Teorema lui Khinchin-Kolmogorov

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 1 ianuarie 2020; verificările necesită 2 modificări .

Teorema Khinchin–Kolmogorov (cunoscută și sub numele de teorema Wiener–Khinchin și uneori ca teorema Wiener–Khinchin–Einstein ) afirmă că densitatea spectrală de putere a unui proces aleator staționar este transformata Fourier a funcției de autocorelație corespunzătoare . [1] [2] [3]

Caz continuu:

S_{xx}(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }r_{xx}(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau ,

Unde

r_{xx}(\tau )=\mathrm {E} {\big [}x(t)x^{*}(t-\tau ){\big ]},

este funcția de autocorelare definită în termeni de așteptare matematică și unde este densitatea spectrală de putere a funcției . Rețineți că funcția de autocorelare este definită în termeni de așteptarea produsului și că transformata Fourier a nu există în cazul general, deoarece funcțiile aleatoare staționare nu sunt integrabile în pătratică. $S_{xx}(f)$ $x(t)$ $x(t)$

Asteriscul înseamnă conjugare complexă, poate fi omis dacă procesul aleatoriu este real.

Caz discret:

S_{xx}(f)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }r_{xx}[k]e^{-j2\pi kf},

Unde

r_{xx}[k]=\mathrm {E} {\big [}x[n]x^{*}[nk]{\big ]}

si unde

S_{xx}(f)

este densitatea spectrală a puterii cu valori discrete . Fiind ordonată în eșantioane de timp discret, densitatea spectrală este o funcție periodică în domeniul frecvenței. $x[n]$

Aplicație

Teorema este convenabilă pentru analiza sistemelor liniare staționare , în care valorile de intrare și de ieșire nu sunt integrabile în cuadratura, din cauza cărora transformatele Fourier nu există. În consecință, transformata Fourier a funcției de autocorelare a semnalului de ieșire al sistemului LSS este egală cu produsul transformării Fourier a funcției de autocorelare a semnalului de intrare a sistemului și pătratul modulului transformării Fourier a răspunsul său la impuls . Acest lucru este adevărat chiar și atunci când nu există transformări Fourier ale semnalelor de intrare și de ieșire, deoarece acestea nu sunt integrabile. Prin urmare, parametrii de intrare și de ieșire nu pot fi legați direct de transformata Fourier a funcției de transfer de impuls.

Din faptul că transformata Fourier a funcției de autocorelare a unui semnal este spectrul de putere al semnalului, rezultă că spectrul de putere al semnalului de ieșire este egal cu produsul dintre spectrul de putere al intrării și funcția de transfer a semnalului. sistem.

Acest corolar este utilizat în găsirea spectrului de putere prin metoda parametrică.

Inconsistență de definiție

În definițiile care implică integrale infinite pentru densitatea spectrală și autocorelația , teorema Khinchin-Kolmogorov este pur și simplu o pereche de transformări Fourier, ușor de demonstrat pentru orice funcție integrabilă, adică pentru care există transformări Fourier. Mai convenabil și din punct de vedere istoric, pentru semnalele staționare pentru care nu există transformate Fourier, teorema este aplicată folosind definiția funcției de autocorelare în termeni de așteptare matematică, și nu în termeni de integrală infinită. O simplificare a teoremei Khinchin-Kolmogorov este comună în literatura tehnică modernă și ascunde contribuțiile lui A. Ya. Khinchin , Norbert Wiener și A. N. Kolmogorov .

Note

↑ Dennis Ward Ricker. Procesarea semnalului ecou (neopr.) . - Springer, 2003. - ISBN 140207395X . Arhivat pe 19 septembrie 2014 la Wayback Machine
↑ Leon W. Couch II Sisteme de comunicații digitale și analogice . — 6 ed. - Prentice Hall, New Jersey, 2001. - P. 406-409.
↑ Krzysztof Iniewski. Tehnologii fără fir : circuite, sisteme și dispozitive . - CRC Press , 2007. - ISBN 0849379962 . Arhivat pe 29 iunie 2014 la Wayback Machine