Funcția de distribuție a probelor

Funcția de distribuție a eșantionului (empiric) în statistica matematică este o aproximare a funcției de distribuție teoretică , construită folosind un eșantion din aceasta.

Definiție

Fie un eșantion de mărime generat de o variabilă aleatoare dată de funcția de distribuție . Vom presupune că , unde , sunt variabile aleatoare independente definite pe un anumit spațiu de rezultate elementare . Lasă . Să definim funcția după cum urmează: $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $n$ $X$ $F(x)$ $X_{i}$ $i\in \left\{1,n\right\},n\in \mathbb {N}$ $\Omega$ $x \in \mathbb{R}$ ${\hat {F}}(x)$

{\hat {F}}(x)={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{X_{i }\leq x\}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\theta (x-X_{i})

unde este indicatorul evenimentului , este funcția Heaviside . Astfel, valoarea funcției într-un punct este egală cu frecvența relativă a elementelor de eșantion care nu depășesc valoarea lui . Funcția se numește funcție de distribuție a eșantionului a variabilei aleatoare sau funcție de eșantionare empirică și este o aproximare a funcției . Există teorema lui Kolmogorov , care afirmă că pentru , funcția converge uniform către , și indică rata de convergență. Pentru fiecare pozitiv , este o variabilă aleatoare cu valoare . $\mathbf {1} _{A}$ $A$ $\taxa)$ ${\hat {F}}$ $X$ $X$ ${\hat {F}}(x)$ $X$ $F(x)$ $n\la\infty$ ${\hat {F}}(x)$ $F(x)$ $X$ ${\hat {F}}(x)$ ${\frac {k}{n}},k\în \stanga\{0,n\dreapta\}$

Proprietăți de bază

Să fie fix rezultatul elementar . Atunci funcția de distribuție a distribuției discrete este dată de următoarea funcție de probabilitate : $\omega \in \Omega$ ${\hat {F}}(x,\omega )$

p_{i}=p(x_{i})={\frac {N_{x_{i)}}{n)),\;i=1,\ldots ,n

unde , și este numărul de elemente eșantion egal cu . În special, dacă toate elementele eșantionului sunt distincte, atunci . $x_{i}=X_{i}(\omega )$ $N_{x}=\sum \limits _{j=1}^{n}\mathbf {1} _{\{x=x_{j}\))$ $X$ $N_{x_{i}}=1,\;\forall i$

Așteptările matematice ale acestei distribuții sunt:

\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}p_{i}=\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {N_{ x_{i}}}{n}}={\overline {X}}(\omega )

Astfel, media eșantionului este media teoretică a distribuției eșantionului. În mod similar, varianța eșantionului este varianța teoretică a distribuției eșantionului.

Variabila aleatoare are o distribuție binomială : $n{\hat {F}}(x)$

n{\hat {F}}(x)\sim \mathrm {Bin} (n,F(x))

Funcția de distribuție a eșantionului este o estimare imparțială a funcției de distribuție : ${\hat {F}}(x)$ $F(x)$

\mathbb {E} \left[{\hat {F}}(x)\right]=F(x)

Varianta funcției de distribuție a eșantionului are forma:

\mathrm {D} \left[{\hat {F}}(x)\right]={\frac {F(x)(1-F(x))}{n}}

Conform legii puternice a numerelor mari , funcția de distribuție a eșantionului converge aproape sigur către funcția de distribuție teoretică:

{\hat {F}}(x)\la F(x)

aproape sigur la .

n\la\infty

Funcția de distribuție a eșantionului este o estimare normală asimptotic a funcției de distribuție teoretică. Dacă , atunci $0<F(x)<1,\;\forall x\in \mathbb {R}$

{\sqrt {n}}\left({\hat {F}}(x)-F(x)\right)\la \mathrm {N} \left(0,F(x)(1- F(x))\dreapta)

prin distributie la .

n\la\infty

Funcția de distribuție a probelor

Definiție

Proprietăți de bază

Vezi și