Funcția de stare termodinamică

Funcția de stare termodinamică  este o mărime fizică considerată ca o funcție a mai multor variabile de stare independente. Mai mult, setul de variabile independente este selectat din cerința necesității și suficienței pentru o descriere completă a stării instantanee a unui sistem termodinamic omogen. Funcțiile de stare sunt date pentru starea curentă de echilibru a sistemului [1] . Ele sunt utilizate pentru descrierea termodinamică a mediilor continue - gaze , lichide , solide , inclusiv cristale , emulsii și radiații de corp negru . Funcțiile de stare nu depind de calea procesului termodinamic prin care sistemul a atins starea curentă. Funcția de stare termodinamică descrie starea de echilibru a unui sistem și, prin urmare, descrie și tipul de sistem. De exemplu, o funcție de stare poate descrie o fază gazoasă, lichidă sau solidă; un amestec eterogen sau omogen; și cantitatea de energie necesară pentru a crea astfel de sisteme sau pentru a le transfera într-o altă stare de echilibru. Trebuie clarificat faptul că, dacă echilibrul nu are loc în întregul volum al sistemului, ci doar în partea sa infinitezimală, atunci funcțiile de stare termodinamică descriu și aceste părți mici, iar modificarea variabilelor de stare termodinamică este definită ca funcții de timp și coordonate care se modifică din cauza fluxurilor în mediu, urmărind aducerea întregului sistem în echilibru. Conceptul de localitate a echilibrului termodinamic face posibilă utilizarea funcțiilor termodinamice de stare în termodinamica de neechilibru.

De exemplu, energia internă , entalpia și entropia sunt mărimi de stare, deoarece descriu cantitativ starea de echilibru a unui sistem termodinamic , indiferent de modul în care sistemul a ajuns la acea stare. În schimb, lucrul mecanic și căldura  sunt cantități dependente de proces sau de funcție de cale, deoarece valorile lor depind de tranziția (sau calea) specifică între două stări de echilibru termodinamic. Căldura în anumite cantități discrete poate descrie o anumită funcție de stare, cum ar fi entalpia, dar în ansamblu nu descrie cu adevărat sistemul decât dacă este definită ca o funcție de stare a unui anumit sistem și astfel entalpia este descrisă de o cantitate de căldură. Se poate referi și la entropie atunci când căldura este comparată cu temperatura. Modul de descriere este încălcat pentru cantitățile care prezintă efecte de histerezis . [2]

Istorie

Este probabil ca termenul „funcții de stat” să fi fost folosit într-un sens larg în anii 1850 și 60 de oameni de știință precum Rudolf Clausius , William Rankin , Peter Tate , William Thomson și a fost utilizat pe scară largă până în anii 1870. De exemplu, în 1873, Willard Gibbs , în articolul său „Metode grafice în termodinamica fluidelor”, afirmă: „Mărimile V, B, T, U și S sunt determinate atunci când este dată starea corpului și ele pot fi numite funcții ale stării corpului . [3]

Caracteristicile diferitelor definiții ale termenului „variabilă de stat”

Luați în considerare două definiții ale termenului „variabilă de stare” [K 1] utilizate în literatura de specialitate în termodinamică. Potrivit primei dintre ele, variabilele de stare (parametrii de stare, parametrii termodinamici) sunt mărimi fizice care caracterizează starea de echilibru a unui sistem termodinamic [4] [5] [6] [7] . Conform celei de-a doua definiții, o variabilă de stare este o mărime fizică care caracterizează starea unui sistem termodinamic [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17 ] [18] [19] , una din setul de mărimi termodinamice care caracterizează starea unui sistem termodinamic [20] și care permite măsurarea cu precizia necesară [21] [22] [23] .

Diferența dintre definiții (stare și stare de echilibru) [K 2] conduce la faptul că domeniul de aplicare al celei de-a doua dintre definiții este mai larg decât prima definiție folosită în termodinamica clasică [K 3] a stărilor și proceselor de echilibru (echilibru clasic). termodinamică), drept urmare în În termodinamica clasică de echilibru, o descriere globală (pentru sistem în ansamblu) a stărilor de neechilibru și a proceselor de neechilibru este imposibilă [26] . De aici rezultă că utilizarea primei definiții, mai restrânsă, a variabilei de stare exclude posibilitatea de a discuta în termodinamica clasică de echilibru asemenea probleme comune termodinamicii tehnice , cum ar fi luarea în considerare a proceselor staționare de neechilibru într-un flux [27] [28] [29 ]. ] și analiza exergie a proceselor reale de neechilibru [ 30] [31] [32] [33] [34] .

A doua definiție a variabilei de stare permite extinderea acestui concept la stările de neechilibru [35] [36] , adică permite luarea în considerare nu numai a proceselor de echilibru, ci și a proceselor de neechilibru prin metodele termodinamicii clasice prin înlocuirea condiției de echilibru. a sistemului studiat cu cerința omogenității acestuia [K 4] , iar în schimb procesele de echilibru iau în considerare procese cvasi-statice, ceea ce face posibil să nu se ia în considerare în mod explicit dependența mărimilor termodinamice de timp [37] . O astfel de abordare a sistemului logic de construire/prezentare a termodinamicii este implementată în termodinamica tehnică, care se bazează nu pe termodinamica clasică de echilibru, ci pe termodinamica clasică a proceselor ideale [K 5] . Conform celei de-a doua - mai ample - definiții a variabilei de stare, starea globală a oricărui sistem termodinamic omogen - atât de echilibru, cât și de neechilibru - este caracterizată de valorile instantanee ale variabilelor de stare în fiecare moment de timp; pentru un sistem de echilibru sau de neechilibru staționar, valorile instantanee ale variabilelor de stare sunt constante și nu depind de timp. În plus, termodinamica clasică a proceselor ideale utilizează conceptul de procese cvasi-statice [42] , denumit în mod tradițional reversibile, menit să înlocuiască luarea în considerare a proceselor termodinamice reale cu o analiză a modelelor lor idealizate [43] , care, în cadrul cadrul problemei, sunt considerate procese infinit de lente [44] [38] [45] [39] (adică durata unui proces de echilibru cvasistatic ar trebui să depășească cu mult timpii de relaxare caracteristici sistemului [46] ), ceea ce permite ca procesele cvasi-statice să nu ia în considerare în mod explicit dependența cantităților termodinamice de timp.

Este important ca a doua definiție a variabilei de stare, care nu menționează că această mărime este o caracteristică a unui sistem termodinamic de echilibru, elimină automat nevoia de a se referi la principiul echilibrului local atunci când se construiește termodinamica proceselor de neechilibru [K 6 ] .

Prezentare generală

Un sistem termodinamic este descris printr-un set de parametri termodinamici (de exemplu , temperatura , volumul, presiunea ), care nu sunt neapărat independenți. Numărul de parametri necesari pentru a descrie sistemul este dimensiunea spațiului de stare al sistemului ( D ). De exemplu, un gaz monoatomic , având un număr fix de particule, este un caz simplu al unui sistem bidimensional ( D = 2 ). În acest exemplu, orice sistem este definit în mod unic de doi parametri, cum ar fi presiunea și volumul, sau poate presiunea și temperatura. Această alegere a parametrilor este echivalentă deoarece descrie diferite sisteme de coordonate într-un spațiu de stare termodinamic bidimensional. Volumul se calculează din presiune și temperatură. În mod similar, temperatura este calculată din presiune și volum. O afirmație similară este adevărată pentru spațiile multidimensionale descrise de postulatul unei stări termodinamice.

De regulă, funcția de stare termodinamică are forma

unde P  este presiunea, T  este temperatura, V  este volumul și punctele indică alți parametri termodinamici posibili, cum ar fi N este numărul de  particule și entropia S. Dacă spațiul de stare este bidimensional, ca în exemplul de mai sus, atunci spațiul poate fi gândit ca o suprafață în spațiu tridimensional. Cu toate acestea, denumirile pentru axe sunt ambigue, deoarece există mai mult de trei parametri termodinamici.

Când un sistem își schimbă continuu starea, acesta urmărește o „cale” termodinamică prin spațiul de stare. Calea poate fi specificată notând valorile parametrilor de stare pe măsură ce starea se schimbă, de exemplu în funcție de timp sau de altă variabilă externă. De exemplu, am putea specifica presiunea și volumul ca funcții de timp de la și până la ; aceasta va indica calea în exemplul nostru de spațiu de stare 2D. Acum putem forma toate funcțiile de timp posibile care pot fi integrate de-a lungul căii. De exemplu, dacă dorim să calculăm munca efectuată de sistem între timpi și ar trebui să calculăm integrala

Este clar că pentru a calcula munca W în integrala de mai sus, trebuie să cunoaștem funcțiile și în fiecare moment de timp , în orice punct de-a lungul drumului. Funcția de stare termodinamică este o funcție a parametrilor sistemului care depinde numai de valorile parametrilor la punctele finale ale căii. De exemplu, să presupunem că vrem să calculăm munca plus integrala pe o anumită cale. Apoi

Se poate observa că integrandul poate fi exprimat ca diferența exactă a funcției și, prin urmare, integrala este exprimată ca diferență de valori la punctele finale ale intervalului de integrare. Prin urmare, produsul este, de asemenea, o funcție a stării sistemului.

