Teorema Routh-Hurwitz

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 8 martie 2020; verificarea necesită 1 editare .

Teorema Routh-Hurwitz oferă o oportunitate de a determina dacă un polinom dat este stabil la Hurwitz . A fost dovedit în 1895 de A. Hurwitz și numit după E. J. Routh (care a propus în 1876 un alt - dar echivalent cu criteriul Hurwitz - pentru stabilitatea unui polinom) și A. Hurwitz [1] .

Convenții

Fie un polinom (cu coeficienți complexi) de grad . Mai mult, printre rădăcinile sale nu există două rădăcini pe aceeași linie imaginară (adică pe linia unde este unitatea imaginară și este un număr real ). Să notăm (polinomul de grad ) și (polinomul diferit de nul de grad strict mai mic decât ) cu , în raport cu părțile reale și imaginare ale dreptei imaginare. $f(z)$ $n$ $z=ic$ $i$ $c$ $P_{0}(y)$ $n$ $P_{1}(y)$ $n$ $f(iy)=P_{0}(y)+iP_{1}(y)$ $f$

Să introducem următoarea notație:

$p$ este numărul de rădăcini din semiplanul stâng (luat cu multiplicitățile luate în considerare); $f$
$q$ este numărul de rădăcini din semiplanul drept (ținând cont de multiplicitățile); $f$
$\Delta \arg f(iy)$ — schimbarea argumentului atunci când merge de la la ; $f(iy)$ $y$ $-\infty$ $+\infty$
$w(x)$ este numărul de modificări ale lanțului Sturm generalizat obținut din și folosind algoritmul euclidian ; $P_{0}(y)$ $P_{1}(y)$

$I_{-\infty }^{+\infty }r(x)$ este indicele Cauchy al unei funcții raționale pe dreapta reală. $r(x)$

Fie un polinom Hurwitz peste câmpul numerelor complexe (adică nu are coeficienți complexi și toate rădăcinile sale se află în semiplanul stâng). Să rezumam: $f(z)$ $f$ $f$

f(z)=g(z^{2})+zh(z)

Să desemnăm coeficienții ca , și — ca . Atenţie! Ele sunt numerotate „de la sfârșit”, adică coeficientul liber al polinomului este . $g$ $a_{j}^{0)$ $h$ $a_{j}^{1}$ $g$ $a_{0}^{0}$

Formulare

În notația introdusă mai sus, teorema Routh-Hurwitz este formulată după cum urmează:

pq={\frac {1}{\pi }}\Delta \arg f(iy)=-I_{-\infty }^{+\infty }{\frac {P_{1}(y)} {P_{0}(y)}}=w(+\infty )-w(-\infty ).

Din prima egalitate, de exemplu, putem concluziona că atunci când schimbarea argumentului este pozitivă, atunci există mai multe rădăcini la stânga axei imaginare decât la dreapta. Egalitatea poate fi privită ca un analog complex al teoremei lui Sturm . Cu toate acestea, există o diferență: în teorema lui Sturm, partea stângă și din partea dreaptă este numărul de modificări în lanțul Sturm (în timp ce în acest caz se referă la lanțul Sturm generalizat). $f(iy)$ $f(z)$ $pq=w(+\infty)-w(-\infty)$ $p+q$ $w$ $w$

Criteriul de stabilitate Hurwitz

Definim matricea Hurwitz ca fiind coeficienți pari și impari aliniați cu o „scara”:

H_{f}={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}&\dots &a_{1+2\cdot [{\frac {n-1}{2)}]}&&\\ a_{0}&a_{2}&\dots &a_{2\cdot [{\frac {n}{2}}]}&&\\&a_{1}&a_{3}&\dots &a_{1+2\cdot [{\frac {n-1}{2}}]}&\\&a_{0}&a_{2}&\dots &a_{2\cdot [{\frac {n}{2}}]}&\\ &\vdots &&&\vdots &\\&&&&\dots &a_{n}\end{pmatrix}},

în funcție de gradul polinomului, ultima linie va conține coeficienți pare sau impar. Toate minorele principale ale acestei matrice sunt pozitive dacă este un polinom Hurwitz și invers. $f$

Criteriul de stabilitate al lui Routh

Lanțul Sturm care începe cu polinoame și definește o succesiune de coeficienți conducători ai polinoamelor lanțului. Toate elementele acestei secvențe au exact același semn dacă este un polinom Hurwitz și invers. $g$ $h$ $a_{0}^{1},a_{0}^{2},\dots,a_{0}^{n)$ $f$

Există o versiune mai generală a criteriului Routh: numărul de rădăcini din semiplanul drept este egal cu numărul de modificări de semn din lanț.
De asemenea, rețineți că în notație, numărul este indicele variabilei, nu exponentul. $a_{0}^{i)$ $i$

Echivalență

Criteriile Hurwitz și Routh sunt echivalente. Ambele caracterizează polinoamele stabile de Hurwitz.

Dovada

Prin aplicarea metodei Gauss la matrice se obține o matrice diagonală . Cu toate acestea, acum criteriul Hurwitz îndeplinește cerința „toate elementele matricei transformate au același semn”. Dacă luăm în considerare în detaliu modul în care metoda Gauss transformă matricea , obținem condițiile pentru generarea lanțului Sturm. Asigurându-ne că coeficienții corespund coeficienților , obținem criteriul Routh. $H_{f}$ $H_{f}^{*}$ $h_{j,j}^{*}$ $H_{f}$ $h_{j,j}^{*}$ $a_{0}^{j)$

Criteriul Routh-Hurwitz

Această teoremă implică cu ușurință un criteriu de stabilitate, deoarece Hurwitz este stabil dacă și numai dacă . Astfel, obținem condiții asupra coeficienților prin impunerea unor condiții suplimentare și . $f(z)$ $pq=n$ $f(z)$ $w(+\infty )=n$ $w(-\infty )=0$

Alături de teorema Stieltjes , teorema Routh-Hurwitz oferă modalități de caracterizare a polinoamelor stabile. Stabilitatea este o proprietate care este importantă nu numai în teoria funcțiilor variabilelor complexe. De exemplu, în teoria controlului, un filtru rațional este stabil dacă și numai dacă transformarea sa z este stabilă. Este așa dacă polinomul Laurent din numitor nu are rădăcini în afara cercului unitar . Soluția acestei probleme poate fi, totuși, redusă la problema stabilității unui polinom „obișnuit” în formularea prezentată în acest articol.

În plus, corespondența dintre testele Routh și Hurwitz oferă mai multe informații despre structura testului Routh simplu, care este vizibilă atunci când se studiază testul Hurwitz mai complex.

Vezi și

Note

↑ Postnikov, 1981 , p. 15-16.

Literatură

Gantmakher F. R. Teoria matricei. — M .: Nauka , 1967. — 576 p.
Postnikov M. M. Polinoame stabile. - M. : Nauka, 1981. - 176 p.

Link -uri

Weisstein, Eric W. Teorema Routh-Hurwitz (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .