Teorema numerelor prime

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 6 februarie 2022; verificările necesită 3 modificări .

Teorema distribuției numerelor prime este o teoremă a teoriei analitice a numerelor care descrie asimptoticele distribuției numerelor prime , care afirmă că funcția de distribuție a numerelor prime (numărul numerelor prime din intervalul ) crește cu creșterea cu , adică: $\pi(n)$ $[1;n]$ $n$ ${\frac {n}{\ln n))$

{\frac {\pi (n)}{n/\ln n))\la 1

, când

n\la \infty .

În linii mari, aceasta înseamnă că un număr ales aleatoriu de la 1 la probabilitatea de a fi prim este aproximativ egal cu . $n$ ${\frac {1}{\ln n))$

De asemenea, această teoremă poate fi reformulată în mod echivalent pentru a descrie comportamentul numărului prim : ea afirmă că $k$ $p_{k}$

p_{k}\sim k\ln k,\quad k\to \infty

(în continuare, notația înseamnă că atunci când argumentul funcțiilor tinde spre infinit). $f\sim g$ $f/g\la 1$

Mai precis, distribuția primelor este descrisă de funcția logaritm integral . Dacă ipoteza Riemann este adevărată , atunci [1]

\pi (n)=\operatorname {Li} (n)+O({\sqrt {n))\ln n)

x\rightarrow \infty .

Istorie

Prima regularitate statistică în aranjarea numerelor prime a fost observată de Gauss . Într-o scrisoare către Encke (1849), el a raportat că încă din 1792 sau 1793, pur empiric, a descoperit că densitatea numerelor prime „în medie este apropiată de o valoare invers proporțională cu logaritmul” [2] . Până atunci, pe baza tabelelor cu numere prime compilate de Felkel și Vega , Legendre a sugerat (în 1796) că funcția de distribuție a primelor (numărul de numere prime care nu depășește x ) ar putea fi aproximată prin: $\pi(x)$

\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)-B))

unde Gauss în scrisoarea menționată critică formula Legendre și, folosind raționamentul euristic, propune o altă funcție de aproximare - logaritmul integral : $B\aproximativ 1{,}08366.$

{\mathrm {Li}}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln x}}\,dx

Cu toate acestea, Gauss nu a publicat nicăieri această presupunere. Atât aproximațiile Legendre, cât și Gauss conduc la aceeași echivalență asimptotică presupusă a funcțiilor și cea indicată mai sus, deși aproximarea Gauss se dovedește a fi mult mai bună dacă, la estimarea erorii, luăm în considerare diferența de funcții în loc de raportul lor. $\pi(x)$ $x/\ln(x)$

În două dintre lucrările sale, 1848 și 1850 , Cebyshev demonstrează [3] că limitele superioare M și inferioare m ale relației

{\frac {\pi (x)}{x/\ln x}}\qquad

(unu)

sunt cuprinse în , și, de asemenea, că dacă limita relației (1) există, atunci aceasta este egală cu 1. Mai târziu (1881) J. J. Sylvester a restrâns intervalul admisibil pentru limita de la 10% la 4%. $0{,}92129\leqslant m\leqslant M\leqslant 1{,}10555$

În 1859, a apărut lucrarea lui Riemann , considerând (introdusă de Euler în funcție de un argument real) funcția ζ în domeniul complex și raportând comportamentul acesteia la distribuția numerelor prime. Dezvoltând ideile acestei lucrări, în 1896 Hadamard și de la Vallée Poussin au demonstrat simultan și independent teorema privind distribuția numerelor prime.

În cele din urmă, în 1949, a apărut dovada Erdős - Selberg , care nu utilizează o analiză complexă .

Cursul general al dovezii

Reformulare în termenii funcției psi a lui Cebyshev

Etapa generală inițială a raționamentului este reformularea legii de distribuție a numerelor prime în termenii funcției psi Cebyshev , definită ca

\psi (x)=\sum _{{p^{k}\leq x}}\log p,\qquad \qquad (*)

cu alte cuvinte, funcția psi Chebyshev este suma funcției Mangoldt :

\psi (x)=\sum _{{n\leq x}}\Lambda (n),\qquad \Lambda (n)={\begin{cases}\log p,&n=p^{k},\ ,k\geq 1,\quad p\,{\text{este un prim}}\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}

Și anume, rezultă că distribuția asimptotică a numerelor prime este echivalentă cu faptul că

\psi (x)\sim x,\quad x\to \infty .