Folosim d pentru a desemna diferența totală. Cu alte cuvinte, integrala va fi egală cu . Simbolul δ va fi rezervat diferenţialului inexact, care nu poate fi integrat fără cunoaşterea deplină a traseului. De exemplu, va fi folosit pentru a desemna o creștere infinitezimală a muncii.

Cel mai bine este să ne gândim la funcțiile de stare ca la cantități sau proprietăți ale unui sistem termodinamic, în timp ce funcțiile non-state reprezintă un proces în care funcțiile de stare se schimbă. De exemplu, funcția de stare este proporțională cu energia internă a unui gaz ideal, dar  este cantitatea de energie transferată de sistem în timpul funcționării. Energia internă este identificată ca o formă specială de energie. Munca este cantitatea de energie care și-a schimbat forma sau locația.

Lista funcțiilor de stat

Următoarele funcții sunt considerate funcții de stare în termodinamică  :

Vezi și

• Mărimi termodinamice

Comentarii

1. ↑ În această secțiune, vom vorbi pur și simplu despre variabilele de stare, deoarece nu este nevoie să facem distincție între variabilele de stare (funcții) independente și dependente.
2. ↑ Într-un sistem termodinamic de echilibru și de neechilibru staționar, variabila de stare este considerată ca o caracteristică independentă de timp a stării acestui sistem și, din acest motiv, procese, adică schimbări de stare în timp [24] , în astfel de sisteme nu necesită utilizarea unei variabile de timp pentru descrierea lor. Într-un sistem termodinamic non-staționar de echilibru, valoarea a cel puțin unei variabile de stare se modifică în timp și, prin urmare, pentru o astfel de variabilă putem vorbi fie despre valoarea ei instantanee pentru un sistem omogen la un anumit moment de timp, fie despre legea schimbării acestei variabile în timp.
3. ↑ Să lămurim că în această secțiune, termodinamică clasică înseamnă acea secțiune a termodinamicii care nu depășește limitele, limitată de luarea în considerare a principiilor termodinamicii de la „minus primul” [25] până la a treia, și termodinamica clasică de neechilibru. înseamnă o variantă de termodinamică a proceselor reale bazată pe principiul echilibrului local .
4. ↑ Cerința de omogenitate în abordarea globală a sistemului studiat joacă același rol ca și principiul echilibrului local în termodinamica clasică de neechilibru, adică exclude din considerare dependența variabilei de stare de coordonatele geometrice.
5. ↑ Mai exact, despre termodinamica clasică a stărilor și proceselor ideale care provin din sistemul logic Clausius - Carathéodory , în care se consideră nu echilibrul, ci valorile instantanee ale variabilelor de stare ale unui sistem omogen și, în consecință, nu echilibrul, ci procese cvasi-statice; procesele de echilibru sunt considerate a fi un fel de procese cvasi-statice [38] [39] , deși nu orice proces cvasi-static este de echilibru [40] - o expansiune infinit lentă a unui gaz într-un vid este un exemplu de non- proces cvasistatic de echilibru [41] .
6. ↑ „Este cunoscută importanța acordată în literatura de specialitate conceptelor de procese de echilibru și de neechilibru. De remarcat că folosirea acestor reprezentări este legată nu de natura lucrurilor, ci exclusiv de modul acceptat de raționament și introducere a conceptelor de bază” [47] .

