Teorema lui Vinogradov

În teoria numerelor, teorema lui Vinogradov este un rezultat din care rezultă că orice număr întreg impar suficient de mare poate fi scris ca sumă a trei numere prime . Aceasta este o formă mai slabă a conjecturii Goldbach slabe , care implică existența unei astfel de reprezentări pentru toate numerele întregi impare mai mari de cinci.

Teorema poartă numele lui Ivan Matveevich Vinogradov , care a demonstrat-o în anii 1930. Hardy și Littlewood au arătat anterior că acest rezultat decurge din ipoteza Riemann generalizată , iar Vinogradov a reușit să elimine această presupunere. Prezentarea completă a teoremei lui Vinogradov oferă estimări asimptotice pentru numărul de reprezentări ale unui număr întreg impar ca sumă a trei numere prime. Conceptul de „suficient de mare” a fost prost definit în lucrarea originală a lui Vinogradov, dar în 2002 10 1346 s-a dovedit a fi suficient de mare. În plus, numerele de dinainte au fost testate prin metode de forță brută, așa că există doar un număr finit de cazuri de testat înainte ca conjectura Goldbach impară să fie dovedită sau infirmată. $10^{20}$

Enunțul teoremei lui Vinogradov

Fie A un număr real pozitiv. Apoi

r(N)={1 \over 2}G(N)N^{2}+O\left(N^{2}\log ^{-A}N\right),

Unde

r(N)=\sum _{k_{1}+k_{2}+k_{3}=N}\Lambda (k_{1})\Lambda (k_{2})\Lambda (k_{ 3}),

folosind funcția Mangoldt și $\lambda$

G(N)=\left(\prod _{p\mid N}\left(1-{1\over {\left(p-1\right)}^{2}}\right)\right) )\left(\prod _{p\nmid N}\left(1+{1\over {\left(p-1\right)}^{3}}\right)\right).

Consecință

Dacă N este impar, atunci G ( N ) este aproximativ egal cu 1, deci pentru toate N suficient de mari . Arătând că contribuția adusă la r ( N ) de forțele principale corespunzătoare este , se poate vedea că $N^{2}\ll r(N)$ $O\left(N^{3\over 2}\log ^{2}N\right)$

N^{2}\log ^{-3}N\ll

(numărul de moduri N poate fi scris ca suma a trei numere prime)

Aceasta înseamnă, în special, că orice număr întreg impar suficient de mare poate fi scris ca sumă a trei numere prime, ceea ce arată conjectura Goldbach slabă pentru toate, cu excepția unui număr finit. În 2013, Harald Helfgott a dovedit slaba conjectura Goldbach pentru toate cazurile.

Strategia de probă

Demonstrarea teoremei urmează metoda cercului Hardy-Littlewood . Determinați suma exponențială

S(\alpha )=\sum _{n=1}^{N}\Lambda (n)e(\alpha n)

Atunci noi avem

S(\alpha )^{3}=\sum _{n_{1},n_{2},n_{3}\leq N}\Lambda (n_{1})\Lambda (n_{2} )\Lambda (n_{3})e(\alpha (n_{1}+n_{2}+n_{3}))=\sum _{n\leq 3N}{\tilde {r}}(n) e(\alpha n)

unde denotă numărul de reprezentări limitat la puteri prime ale . prin urmare ${\tilde {r)}$ $\leq N$

r(N)=\int _{0}^{1}S(\alpha )^{3}e(-\alpha N)\;d\alpha

Dacă este un număr rațional , atunci poate fi dat de distribuția primelor în clase de reziduuri modulo . Prin urmare, folosind teorema Siegel-Walfis, putem calcula contribuția integralei de mai sus în vecinătăți mici de puncte raționale cu un numitor mic. Mulțimea numerelor reale apropiate de astfel de puncte raționale este de obicei numită arce principale, complementul formează arcele minore. Rezultă că aceste intervale domină integrala; prin urmare, pentru a demonstra teorema, este necesar să se dea o limită superioară pentru pentru conținut în arce mici. Această estimare este cea mai dificilă parte a dovezii. $\alfa$ ${\frac {p}{q))$ $S(\alpha )$ $q$ $S(\alpha )$ $\alfa$

Dacă acceptăm ipoteza Riemann generalizată, argumentul folosit pentru arcele majore poate fi extins la arcurile minore. Acest lucru a fost făcut de Hardy și Littlewood în 1923. În 1937, Vinogradov a dat o limită superioară necondiționată pentru . Argumentul său a început cu o definiție simplă a unei site, apoi termenii rezultați au fost rearanjați în moduri complexe pentru a obține un fel de anulare. În 1977, R.C. Vaughan a găsit un argument mult mai simplu bazat pe ceea ce va deveni mai târziu cunoscut sub numele de identitatea lui Vaughan. El a dovedit că dacă , atunci $|S(\alpha )|$ $|\alpha -{\frac {a}{q}}|<{\frac {1}{q^{2}}}$

|S(\alpha )|\ll \left({\frac {N}{\sqrt {q}}}+N^{4/5}+{\sqrt {Nq}}\right)\log ^{4}N

Folosind teorema Siegel-Walfis, ne putem ocupa de puterile arbitrare ale lui , folosind teorema de aproximare a lui Dirichlet, pe care o obținem pe arce mici. Prin urmare, integrala peste arce mici poate fi mărginită de sus $q$ $\log N$ $|S(\alpha )|\ll {\frac {N}{\log ^{A}N})$

{\frac {CN}{\log ^{A}N}}\int _{0}^{1}|S(\alpha )|^{2}\;d\alpha \ll {\frac {N^{2}}{\log ^{A-1}N}}

care dă termenul eroare în teoremă.

Note

Vinogradov, Ivan Matveevici. Metoda sumelor trigonometrice în teoria numerelor. — Londra și New York: Interscience, 1954.
Nathanson, Melvyn B. Teoria numerelor aditive. Bazele clasice. - New York: Springer-Verlag, 1996. - Vol. 164. - ISBN 0-387-94656-X . - doi : 10.1007/978-1-4757-3845-2 . capitolul 8.