Teorema lui Kolmogorov

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 26 martie 2016; verificările necesită 2 modificări .

Teorema lui Kolmogorov în statistica matematică specifică rata de convergență a funcției de distribuție a eșantionului față de omologul său teoretic.

Formulare

Fie un eșantion de mărime , generat de o variabilă aleatoare , care este dat de o funcție de distribuție continuă . Fie funcția de distribuție a eșantionului . Apoi $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $n$ $F(x)$ $F_{n}(x)$

{\sqrt {n}}\sup \limits _{x\in \mathbb {R} }\left|F_{n}(x)-F(x)\right|\la K

prin distribuție la ,

n\la\infty

unde este o variabilă aleatoare cu distribuția Kolmogorov . $K$

Notă

Informal, se spune că rata de convergență a funcției de distribuție a eșantionului față de omologul său teoretic este de ordinul . $1/{\sqrt {n)}$

Definirea limitelor zonei de încredere

Teorema lui Kolmogorov este foarte des folosită pentru a determina limitele în care se încadrează o funcție teoretică cu o probabilitate dată : $F(x)$

P({\sqrt {n}}D_{n}\leq k_{\gamma })=P\left(F_{n}(x)-{\frac {k_{\gamma }}{\sqrt {n}}}\leq F(x)\leq F_{n}(x)+{\frac {k_{\gamma }}{\sqrt {n}}},x\in \mathbb {R} \right ){\xrightarrow {n\to \infty }}K(k_{\gamma })=\gamma ,

$D_{n}=\sup _{x}|F_{n}(x)-F(x)|,$ unde este cuantila de nivel a legii distribuției Kolmogorov . $k_{\gamma }$ $\gamma$

Astfel, cu probabilitatea la este în intervalul specificat. $\gamma$ $n\la \infty \quad F(x)$

Probabilitatea se numește nivel de semnificație . $\gamma$

Zona definită de aceste limite se numește zonă de încredere asimptotică $\gamma$ pentru funcția de distribuție teoretică.

Teorema lui Kolmogorov

Formulare

Notă

Definirea limitelor zonei de încredere

Vezi și