Note

1. ↑ Callen HB , Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics, 1985 .
2. ↑ Mandl, 1988 , p. 7
3. ↑ Gibbs, 1873 , pp. 309–342
4. ↑ Rudoy Yu. G. , Parametrii de stat .
5. ↑ Bazarov I.P. , Termodinamică, 2010 , p. cincisprezece.
6. ↑ Gladyshev G.P. , Parametrii de stat, 1992 .
7. ↑ Zubarev D. N. , Parametrii de stat, 1992 .
8. ↑ Bazhin N. M. și colab. , Începuturile chimiei fizice, 2015 , p. 186.
9. ↑ Barilovici V.A., Smirnov Yu.A., Fundamentele termodinamicii tehnice, 2014 , p. 7.
10. ↑ Ageev E.P. , Non-equilibrium thermodynamics in questions and answers, 2005 , p. douăzeci.
11. ↑ Bazhin N. M. și colab. , Thermodynamics for chemists, 2004 , p. 13.
12. ↑ Khrustalev B. M. și colab. , Termodinamică tehnică, partea 1, 2004 , p. 33.
13. ↑ Parametrul de stat (New Polytechnical Dictionary) .
14. ↑ Parametrii de stat (Big Encyclopedic Dictionary. Physics) .
15. ↑ Parametrii de stat (Big Encyclopedic Dictionary) .
16. ↑ N. M. Belyaev , Termodinamică, 1987 , p. opt.
17. ↑ Parametrii de stat (Dicționar enciclopedic chimic) .
18. ↑ Arnold L. V. și colab. , Termodinamică tehnică și transfer de căldură, 1979 , p. unsprezece.
19. ↑ Vukalovich M.P., Novikov I.I. , Termodinamică, 1972 , p. zece.
20. ↑ Termodinamică. Noțiuni de bază. Terminologie. Scrisoare desemnări de cantități, 1984 , p. 7.
21. ↑ Butova S. V. și colab. , Heat and cold engineering, 2016 , p. 9.
22. ↑ Bendersky B. Ya. , Termodinamică tehnică și transfer de căldură, 2005 , p. cincisprezece.
23. ↑ Voronin G.F. , Fundamentele termodinamicii, 1987 , p. 13.
24. ↑ Termodinamică. Noțiuni de bază. Terminologie. Scrisoare desemnări de cantități, 1984 , p. paisprezece.
25. ↑ Brown HR, Uffink J. The Origins of time-asymmetry in thermodynamics: The minus first law  //  Studies In History and Philosophy of Science Part B: Studies In History and Philosophy of Modern Physics. - Elsevier, 2001. - Vol. 32 , nr. 4 . - P. 525-538 . - doi : 10.1016/S1355-2198(01)00021-1 . Arhivat din original pe 18 ianuarie 2014.
26. ↑ Callen HB , Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics, 1985 , p. paisprezece.
27. ↑ N. M. Tsirelman , Termodinamică tehnică, 2018 , p. 97.
28. ↑ G. D. Baer , ​​​​Termodinamică tehnică, 1977 , p. 275.
29. ↑ Zysin V. A. , Termodinamica tehnică a fluxului, 1977 .
30. ↑ [[#CITEREFTsirelman_N._M.,_Termodinamică_tehnică 2018| Tsirelman N.M. , Termodinamică tehnică, 2018]], p. 97.
31. ↑ Butova S. V. și colab. , Heat and cold engineering, 2016 , p. 50-52.
32. ↑ Konovalov V.I. , Termodinamică tehnică, 2005 , p. 154.
33. ↑ Alabovsky A. N., Neduzhiy I. A. , Termodinamică tehnică și transfer de căldură, 1990 , p. 39.
34. ↑ Guigo E. I. și colab. , Termodinamică tehnică, 1984 , p. 280.
35. ↑ Kvasnikov I. A. , Termodinamică și fizică statistică, vol. 1, 2002 , p. 63.
36. ↑ Bulgarian A.V. și colab. , Thermodynamics and heat transfer, 1975 , p. 12.
37. ↑ Munster A. , ​​​​Termodinamică chimică, 2002 , p. 32.
38. ↑ 1 2 Belokon N.I. , Principiile de bază ale termodinamicii, 1968 , p. unsprezece.
39. ↑ 1 2 Belokon N.I. , Termodinamică, 1954 , p. 31.
40. ↑ Aleshkevich V. A. , Fizica moleculară, 2016 , p. 31.
41. ↑ Huang K. , Mecanica statistică, 1966 , p. 12.
42. ↑ Kvasnikov I. A. , Fizica moleculară, 2009 , p. 44-45.
43. ↑ Van der Waals, Konstamm , Curs de termostatică, partea 1, 1936 , p. 54.
44. ↑ Aminov L.K. , Termodinamică și fizică statistică, 2015 , p. 53.
45. ↑ A. Sommerfeld , Thermodynamics and Statistical Physics, 1955 , p. 32.
46. ↑ Aleshkevich V. A. , Fizica moleculară, 2016 , p. 241.
47. ↑ Zhilin P. A. , Mecanica rațională a continuumului, 2012 , p. 47.

