Câmpul Jacobi

Un câmp Jacobi este un câmp vectorial de -a lungul unei geodezice într-o varietate Riemanniană care descrie diferența dintre această geodezică și o geodezică „infinit apropiată” de ea. Se poate spune că toate câmpurile Jacobi de-a lungul unei geodezice formează un spațiu tangent la acesta în spațiul tuturor geodezicilor . $\gamma$

Numit după Carl Gustaf Jacob Jacobi .

Definiție

Să existe o familie netedă de geodezice cu un parametru cu , apoi câmpul $\gamma _{\tau }$ $\gamma _{0}=\gamma$

J(t)=\left.{\frac {\partial \gamma _{\tau }(t)}{\partial \tau }}\right|_{\tau =0}

se numește câmpul Jacobi.

Proprietăți

Câmpul Jacobi J satisface ecuația Jacobi : $J''(t)+R(J(t),T(t))T(t)=0,$

unde este derivata covariantă față de conexiunea Levi-Civita , este tensorul de curbură și este vectorul tangent la .

J''(t)={\frac {D^{2}}{dt^{2}}}J

R

T(t)=d\gamma (t)/dt

\gamma

Pe varietăți riemanniene complete , orice câmp care satisface ecuația Jacobi este un câmp Jacobi, adică are o familie de geodezice asociate cu acel câmp conform definiției. $\gamma _{\tau }$

Ecuația Jacobi este o ecuație diferențială ordinară liniară de ordinul doi.
- În special, și la un moment dat definiți în mod unic câmpul Jacobi. $J$ ${\frac {D}{dt}}J$ $\gamma$
- În plus, mulțimea câmpurilor Jacobi de-a lungul geodezicei constituie un spațiu vectorial real a cărui dimensiune este de două ori dimensiunea varietății.

Orice câmp Jacobi poate fi reprezentat unic ca o sumă , unde este o combinație liniară de câmpuri Jacobi banale și ortogonal pentru toate . $J$ $T+I$ $T=a{\dot {\gamma }}(t)+bt{\dot {\gamma }}(t)$ $Aceasta)$ ${\dot {\gamma }}(t)$ $t$
- În acest caz, câmpul corespunde aceleiași familii de geodezice, doar cu o parametrizare modificată. $eu$

Pentru oricare două câmpuri Jacobi și cantitatea $Aceasta)$ $J(t)$ $\langle I'(t),J(t)\rangle -\langle I(t),J'(t)\rangle$

nu depinde de .

t

Exemplu

Pe sferă, geodezicele prin Polul Nord sunt cercuri mari . Luați în considerare două astfel de geodezice și cu parametrizare naturală , separate printr-un unghi . Distanța geodezică este $\gamma _{0}$ $\gamma _{\tau }$ $t\in [0,\pi ]$ $\tau$ $d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))$

d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))=\operatorname {arcsin} {\bigg (}\sin t\sin \tau {\sqrt {1+ \cos ^{2}t\operatorname {tg} ^{2}(\tau /2))){\bigg )}.

Pentru a obține această expresie, trebuie să cunoașteți geodezice. Cel mai interesant rezultat este acesta:

d(\gamma _{0}(\pi),\gamma _{\tau}(\pi ))=0

pentru orice .

\tau

În schimb, putem considera derivatele cu privire la : $\tau$ $\tau=0$

{\frac {\partial }{\partial \tau}}{\bigg |}_{\tau =0}d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau}(t ))=|J(t)|=\sin t.

Obținem din nou intersecția geodezicilor la . Rețineți, totuși, că pentru a calcula această derivată nu este necesar să se cunoască ; tot ce trebuie să faci este să rezolvi ecuația $t=\pi$ $d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))$

y''+y=0

pentru unele condiţii iniţiale date.

Câmpurile Jacobi oferă o generalizare naturală a acestui fenomen pentru varietăți riemanniene arbitrare .

Rezolvarea ecuației Jacobi

Lasă ; adăugați alții la acest vector pentru a obține o bază ortonormală în . Să-l mutăm printr- o traducere paralelă pentru a obține o bază în orice moment . Aceasta dă o bază ortonormală cu . Câmpul Jacobi poate fi scris în coordonatele asociate cu această bază: , de unde: $e_{1}(0)={\dot {\gamma }}(0)/|{\dot {\gamma }}(0)|$ ${\big \{}e_{i}(0){\big \))$ $T_{\gamma (0)}M$ $\{e_{i}(t)\}$ $\gamma$ $e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}(t)|$ $J(t)=y^{k}(t)e_{k}(t)$

{\frac {D}{dt}}J=\sum _{k}{\frac {dy^{k}}{dt}}e_{k}(t),\quad {\frac {D ^{2}}{dt^{2}}}J=\sum _{k}{\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}e_{k}(t ),

iar ecuația Jacobi poate fi rescrisă ca sistem

{\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}+|{\dot {\gamma }}|^{2}\sum _{j}y^{ j}(t)\langle R(e_{j}(t),e_{1}(t))e_{1}(t),e_{k}(t)\rangle =0

pentru toată lumea . Astfel obținem ecuații diferențiale ordinare liniare. Deoarece ecuația are coeficienți netezi , avem că soluțiile există pentru toți și sunt unice dacă și sunt date pentru toți . $k$ $t$ $y^{k}(0)$ ${\frac {dy^{k}}{dt}}(0)$ $k$

Exemple

Luați în considerare o geodezică cu un cadru ortonormal paralel , construită așa cum este descris mai sus. $\gamma (t)$ $e_{i}(t)$ $e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}|$

Câmpurile vectoriale de-a lungul , date de și , sunt câmpuri Jacobi. $\gamma$ ${\dot {\gamma }}(t)$ $t{\dot {\gamma }}(t)$
În spațiul euclidian (și, de asemenea, pentru spații cu curbură secțională constantă zero), câmpurile Jacobi sunt acele câmpuri care sunt liniare în . $t$
Pentru varietățile Riemanniene de curbură secțională negativă constantă , orice câmp Jacobi este o combinație liniară a , și , unde . $-k^{2)$ ${\dot {\gamma }}(t)$ $t{\dot {\gamma }}(t)$ $\exp(\pm kt)e_{i}(t)$ $i>1$
Pentru varietățile Riemanniene de curbură secțională pozitivă constantă , orice câmp Jacobi este o combinație liniară a , , și , unde . $k^{2}$ ${\dot {\gamma }}(t)$ $t{\dot {\gamma }}(t)$ $\sin(kt)e_{i}(t)$ $\cos(kt)e_{i}(t)$ $i>1$
Restricționarea câmpului Killing la o geodezică este un câmp Jacobi în orice varietate Riemanniană.
Câmpurile Jacobi corespund geodezicilor pe mănunchiul tangent (în raport cu metrica indusă de metrica pe ). $TM$ $M$

Vezi și

Literatură

Gromol D., Klingenberg V., Meyer V., Geometria riemanniană în general, Mir, 1971, p. 343.
Burago Yu.D., Zalgaller V.A. Introducere în geometria riemanniană. - Sankt Petersburg: Nauka, 1994. - ISBN 5-02-024606-9 .