Teoria elasticității

Teoria elasticității este o secțiune a mecanicii continue care studiază deformarea solidelor elastice , comportamentul acestora sub sarcini statice și dinamice.

To close the system, the so-called strain compatibility equations are used (indeed, for a body that remains solid during the deformation process, there are components of the strain tensor that cannot be independent - these components are expressed in terms of three functions - componente ale deplasării unui punct al corpului: relaţii Cauchy simetrice ).

Teoria elasticității este fundamentul ingineriei și arhitecturii. Pe lângă problemele statice evidente (stabilitatea clădirilor și a altor structuri, rezistența vehiculelor), teoria elasticității este utilizată și pentru a rezolva probleme dinamice (de exemplu, stabilitatea structurilor în timpul cutremurelor și sub acțiunea undelor sonore puternice). ; rezistența la vibrații a diferitelor dispozitive și instalații). Teoria elasticității aici se intersectează cu știința materialelor și servește drept unul dintre punctele forte în căutarea de noi materiale. Teoria elasticității este, de asemenea, importantă pentru explorarea seismică .

Abordări ale declarațiilor de problemă

Există trei opțiuni pentru stabilirea problemelor în teoria elasticității.

1. Enunțarea problemelor teoriei elasticității în deplasări

Principalele necunoscute sunt cele trei componente ale vectorului deplasare (denumite în continuare deplasări). Ele trebuie să satisfacă cele trei ecuații de echilibru scrise în deplasări ( ecuația Lame ). La fiecare punct nesingular al suprafeței corpului, deplasările trebuie să îndeplinească trei condiții la limită. Condițiile limită pot fi formulate în trei moduri:

se dau deplasari;
se dau combinaţii de tensiuni, scrise în termeni de derivate normale şi tangenţiale ale deplasărilor;
Sunt date combinații de tensiuni și deplasări, scrise în termenii derivatelor normale și tangențiale ale deplasărilor și în termenii deplasărilor în sine.

Pe baza deplasărilor cunoscute, deformațiile sunt determinate prin diferențiere (relații Cauchy simetrice). Deformarile gasite din deplasari satisfac in mod identic cele sase ecuatii de compatibilitate a deformarii.Potrivit deplasarilor cunoscute, se poate gasi prin diferentierea componentelor tensorului de rotatie si pseudovectorului de rotatii (relatii Cauchy antisimetrice). Din deformațiile cunoscute, tensiunile sunt determinate algebric (ecuațiile legii lui Hooke ).

2. Enunţarea problemelor teoriei elasticităţii în tensiuni. Principalele necunoscute sunt cele șase componente ale tensorului de stres simetric. Ele trebuie să satisfacă trei ecuații de echilibru scrise în tensiuni și șase ecuații de compatibilitate a deformațiilor scrise folosind ecuațiile legii lui Hooke în tensiuni. Deformațiile sunt determinate algebric din tensiunile găsite din ecuațiile inverse ale legii lui Hooke . Deplasările sunt integrate în cuadratură peste deformațiile găsite folosind formulele Cesaro , iar integrabilitatea este asigurată, deoarece ecuațiile de compatibilitate a deformațiilor sunt satisfăcute . Pentru a simplifica formularea tensiunii, aceasta poate fi exprimată în termeni de potențial tensor în așa fel încât ecuațiile de echilibru să fie satisfăcute identic, iar ecuațiile de compatibilitate se vor împărți în ecuații separate pentru fiecare dintre componentele tensor-potențial de stres. . Prin menținerea anumitor componente ale potențialului tensor de tensiuni simetrice și setând restul la zero, se pot obține ca cazuri speciale binecunoscutele formulări ale lui Maxwell , Morrer , Airy .

3. Enunțarea problemelor teoriei elasticității în formă mixtă.

Concepte de bază ale teoriei elasticității

Conceptele de bază ale teoriei elasticității sunt tensiuni care acționează pe zone mici care pot fi trasate mental în corp printr-un punct dat P, deformații într-o mică vecinătate a punctului P și deplasarea punctului P însuși. tensorul , tensorul mic deformare și vectorul deplasare u i . $\sigma _{ij}\,\!$ $\varepsilon _{ij}\,\!$

Notația scurtă , unde indicii i, j iau valori 1, 2, 3 (sau x, y, z ) ar trebui înțeleasă ca o matrice sub forma: $\sigma _{ij}\,\!$

{\boldsymbol {\sigma _{ij}}}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\,\!

