Teorema funcției inverse

Teorema funcției inverse oferă condiții suficiente pentru existența unei funcții inverse într-o vecinătate a unui punct în termeni de derivate ale funcției în sine.

Teorema se generalizează la funcții vectoriale . Există și variante ale teoremei funcției inverse pentru funcții holomorfe , pentru mapări netede între varietăți , pentru funcții netede între spații Banach .

Formulări

Funcție cu valoare reală

Pentru o funcție a unei variabile , teorema spune că dacă este o funcție diferențiabilă continuu cu o derivată diferită de zero în punctul , atunci este inversabilă în vecinătatea lui . Mai mult, funcția inversă este continuu diferențiabilă și $f$ $A$ $f$ $A$

{\bigl (}f^{-1}{\bigr )}'(f(a))={\frac {1}{f'(a))).

Funcțiile mai multor variabile

Dacă matricea jacobiană a unei funcții diferențiabile continuu care acționează dintr-o submulțime deschisă de spațiu în spațiu este inversabilă într-un punct , atunci funcția în sine este inversabilă într-o vecinătate . $F$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $p$ $F$ $p$

Note

A doua parte a teoremei rezultă din regula de diferențiere a compoziției funcțiilor .
Existența unei funcții inverse este echivalentă cu a spune că sistemul de ecuații poate avea o soluție pentru dat , presupunând că și se află în vecinătăți mici ale și , respectiv. $F$ $n$ $y_{i}=F_{i}(x_{1},\dots,x_{n})$ $x_{1},\dots ,x_{n}$ $y_{1},\dots ,y_{n}$ $X$ $y$ $p$ $F(p)$

Exemplu

Luați în considerare funcția vectorială $F\colon \mathbb {R} ^{2}\la \mathbb {R} ^{2)$

\mathbf {F} (x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}{\cdot }\cos y}\\{e^{x}{\cdot }\sin y} \\\end{bmatrix}}.

Matricea jacobiană are forma $F$

J_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}{\cdot }\cos y},&{-e^{x}{\cdot }\sin y} \\{e^{x}{\cdot }\sin y},&{e^{x}{\cdot }\cos y}\\\end{bmatrix)).

Determinantul său este :

\det[J_{F}(x,y)]=e^{2x}{\cdot }\cos ^{2}y+e^{2x}{\cdot }\sin ^{2}y =e^{2x}.

Rețineți că în orice moment Conform teoremei, pentru fiecare punct există o vecinătate pe care este inversabilă. $e^{2x}\neq 0$ $p\in \mathbb {R} ^{2}$ $F$

Rețineți, totuși, că este ireversibil pentru întreaga regiune. Într-adevăr, $F$ $F(x,y)=F(x,y+2\pi )$

pentru orice . În special, nu este injectiv

(X y)

F

Variații și generalizări

Caz infinit-dimensional

În cazul cu dimensiuni infinite, trebuie să ceri în plus ca derivatele Fréchet la un punct să aibă un operator invers mărginit . $p$

Soiuri

Teorema funcției inverse se generalizează la mapări netede între varietăți netede . Să fie o mapare lină între varietăți netede . Să presupunem că diferența $F\colon M\la N$

d_{p}F\colon T_{p}M\la T_{F(p)}N

într-un punct este un izomorfism liniar . (În special, .) Apoi există un cartier deschis astfel încât $p$ $\dim M=\dim N$ $U\ni p$

F|_{U}\colon U\to F(U)

este un difeomorfism .

Banach spaces

Să fie și să fie spații Banach și să fie un cartier deschis al . Să presupunem că maparea este diferențiabilă continuu și diferența sa este un izomorfism liniar mărginit . Apoi există un cartier deschis și o mapare diferențiabilă continuu astfel încât pentru toți în . $X$ $Y$ $U$ $0\in X$ $F\colon U\la Y$ $d_{0}F\colon X\la Y$ $X\la Y$ $V\ni F(0)$ $G\colon V\la X$ $F(G(y))=y$ $y$ $V$

Soiuri Banach

Aceste două linii de generalizare pot fi combinate în teorema funcției inverse pentru varietățile Banach. [unu]

Vezi și

Teorema funcției implicite

Note

↑ Lang 1995, Lang 1999, pp. 15-19, 25-29.

Link -uri

Zorich V. A. Analiză matematică, orice ediție
Ilyin V. A., Poznyak E. G. Fundamentele analizei matematice, ed. a 3-a, partea 1, M., 1971
Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elemente de teoria funcțiilor și analiză funcțională, ed. a 5-a, M., 1981
Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elemente de analiză funcțională, ed. a 2-a, M., 1965
Nikolsky S. M. Curs de analiză matematică, ed. a II-a, vol. 1-2, M., 1975
Pontryagin L. S. Ecuații diferențiale ordinare, ed. a 4-a, M., 1974 - § 33
Schwartz L. Analiză, trad. din franceză, vol. 1, M., 1972
Serge Lang . Varietăți diferențiale și riemanniene. - Springer, 1995. - ISBN 0-387-94338-2 .
Serge Lang . Fundamentele geometriei diferențiale. - New York: Springer, 1999. - (Texte de absolvire în matematică). - ISBN 978-0-387-98593-0 .
Nijenhuis, Albert. Derivate puternice și mapări inverse (engleză) // Amer. Matematică. Lunar : jurnal. - 1974. - Vol. 81 , nr. 9 . - P. 969-980 . - doi : 10.2307/2319298 .
Renardy, Michael și Rogers, Robert C. O introducere în ecuațiile cu diferențe parțiale (italiană) . - Al doilea. - New York: Springer-Verlag , 2004. - S. 337-338. — (Texte în Matematică Aplicată 13). — ISBN 0-387-00444-0 .
Rudin, Walter . Principii de analiză matematică (neopr.) . - Al treilea. - New York: McGraw-Hill Education , 1976. - S. 221-223. — (Seria Internațională de Matematică Pură și Aplicată). — ISBN 978-0070542358 .