Teorema comparației Rauch

Teorema de comparație a lui Rauch este un rezultat fundamental al geometriei riemanniene . Dovedit de Rauch [1] .

Teorema afirmă că în spațiile cu curbură secțională mai mare, geodezicele tind să convergă mai repede. Formularea precisă folosește câmpuri Jacobi .

Formulare

Fie și să fie varietăți riemanniene . Fie și să fie geodezice cu viteză unitară astfel încât să nu aibă puncte conjugate de-a lungul , și fie câmpuri Jacobi normale de-a lungul și , astfel încât și . Să presupunem că curburele secționale și peste tot satisface , unde este un 2-plan care conține , și este un 2-plan care conține . Apoi pentru toți . $M$ ${\tilde {M}}$ $\gamma \colon [0,T]\la M$ ${\tilde {\gamma }}\colon [0,T]\to {\tilde {M}}$ ${\widetilde {\gamma }}(0)$ ${\tilde {\gamma ))$ $J,{\tilde {J)}$ $\gamma$ ${\tilde {\gamma ))$ $J(0)={\tilde {J))(0)=0$ $|J'(0)|=|{\tilde {J))'(0)|$ $M$ ${\tilde {M}}$ $K(\Pi)\leqslant {\widetilde {K)}({\widetilde {\Pi )))$ $\Pi \subset T_{\gamma (t)}M$ ${\dot {\gamma }}(t)$ ${\tilde {\Pi }}\subset T_{{\tilde {\gamma }}(t)}{\tilde {M}}$ ${\dot {\tilde {\gamma ))}(t)$ $|J(t)|\geqslant |{\tilde {J}}(t)|$ $t\in [0,T]$

Consecințele

Fie o varietate Riemanniană și geodezica nu are puncte conjugate, atunci: $M$ $\gamma \colon [0,T]\la M$

Dacă are curbură secțională nenegativă, atunci pentru orice câmp Jacobi astfel încât , avem $M$ $J$ $J(0)=0$ $|J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |t|.$
Dacă curbura secțiunii este de cel puțin 1, atunci $M$ $|J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |\sin t|.$
Dacă curbura secțiunii este de cel mult −1, atunci $M$ $|J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |\operatorname {sh} t|.$

Vezi și

Note

↑ Rauch, HE O contribuție la geometria diferențială în mare // Ann. Matematică.. - 1951. - Vol. 54.—P. 38–55. - doi : 10.2307/1969309 . . MR : 42765

Link -uri

Gromol D., Klingenberg V., Meyer V., Geometria riemanniană în general, Mir, 1971, p. 343.
Burago Yu.D., Zalgaller V.A. Introducere în geometria riemanniană. - Sankt Petersburg: Nauka, 1994. - ISBN 5-02-024606-9 .