Teorema proprietății Darboux pentru o funcție continuă
Teorema proprietății Darboux (proprietatea D) pentru o funcție continuă în analiza matematică afirmă că imaginea continuă a unui segment este un segment.
Formulare
Fie dată o funcție continuă cu valoare reală pe un interval . Atunci există astfel încât
![{\displaystyle f:[a,b]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f\in C^{0}{\bigl (}[a,b]{\bigr )} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea7db075924b0ead08afd1b8301ac2d02bb3b309)
![f{\bigl (}[a,b]{\bigr )}=[c,d].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44edcd5a84d62f06673de042540c2a9044d97695)
Note
- Dacă funcția este constantă, atunci
- Teorema proprietății Darboux afirmă că o hartă continuă mapează orice segment la un segment. Această proprietate a unei funcții se numește proprietatea Darboux. Afirmația inversă nu este adevărată în general. Luați în considerare, de exemplu, funcția dată de formulă
![f:[0,1]\la \mathbb{R} ,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bafb1e62d4de21640d672bb803a68771832b379)
![f(x)=\left\{{\begin{matrix}\sin \left({\frac {\pi }{2x}}\right),&x\in (0,1]\\0,&x=0 \end{matrice}}\dreapta..](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f00e028dffc37ef67209fb4c8c9730fd4e9c2400)
- teorema lui Sierpinski . Orice funcție poate fi reprezentată prin suma a două funcții cu proprietatea Darboux.
Proprietatea Darboux pentru funcțiile monotone
Lăsați funcția să crească sau să scadă monoton pe întreg intervalul. Apoi are proprietatea Darboux dacă și numai dacă este continuă.
![f:[a,b]\la \mathbb{R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b592d102ccd1ba134d401c5b3ea177baaba3ffac)
Generalizare
Proprietatea Darboux este valabilă nu numai pentru funcțiile continue, ci și pentru orice funcție care este o derivată a unei alte funcții. Acestea din urmă includ funcții continue. Fie - diferențiabil în interiorul domeniului definiției, adică și , de asemenea, diferențiabil la dreapta la punctul : și la stânga la punctul : Atunci este un segment, o rază închisă sau întreaga linie (adică închisă și conectată ).
![F:[a,b]\la \mathbb{R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cacd74b0bb95ed9ddf45676b1ad0f3d618c4cdc)
![f{\bigl (}[a,b]{\bigr )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98bb8617481c8a74b87b45e322eae869304858bc)