Acest lucru se datorează faptului că logaritmul este „aproape constant” pe cea mai mare parte a intervalului , iar contribuția pătratelor, cuburilor etc. la suma (*) este neglijabilă; prin urmare, aproape toți logaritmii adăugați sunt aproximativ egali cu , iar funcția se comportă asimptotic în același mod ca . $[1,n]$ $\ln p$ $\ln x$ $\psi(x)$ $\pi (x)\cdot \ln x$

Raționament clasic: trecerea la funcția zeta Riemann

După cum rezultă din identitatea lui Euler ,

\zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{{-s))))

seria Dirichlet („funcția generatoare”) corespunzătoare funcției Mangoldt este minus derivata logaritmică a funcției zeta:

\sum _{n}\Lambda (n)n^{{-s}}=-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s))).

În plus, integrala de-a lungul liniei verticale din dreapta lui 0 a funcției este egală cu și 0 pentru . Prin urmare, înmulțirea laturilor drepte și stângi cu și (îngrijite - integrale improprii converg doar condiționat!) integrarea de-a lungul liniei verticale pe frunze exact suma cu pe partea stângă . Pe de altă parte, aplicarea teoremei reziduurilor ne permite să scriem partea stângă ca o sumă de reziduuri; Fiecare zero al funcției zeta corespunde unui pol de ordinul întâi al derivatei sale logaritmice, cu un reziduu egal cu 1, și unui pol de ordinul întâi într-un punct , un pol de ordinul întâi cu un reziduu egal cu . $a^{s}/s$ $2\pi i$ $a>1$ $0<a<1$ ${\frac {1}{2\pi i}}x^{s}/s$ $ds$ $\Lambda(n)$ $n\leqslant x$ $s=1$ $(-unu)$

O implementare riguroasă a acestui program permite obținerea [4] formula Riemann explicită[5] :

\psi (x)=x-\sum _{\rho :\,\zeta (\rho )=0, \atop 0<\operatorname {Re} (\rho)<1}{\frac {x ^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi )-{\frac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).\qquad \qquad (** )

Însumarea aici este efectuată peste zerourile funcției zeta care se află în banda critică , termenul corespunde polului la zero, iar termenul corespunde așa-numitelor zerouri „triviale” ale funcției zeta . $\rho$ $0<\operatorname {Re} (s)<1$ $-\log(2\pi )=-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)))$ ${\frac {x^{s}}{s}}$ $-\log(1-x^{-2})/2$ $s=-2,-4,-6,\puncte$

Absența zerourilor netriviale ale funcției zeta în afara benzii critice implică afirmația necesară (suma din formula (**) va crește mai lent decât ). În plus, ipoteza Riemann presupune o estimare „optimă” pentru posibilele abateri de la , și, în consecință, pentru abaterile de la . $\psi (x)\sim x$ $X$ $\psi(x)$ $X$ $\pi(x)$ $x/\ln x$

Dovada elementară: finalizarea Erdős-Selberg

Teorema fundamentală a aritmeticii , scrisă după luarea logaritmului ca

\ln n=\sum _{{p,k:\,p^{k}|n}}\ln p

este astfel formulată în termeni de funcţii aritmetice şi convoluţie Dirichlet ca

\ln =\Lambda *{\mathbf {1}},

unde și sunt funcții aritmetice, logaritmul argumentului și, respectiv, unitatea identică. $\ln$ $\mathbf{1}$

Formula de inversare Möbius ne permite să transferăm în partea dreaptă: $\mathbf{1}$

\Lambda ={\ln }*\mu ,\qquad \qquad (**)

unde este funcția Möbius. $\mu$

Suma părții stângi (**) este funcția dorită . În partea dreaptă, aplicarea formulei hiperbolei Dirichlet ne permite să reducem suma convoluției la suma unde este suma logaritmului. Aplicarea formulei Euler-Maclaurin ne permite să scriem ca $\psi$ $\sum \limits _{k}L\stanga({\frac {n}{k}}\dreapta)\mu (k),$ $L$ $L(n)$

L(n)=n\ln n-n+{\frac {1}{2}}\ln n+\gamma +o(1),

unde este constanta lui Euler . Separând din această expresie termenii care au forma pentru o funcție F aleasă corespunzător (și anume, ), și notând restul cu R , avem, în virtutea inversării lui Möbius $\gamma$ $\sum \limits _{k}F\left({\frac {n}{k}}\right)$ $F(x)=x-\gamma -1$

\Lambda =F+\sum \limits _{k}R\left({\frac {n}{k}}\right)\mu (k).

