Teorema continuării lui Kirschbrown

Teorema de extensie Kirschbrown (numită uneori teorema lui Valentine ) este o teoremă privind existența unei extensii a unei funcții Lipschitz definită pe o submulțime a spațiului euclidian la întreg spațiul.

Formulare

Fie o submulțime arbitrară a spațiului euclidian , apoi o mapare scurtă arbitrară poate fi extinsă la o mapare scurtă ; cu alte cuvinte, există o scurtă cartografiere astfel încât . $S$ $\mathbb {R} ^{n}$ $f:S\la \mathbb {R} ^{m)$ ${\bar {f)):\mathbb {R} ^{n}\la \mathbb {R} ^{m)$ ${\bar {f)):\mathbb {R} ^{n}\la \mathbb {R} ^{m)$ ${\bar {f}}|_{S}=f$

Variații și generalizări

Generalizează în mod natural la
- Mapări dintr-un subset al unui spațiu Hilbert la un spațiu Hilbert.
- Mapări dintr-un subset al spațiului Lobachevsky în spațiul Lobachevsky de aceeași curbură
Un rezultat similar pentru mapările între sfere nu este adevărat, dar teorema rămâne adevărată pentru
- Mapări dintr-un subset al unei sfere într-o emisferă cu aceeași curbură.
- Mapări dintr-un subset al unei sfere într-o sferă de aceeași curbură de dimensiune nu mai mică.
Un rezultat similar pentru spațiile Banach este incorect.

Geometrie metrică

O generalizare a teoremei lui Kirschbrown la spații metrice a fost dată de Lang și Schröder [1] [2]
Orice mapare scurtă definită pe un subset al unui spațiu metric arbitrar cu valori într-un spațiu injectiv admite o scurtă extensie la întreg spațiul. Aceasta oferă o altă generalizare a teoremei la spațiile metrice. Spațiile injective includ linia reală și arborii metrici, precum și -spațiile. $L^{\infty }$
Pentru spațiile metrice cu proprietatea de dublare , o versiune slabă a teoremei lui Kirschbrown este valabilă. Și anume, dacă este un spațiu metric cu proprietatea de dublare și este un spațiu Banach, atunci orice mapare -Lipschitz se extinde la maparea -Lipschitz , unde constanta depinde doar de parametrul din proprietatea de dublare. [3] $X$ $A\subset X$ $V$ $L$ $A\to V$ $C\cdot L$ $X\la V$ $C$

Istorie

S-a dovedit în disertația lui Moizhes Kirshbraun (susținută în 1930) [4] . Mai târziu această teoremă a fost respinsă de Frederic Valentine [5] .

Vezi și

Teorema de continuare a lui Tietze

Note

↑ Lang, U.; Schroeder, V. Teorema lui Kirszbraun și spațiile metrice de curbură mărginită. Geom. Funct. Anal. 7 (1997), nr. 3, 535–560.
↑ Alexandru, Stephanie; Kapovici, Vitali; Petrunin, Anton Alexandrov îl întâlnește pe Kirszbraun. Proceedings of the Gökova Geometry-Topology Conference 2010, 88–109, Int. Press, Somerville, MA, 2011.
↑ 4.1.21 în Heinonen, Juha, et al. Spații Sobolev pe spații de măsură metrică. Vol. 27. Cambridge University Press, 2015.
↑ M. D. Kirszbraun. Über die zusammenziehende und Lipschitzsche Transformationen. fond. Math., (22):77-108, 1934.
↑ FA Valentine, „On the extension of a vector function so as to preserve a Lipschitz condition”, Buletinul Societății Americane de Matematică, vol. 49, pp. 100-108, 1943.