Teorema lui Weierstrass asupra unei funcții pe un compact

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 2 noiembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Teorema Weierstrass este o teoremă de analiză matematică și topologie generală , care afirmă că o funcție care este continuă pe o mulțime compactă este mărginită pe ea și atinge cea mai mare limită superioară și inferioară [1] .

Uneori (în cursurile de pregătire) două afirmații (despre limitarea și accesibilitatea granițelor) sunt împărțite în două teoreme Weierstrass - prima și, respectiv, a doua. [unu]

Enunțul teoremei

Teorema Weierstrass este formulată pentru funcții continue care acționează dintr-un spațiu metric dat în mulțimea numerelor reale .

Teorema lui Weierstrass pentru funcții continue

În analiza matematică , sunt luate în considerare spațiile numerice pentru care mulțimile arbitrare închise și mărginite sunt compacte . Pe linia reală , mulțimile compacte conexe sunt segmente, apoi teorema Weierstrass este formulată pentru segmente:

Dacă funcția este continuă pe segmentul , atunci este mărginită pe acesta și, în plus, își atinge valorile minime și maxime, adică există astfel încât pentru toate . $f$ $[a,b]$ $x_{m},x_{M}\in [a,b]$ $f(x_{m})\leqslant f(x)\leqslant f(x_{M})$ $x\in[a,b]$

Teorema lui Weierstrass pentru funcții semicontinue

Fie funcția mărginită și semicontinuă superioară . Apoi $f\colon[a,\;b]\to\R$ $M=\sup \limits _{x\in [a,\;b]}f(x)<\left\vert \infty \right\vert$ și $\există x_M\in[a,\;b]\colon f(x_M)=M.$
Fie funcția mărginită și semicontinuă inferioară. Apoi $f\colon[a,\;b]\to\R$ $m=\inf\limits_{x\in[a,\;b]}f(x)>-\infty$ și $\există x_m\in[a,\;b]\colon f(x_m)=m.$

Dovada

Demonstrarea teoremei pentru funcții continue

În virtutea caracterului complet al numerelor reale, există o limită superioară (finită sau infinită) . Deoarece este cea mai mică limită superioară, există o secvență astfel încât . Conform teoremei Bolzano-Weierstrass , o subsecvență convergentă poate fi distinsă de o succesiune mărginită , a cărei limită (să o numim ) aparține și intervalului . Datorita continuitatii functiei avem , dar pe de alta parte . Astfel, cea mai mare limită superioară este finită și este atinsă în punctul . $M=\sup _{{x\in [a,b]}}f(x)$ $M$ $x_{n}$ $\lim f(x_{n})=M$ $x_{n}$ $x_{{n_{k}}}$ $x_M$ $[a,b]$ $f$ $f(x_{M})=\lim f(x_{{n_{k}}})$ $\lim f(x_{{n_{k}}})=\lim f(x_{n})=M$ $M$ $x_M$

Pentru limita inferioară, dovada este similară.

Demonstrarea teoremei în cazul general

Fie compact și funcția să fie continuă pe . Luați în considerare colecția de mulțimi , unde este un interval deschis. Aceste seturi sunt deschise (ca pre-imagini complete ale unui set deschis sub mapare continuă) și, evident, formează o acoperire . Prin definiția unui compactum, se poate evidenția o subacoperire finită din această acoperire , de unde avem , și se dovedește mărginirea. Este ușor de demonstrat atingerea maximului și minimului prin contradicție dacă luăm în considerare funcțiile , , și le aplicăm afirmația tocmai dovedită. $A$ $f$ $A$ $V_{n}=f^{-1}{\big (}(-n,n){\big ))$ $(-n,n)\subset \mathbb {R}$ $A$ $V_{{n_{k}}}$ $\forall x\in A:f(x)<\max n_{k)$ $[f(x)-\sup f(A)]^{{-1}}$ $[f(x)-\inf f(A)]^{{-1}}$

Note

În ipotezele teoremei, un segment nu poate fi înlocuit cu un interval deschis . De exemplu, funcția tangentă

\operatorname {tg} \colon \left(-{\frac {\pi }{2)),\;{\frac {\pi }{2)}\right)\la \mathbb {R}

este continuă în fiecare punct al domeniului definiției , dar nu este limitată.

Vezi și

Note

↑ 1 2 Ilyin V. A., Poznyak E. G. Fundamentele analizei matematice. Partea I. - M. , 1998. - S. 248-251.