Criteriul de bunătate al lui Kolmogorov

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 13 septembrie 2013; verificarea necesită 21 de modificări .

Testul de bunătate a potrivirii Kolmogorov este conceput pentru a testa ipoteza că eșantionul aparține unei legi de distribuție, adică pentru a verifica dacă distribuția empirică corespunde modelului așteptat .

Criteriul de omogenitate Smirnov este utilizat pentru a testa ipoteza că două eșantioane independente aparțin aceleiași legi de distribuție, adică două distribuții empirice corespund aceleiași legi .

Aceste criterii sunt numite după matematicienii Andrei Nikolaevici Kolmogorov și Nikolai Vasilievici Smirnov .

Criteriul lui Smirnov pentru testarea ipotezei de omogenitate a două legi de distribuție empirice este unul dintre criteriile neparametrice cele mai frecvent utilizate .

Descriere

Dacă criteriile $\chi ^{2}$ compară frecvențele a două distribuții separat pentru fiecare cifră, atunci aici frecvențele sunt comparate mai întâi pentru prima cifră, apoi pentru suma primei și a doua cifre, apoi pentru suma primei, a doua și a treia, etc. Astfel, de fiecare dată acumulat la acest interval de frecvență.

Dacă diferențele dintre cele două distribuții sunt semnificative, atunci la un moment dat diferența de frecvențe acumulate va atinge o valoare critică, iar diferențele pot fi considerate semnificative statistic. Această diferență este inclusă în formula criteriului . Cu cât valoarea empirică este mai mare , cu atât diferențele sunt mai semnificative. $\lambda$ $\lambda$

Statisticile testului Kolmogorov

Fie funcția de distribuție empirică (EDF) , construită pe eșantion , are forma: $F_{n}$ $X=\left(X_{1},\;\ldots,\;X_{n}\right)$

F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}I_{X_{i}\leqslant x},

unde indică dacă observația a căzut în zonă : $I_{X_{i}\leqslant x)$ $X_{i}$ $(-\infty ,\;x]$

I_{X_{i}\leqslant x}={\begin{cases}1,&X_{i}\leqslant x;\\0,&X_{i}>x.\end{cases))

Se verifică dacă eșantionul este o variabilă aleatoare generată cu o funcție de distribuție . Statistica de test pentru funcția de distribuție empirică este definită după cum urmează: $\xi$ $F(x)$ $F_{n}(x)$

D_{n}=\sup _{x\in \mathbb {R} }|F_{n}(x)-F(x)|,

unde by este supremul funcției . $\sus$ ${|F_{n}(x)-F(x)|}$

Distribuția statisticilor Kolmogorov

Să notăm ipoteza nulă ca fiind ipoteza că eșantionul respectă distribuția . Apoi, conform teoremei Kolmogorov, pentru statisticile introduse este adevărat: $H_{0}$ $F(X)\in C^{1}(\mathbb {X} )$

\forall t>0\colon \lim _{n\to \infty}P({\sqrt {n}}D_{n}\leqslant t)=K(t)=\sum _{j=- \infty }^{+\infty }(-1)^{j}e^{-2j^{2}t^{2}}.

Luăm în considerare faptul că criteriul are o regiune critică dreptaci .

Luarea unei decizii conform criteriului Kolmogorov.
Dacă statistica depășește punctul procentual al distribuției Kolmogorov a unui anumit nivel de semnificație , atunci ipoteza nulă (despre respectarea legii ) este respinsă. În caz contrar, ipoteza este acceptată la nivelul .

{\sqrt {n}}D_{n}

K_{\alpha )

\alfa

H_{0}

F(x)

\alfa

Dacă este suficient de aproape de 1, atunci poate fi aproximat cu formula: $\alfa$ $K_{\alpha )$

K_{\alpha }\aprox {\sqrt {-{\frac {1}{2}}\ln {\frac {1-\alpha }{2}}}}.

Puterea asimptotică a testului este 1.

Să notăm acum ipoteza nulă ca fiind ipoteza că cele două eșantioane studiate respectă aceeași distribuție a variabilei aleatoare . $H_{0}$ $\xi \colon F(X)\in C^{1}(\mathbb {X} )$

teorema lui Smirnov.
Fie funcții de distribuție empirice construite din eșantioane independente de volum și variabilă aleatoare . Atunci, dacă , atunci , unde .

F_{1,\;n}(x),\;F_{2,\;m}(x)

n

m

\xi

F(x)\in C^{1}(\mathbb {X} )

\forall t>0\colon \lim _{n,\;m\to \infty }P\left({\sqrt {\frac {nm}{n+m))}D_{n,\; m}\leqslant t\right)=K(t)=\sum _{j=-\infty }^{+\infty }(-1)^{j}e^{-2j^{2}t^{ 2}}

D_{n,\;m}=\sup _{x}|F_{1,\;n}-F_{2,\;m}|

Teorema lui Smirnov ne permite să construim un criteriu pentru testarea a două eșantioane pentru omogenitate.

Luarea unei decizii după criteriul Smirnov.
Dacă statistica depășește cuantila distribuției Kolmogorov pentru un anumit nivel de semnificație , atunci ipoteza nulă (despre omogenitatea probelor) este respinsă. În caz contrar, ipoteza este acceptată la nivelul .

{\sqrt {\frac {nm}{n+m)}}D_{n,\;m)

K_{\alpha )

\alfa

H_{0}

\alfa

Vezi și

Nota 1

În criteriul Kolmogorov, este de preferat să folosiți statistici cu corecția Bolșev în următoarea formă . Distribuția acestor statistici nu mai depinde atât de mult de dimensiunea eșantionului. Dependența distribuției sale de mărimea eșantionului poate fi neglijată la . ${\sqrt {n}}D_{n}+1/(6{\sqrt {n}})$ $n$ $n>25$

Nota 2

Testul clasic Kolmogorov este conceput pentru a testa ipoteze simple . Dacă ipoteza este testată cu privire la acordul eșantionului observat cu legea, ai cărui parametri sunt cunoscuți, atunci criteriul Kolmogorov nu are distribuție : nu contează cu ce lege este verificat acordul. Dacă ipoteza testată este adevărată, distribuția limită a statisticii Kolmogorov este distribuția Kolmogorov . $K(t)$

Totul se schimbă la testarea ipotezelor complexe , când eșantionul analizat evaluează parametrii legii teoretice, acordul cu care se verifică. Când se testează ipoteze complexe , libertatea de distribuție se pierde. La testarea ipotezelor complexe și a validității ipotezei testate, distribuțiile statisticilor testelor neparametrice de bunătate a potrivirii (și testul Kolmogorov) depind de o serie de factori: de tipul de lege observată corespunzător ipotezei testate; asupra tipului de parametru evaluat și a numărului de parametri evaluați; în unele cazuri, pe o anumită valoare a parametrului (de exemplu, în cazul familiilor de distribuții gamma și beta); din metoda de estimare a parametrilor. Diferențele în distribuțiile marginale ale acelorași statistici atunci când se testează ipoteze simple și complexe sunt atât de semnificative încât nu ar trebui în niciun caz neglijate.