Notația scurtă pentru tensor ar trebui înțeleasă în mod similar . $\varepsilon _{ij}\,\!$

Dacă punctul fizic al corpului P din cauza deformării a luat o nouă poziție în spațiul P’, atunci vectorul deplasare se notează cu componente ( u x ,u y ,u z ), sau, pe scurt, u i . În teoria deformațiilor mici, componentele u i și sunt considerate cantități mici (strict vorbind, infinitezimale). Componentele tensorului , care se mai numește și tensorul de deformare Cauchy sau tensorul de deformare liniară, și vectorul u i sunt legate prin dependențe: $\mathbf {PP'}$ $\varepsilon _{ij}\,\!$ $\varepsilon _{ij}\,\!$

\varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)=\left[{\begin{matrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\right)&{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}\right)&{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\end{matrix}}\right]\,\!

Se poate observa din ultima intrare că , deci tensorul deformarii este simetric prin definiție. $\varepsilon _{ij}=\varepsilon _{ji}\,\!$

Dacă un corp elastic sub acțiunea forțelor externe este în echilibru (adică vitezele tuturor punctelor sale sunt egale cu zero), atunci orice parte a acestuia care poate fi separată mental de el este, de asemenea, în echilibru. Din corp este extras un paralelipiped dreptunghiular infinit de mic, ale cărui fețe sunt paralele cu planurile de coordonate ale sistemului cartezian. Din condiția de echilibru pentru un paralelipiped cu mărimile nervurilor dx, dy, dz, având în vedere condițiile de echilibrare a forțelor în proiecții, se poate obține:

{\begin{aligned}&{\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{xy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{xz}}{\partial z}}+F_{x}=0\\&{\frac {\partial \sigma _{yx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{yy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{yz}}{\partial z}}+F_{y}=0\\&{\frac {\partial \sigma _{zx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{zy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}+F_{z}=0\\\end{aligned}}

În mod similar, se obțin ecuații de echilibru care exprimă egalitatea la zero a momentului principal al tuturor forțelor care acționează asupra paralelipipedului, care se reduc la forma:

\sigma _{xy}=\sigma _{yx},\sigma _{yz}=\sigma _{zy},\sigma _{zx}=\sigma _{xz}\,\!

Această egalitate înseamnă că tensorul de stres este un tensor simetric și numărul de componente necunoscute ale tensorului de stres este redus la 6. Există doar trei ecuații de echilibru, adică ecuațiile statice nu sunt suficiente pentru a rezolva problema. Calea de ieșire este de a exprima tensiunea în termeni de deformații folosind ecuațiile legii lui Hooke și apoi de a exprima deformațiile în termeni de deplasări u i folosind formulele Cauchy și de a înlocui rezultatul în ecuația de echilibru. În acest caz, se obțin trei ecuații de echilibru diferențial față de trei funcții necunoscute u x u y u z , adică numărul de necunoscute va corespunde numărului de ecuații. Aceste ecuații sunt numite ecuații Navier-Cauchy. $\sigma _{ij}\,\!$ $\varepsilon _{ij}\,\!$ $\varepsilon _{ij}\,\!$

\left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{x}=0\,\!

\left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{y}=0\,\!

\left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{z}=0\,\!

unde sunt parametrii Lame :

\lambda ={\frac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}

\mu ={\frac {E}{2(1+\nu )}}

Medii omogene anizotrope

Pentru mediile anizotrope, tensorul de rigiditate este mai complex. Simetria tensorului tensiunii înseamnă că există cel mult 6 elemente de stres diferite. În mod similar, există cel mult 6 elemente diferite ale tensorului de deformare . Prin urmare, tensorul de rigiditate de ordinul al patrulea poate fi scris ca o matrice (tensorul de ordinul doi). Notația lui Voigt este modalitatea standard de afișare pentru indici tensoriali, $C_{ijkl}\,\!$ $\sigma _{ij}\,\!$ $\varepsilon _{ij}\,\!$ $C_{ijkl}\,\!$ $C_{\alpha \beta }\,\!$

{\begin{matrix}ij&=\\\Downarrow &\\\alpha &=\end{matrix}}{\begin{matrix}11&22&33&23,32&13,31&12,21\\\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\\1&2&3&4&5&6\end{matrix}}\,\!

