&a_{{m1}}b_ {{p2}}&\cdots &a_{{m1}}b_{{ pq}}&\cdots &\cdots &a_{{mn}}b_{{p1}}&a_{{mn}}b_{{p2}}&\cdots &a_{{mn}}b_{{pq}}\end {bmatrix}}

Operația matriceală corespunzătoare se numește produsul Kronecker , după Leopold Kronecker .

Cazuri speciale

Produsul tensor al doi vectori

Înmulțirea (matriceală) a unui vector coloană din dreapta cu un vector rând descrie produsul tensor al acestora:

\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} \leftrightarrow {\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{bmatrix} }{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{ 1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2} &a_{3}b_{3}\\a_{4}b_{1}&a_{4}b_{2}&a_{4}b_{3}\end{bmatrix}}.

Proprietăți

$\dim A\otimes B=\dim A\cdot \dim B$

Următoarele proprietăți algebrice se bazează pe izomorfismul canonic:

Asociativitatea

(A\otimes B)\otimes C\simeq A\otimes (B\otimes C)

Din punct de vedere formal, produsul tensor nu este comutativ, dar există un izomorfism natural $A\otimes B\to B\otimes A$
Liniaritate

A\otimes (B\oplus C)\simeq (A\otimes B)\oplus (A\otimes C)

\oplus

este suma exterioară a spațiilor liniare.

Produsul tensor al modulelor

Fie module peste un inel comutativ . Produsul tensor al modulelor este un modul peste , dat împreună cu o mapare multiliniară și având proprietatea de universalitate, adică astfel încât pentru orice modul peste și orice mapare multiliniară să existe un homomorfism unic al modulelor astfel încât diagrama $A_{1},A_{2},\puncte ,A_{n}$ $R$ $B$ $R$ $f\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\la B$ $C$ $R$ $g\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\la C$ $h\colon B\la C$

comutativ. Produsul tensor se notează cu . Din universalitatea produsului tensor rezultă că acesta este definit în mod unic până la izomorfism. $A_{1}\otimes \ldots \otimes A_{n}$

Pentru a demonstra existența unui produs tensor al oricăror module peste un inel comutativ, construim un modul liber ai cărui generatoare sunt n elemente ale modulelor unde . Fie un submodul generat de următoarele elemente: $M$ $(x_{1},\dots ,x_{n})$ $x_{i}\în A_{i}$ $N$ $M$

$(x_{1},\dots,x_{i}+y_{i},\dots,x_{n})-(x_{1},\dots,x_{i},\dots,x_{n}) -(x_{1},\dots,y_{i},\dots,x_{n})$
$(x_{1},\dots,\lambda x_{i},\dots,x_{n})-\lambda (x_{1},\dots,x_{i},\dots,x_{n})$

Produsul tensor este definit ca modulul coeficientului , clasa se notează și se numește produsul tensor al elementului , a este definit ca maparea indusă corespunzătoare. $B=M/N$ $(x_{1},\dots ,x_{n})+N$ $x_{1}\otimes \dots \otimes x_{n}$ $x_{i}$ $f$

Din punctele 1) și 2) rezultă că maparea este multiliniară. Să demonstrăm că pentru orice modul și orice mapare multiliniară există un homomorfism de modul unic , astfel încât . $f\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\la B$ $C$ $g\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\la C$ $h$ $g=h\circ f$

Într-adevăr, deoarece este gratuit, există o mapare unică care face diagrama $M$ $h^{*}$

comutativă, iar datorită faptului că este multiliniară, apoi pe , de aici, trecând la maparea indusă, obținem că , va fi singurul homomorfism, a cărui existență s-a cerut a fi demonstrată. $g$ $N$ $h^{*}(N)=0$ $h\coloană M/N\la C$

Elementele care pot fi reprezentate sub formă se numesc descompunebile . $A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n}$ $x_{1}\otimes \dots \otimes x_{n}$

Dacă sunt izomorfisme ale modulelor, atunci homomorfismul indus corespunzător mapării biliniare $f_{i}\colon A_{i}\to B_{i}$

f_{1}\otimes \dots \otimes f_{n}\colon A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n}\to B_{1}\otimes \dots \otimes B_{n}

existent prin proprietatea universalității se numește produsul tensor al homomorfismelor . $f_{i}$

Un caz deosebit de simplu se obține în cazul modulelor gratuite . Să fie baza modulului . Să construim un modul liber peste inelul nostru, având ca bază elemente corespunzătoare lui n -kam , definind o mapare și extinzând-o la prin liniaritate. Atunci este produsul tensor, unde este produsul tensor al elementelor . Dacă numărul de module și toate bazele lor sunt finite, atunci $e_{{i1}},\dots ,e_{{in}}$ $A_{i}$ $F$ $(e_{{1m}},e_{{2p}},\puncte, e_{{ns}})$ $f(e_{{1m}},e_{{2p}},\dots ,e_{{ns}})\to (e_{{1m}},e_{{2p}},\dots ,e_{{ns }})$ $A_{1}\time\dots\times A_{n}$ $F$ $(e_{{1m}},e_{{2p}},\puncte, e_{{ns}})$ $e_{{1m}}\otimes e_{{2p}}\otimes \dots \otimes e_{{ns}}$

{\mathrm {rang}}(A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n})={\mathrm {rang}}\,A_{1}\cdot \dots \cdot {\mathrm {rang}} \,Un}

Literatură

Vinberg E. B. Curs de algebră. - Ed. a 3-a. - M . : Presa factorială, 2002. - 544 p. - 3000 de exemplare. — ISBN 5-88688-060-7 .
Leng S. Algebră. — M .: Mir , 1967.
Van der Waerden B. L. Algebră. — M .: Nauka , 1976. — 648 p.

Note

↑ Hazewinkel, Mihail; Gubareni, Nadejda Mihailovna; Gubareni, Nadia; Kirichenko, Vladimir V. Algebre, inele și module (neopr.) . - Springer, 2004. - P. 100. - ISBN 978-1-4020-2690-4 .