Teorema lui Slutsky

Teorema lui Slutsky conectează convergența în măsură și convergența slabă a variabilelor aleatoare. Numit după Evgeny Evgenyevich Slutsky .

Formulare

Fie dat un spațiu de probabilitate și variabile aleatoare . Atunci dacă $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X_{n},Y_{m}:\Omega \to \mathbb {R} ,\,n,m\in \mathbb {N}$

X_{n}\la ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D))}X

unde este o variabilă aleatoare și $X:\Omega \to \mathbb {R}$

Y_{m}\to ^{\!\!\!\!\!\!\mathbb {P} }c

unde este o constantă, atunci $c\in \mathbb {R}$

X_{n}+Y_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D))}X+c

și

X_{n}\cdot Y_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D))}c\cdot X

Generalizare

Fie sub ipotezele teoremei clasice să existe o funcție continuă . Apoi $f:\mathbb {R} ^{2}\la \mathbb {R}$

f(X_{n},Y_{n})\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D))}f(X,c)

Vezi și

Convergența în probabilitate
Convergența distribuției
Teorema Mann-Wald