Folosind aceste notații, se poate scrie matricea de elasticitate pentru orice mediu elastic liniar ca:

C_{ijkl}\Rightarrow C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}.\,\!

După cum se arată, matricea este simetrică. Acesta este rezultatul existenței unei funcții de densitate a energiei de deformare care satisface . Prin urmare, există cel mult 21 de constante diferite . $C_{\alpha \beta }\,\!$ $\sigma _{ij}={\frac {\partial W}{\partial \varepsilon _{ij}}}$ $C_{\alpha \beta }\,\!$

Cazul special izotrop are 2 elemente independente:

C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}K+4\mu \ /3&K-2\mu \ /3&K-2\mu \ /3&0&0&0\\K-2\mu \ /3&K+4\mu \ /3&K-2\mu \ /3&0&0&0\\K-2\mu \ /3&K-2\mu \ /3&K+4\mu \ /3&0&0&0\\0&0&0&\mu \ &0&0\\0&0&0&0&\mu \ &0\\0&0&0&0&0&\mu \ \end{bmatrix}}.\,\!

Cel mai simplu caz anizotrop de simetrie cubică are 3 elemente independente:

C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{44}\end{bmatrix}}.\,\!

Cazul izotropiei transversale, numită și anizotropie polară (cu o singură axă de simetrie), are 5 elemente independente:

C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{11}-2C_{66}&C_{13}&0&0&0\\C_{11}-2C_{66}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.\,\!

Când izotropia transversală este slabă (adică aproape de izotropie), o parametrizare alternativă folosind parametrii Thomsen se dovedește a fi convenabilă pentru scrierea formulelor pentru vitezele undei.

Cazul ortotropiei (simetria cărămizii) are 9 elemente independente:

C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.\,\!

Vezi și

Literatură

Bolotin VV Stabilitatea dinamică a sistemelor elastice. - M. : Gostekhizdat, 1956. - 600 p.
Ilyushin A. A. Mecanica continuumului. - M. : Editura Moscovei. un-ta, 1978. - 287 p.
Lihaciov V. A., Malinin V. G. Teoria structural-analitică a rezistenței. - Sankt Petersburg. : Nauka, 1993. - 471 p.
Lur'e A. I. Teoria elasticităţii. — M .: Nauka, 1970. — 940 p.
Panovko Ya. G. , Gubanova I. I. Stabilitatea și vibrațiile sistemelor elastice: concepte moderne, erori și paradoxuri. - M. : Nauka, 1979. - 384 p.
Rabotnov Yu. N. Mecanica unui corp solid deformabil. - M. : Nauka, 1979. - 744 p.
Sedov L.I. Mecanica continuului. Volumul 1. . - M. : Nauka, 1970. - 492 p.
Sedov L.I. Mecanica continuului. Volumul 2. . — M .: Nauka, 1970. — 568 p.
Truesdell K. Curs inițial de mecanică rațională a continuumului. . — M .: Nauka, 1975. — 592 p.

Link -uri

Curs de elasticitate

Secțiuni de mecanică
mecanica clasica Teoria specială a relativității Mecanica teoretică Teoria generală a relativității Mecanica relativistă Mecanica cuantică
Mecanica continuumului	Hidrostatică Hidrodinamică Aeromecanica Aerostatice dinamica gazelor Teoria elasticității Teoria plasticității Mecanica fracturii solidelor Reologie
teorii	Teoria oscilației Teoria durabilității
mecanica aplicata	Rezistența materialelor Teoria mecanismelor și mașinilor Piese de mașină Mecanica structurala Hidraulica Mecatronică Mecanica cerească Optomecatronică