Întrucât rămâne de verificat că al doilea termen are forma . Aplicarea lemei lui Asker ne permite să reducem această problemă la verificarea afirmației unde este funcția Mertens , suma funcției Möbius. $F(x)\sim x,$ $bou)$ $M(x)=o(x),$ $M(x)=\sum \limits _{n\leqslant x}\mu (n)$

Micimea sumelor funcției Möbius pe o subsecvență rezultă din formula de inversare aplicată funcției . $1/n$

În plus, funcția Möbius din algebra funcțiilor aritmetice (cu operația de convoluție multiplicativă) satisface „ecuația diferențială” de ordinul întâi.

\mu '=-\mu *\Lambda,

unde este o derivație în această algebră (trecerea la seria Dirichlet o transformă în derivația obișnuită a unei funcții). Prin urmare, satisface și ecuația de ordinul doi $f'(n)=f(n)\cdot \ln n$

\mu ''=\mu *(\Lambda *\Lambda -\Lambda ').

„Media” acestei ecuații și faptul că asimptoticele sumei funcției sunt estimate mai bine decât asimptoticele sumelor , ne permite să estimăm raportul prin valorile medii ale unui astfel de raport. O astfel de estimare, împreună cu „minuțiunea în continuare” și vă permite să obțineți estimarea dorită . $\Lambda _{2}=\Lambda *\Lambda +\Lambda$ $\lambda$ ${\frac {M(x)}{x}}$ $M(x)=o(x)$

Vezi și

Note

↑ Modern. prob. Mat., 2008, numărul 11. - p. 30-31
↑ Derbyshire, 2010 , p. 178-179..
↑ Akhiezer N. I. P. L. Cebyshev și moștenirea sa științifică.
↑ Schiță a formulei explicite Riemann--von Mangoldt . Consultat la 15 noiembrie 2009. Arhivat din original pe 7 iulie 2010. (nedefinit)
^ Weisstein , Eric W. Formula explicită pe site- ul web Wolfram MathWorld .

Literatură

Clasici

Jacques Hadamard . Sur la distribution des zeros de la fontction și ses conséquences arithmétiques $\zeta (s)$ . Taur. soc. Matematică. Franţa , nr. 24 (1896), 199-220.
Charles de la Vallee Poussin . Cercetări analitice asupra teoriei numelor premiers. Ann. soc. sci. Bruxelles , 1897.
Chebyshev P. L. Despre determinarea numărului de numere prime care nu depășesc o valoare dată, 1848.
Cebyshev P. L. Despre numerele prime, 1850.
Bernard Riemann. Űber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse // Monatsberichte der Berliner Akademie. — 1859.

Literatura modernă

Derbyshire, John. Obsesie simplă. Bernhard Riemann și cea mai mare problemă nerezolvată din matematică. - Astrel, 2010. - 464 p. — ISBN 978-5-271-25422-2 .
Diamond, G. Elementary Methods in the Study of the Distribution of Primes , Uspekhi Mat . Nauk , 45:2(272) (1990), 79-114.
Postnikov A. G., Romanov N. P. O simplificare a demonstrației elementare a lui A. Selberg a legii asimptotice de distribuție a numerelor prime , Uspekhi Mat . Nauk , 10:4(66) (1955), p. 75-87
Erdős, P. Demonstration élémentaire du théorème sur la distribution des nombres premiers. Scriptum 1, Centre Mathematique, Amsterdam, 1949.
Selberg, A. O demonstrație elementară a teoremei numerelor prim, Ann. Matematică. 50, 305-313, 1949.

Link -uri

Weisstein, Eric W. Teorema numerelor prim (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .

Dicționare și enciclopedii	Britannica (online)