Literatură

• Cullen G. Termodinamică și o introducere în termostatistică. — Ed. a II-a. — N. Y. e. a.: John Wiley & Sons, 1985. - xvi + 493 p. - ISBN 978-0-471-86256-7.
• Josiah WillardMetode grafice în termodinamica fluidelor  (nedefinite)  // Tranzacții ale Academiei din Connecticut. - 1873. - T. II .
• Gibbs, Josiah Willard. Metode grafice în termodinamica fluidelor // Tranzacții ale Academiei din Connecticut. — 1873.
• Mandl, F. Fizică statistică. — al 2-lea. - Wiley & Sons , 1988. - ISBN 978-0-471-91533-1 .
• Ageev EP Termodinamică de neechilibru în întrebări și răspunsuri. — Ed. a II-a, corectată. si suplimentare — M .: MTsNMO , 2005. — 160 p. — ISBN 5-94057-191-3 .
• Alabovsky A. N., Neduzhiy I. A. Termodinamică tehnică și transfer de căldură. - Ed. a 3-a, revizuită. si suplimentare - Kiev: Liceu, 1990. - 256 p. — ISBN 5-11-001997-5 .
• Aleshkevich V. A. Fizică moleculară. — M .: Fizmatlit , 2016. — 308 p. — (Curs universitar de fizică generală). — ISBN 978-5-9221-1696-1 .
• Aminov LK Termodinamică și fizică statistică. Note de curs și sarcini. - Kazan : Universitatea din Kazan , 2015. - 180 p.
• Arnold L. V., Mikhailovsky G. A., Seliverstov V. M. Termodinamică tehnică și transfer de căldură . - Ed. a II-a, revizuită. - M . : Şcoala superioară, 1979. - 445 p.
• Bazhin N. M., Ivanchenko V. A., Parmon V. N. Termodinamică pentru chimiști. - Ed. a II-a, revizuită. si suplimentare — M .: Chimie; Kolos, 2004. - 416 p. — (Pentru învăţământul superior). - ISBN 5-9532-0239-3 , 5-9819-005-7.
• Bazhin NM, Parmon VN Începuturile chimiei fizice. — M. : Infra-M, 2015. — 332 p. — (Învățământ superior: diplomă de licență). - ISBN 978-5-16-009055-9 .
• Bazarov I. P. Termodinamică . - a 5-a ed. - Sankt Petersburg. : Lan, 2010. - 384 p. - (Manuale pentru universităţi. Literatură specială). - ISBN 978-5-8114-1003-3 .
• Barilovici V. A. , Smirnov Yu. A. Fundamentele termodinamicii tehnice și teoria transferului de căldură și masă. - M. : Infra-M, 2014. - 432 p. — (Învățământ superior: diplomă de licență). - ISBN 978-5-16-005771-2 .
• Belokon N. I. Termodinamică. — M .: Gosenergoizdat , 1954. — 416 p.
• Belokon NI Principii de bază ale termodinamicii. — M .: Nedra , 1968. — 112 p.
• Belyaev N. M. Termodinamică. - Kiev: școala Vishcha, 1987. - 344 p.
• Bendersky B. Ya. Termodinamică tehnică și transfer de căldură. - Ed. a II-a, revizuită. - M.-Izhevsk: Dinamica regulată și haotică, 2005. - 264 p. — ISBN 5-93972-438-8 .
• Bolgarsky A. V., Mukhachev G. A., Shchukin V. K. Termodinamică și transfer de căldură. - Ed. a II-a, revizuită. si suplimentare - M . : Şcoala superioară , 1975. - 496 p.
• Butova S. V., Vorontsov V. V., Shakhova M. N. și colab. Ingineria căldurii și frigului. - Voronezh: Voronezh State Agrarian University , 2016. - 248 p.
• Baer GD Termodinamică tehnică. — M .: Mir , 1977. — 519 p.
• Van der Waals , Konstamm . curs termostat. Echilibrul termic al sistemelor de materiale. Partea I. Termostatic general. - M. : ONTI - Redacţia principală de literatură chimică, 1936. - 452 p.
• Voronin G.F. Fundamentele termodinamicii. - M. : Editura Moscovei. un-ta, 1987. - 192 p.
• Vukalovich M.P. , Novikov I.I. Termodinamică. - M . : Mashinostroenie, 1972. - 671 p.
• Gladyshev G.P. Parametri de stat  // Enciclopedie chimică . - Marea Enciclopedie Rusă , 1992. - T. 3 . - S. 445-446 . (Rusă)
• Guygo E. I., Danilova G. N., Filatkin V. N. ş.a. Termodinamică tehnică / Ed. ed. prof. E. I. Guygo. - L . : Editura Leningrad. un-ta, 1984. - 296 p.
• Zhilin P. A. Mecanica rațională a continuumului. - Ed. a II-a. - Sankt Petersburg. : Editura Politehnică. un-ta, 2012. - 584 p. - ISBN 978-5-7422-3248-3 .
• Sommerfeld A. Termodinamică și fizică statistică / Per. cu el. - M. : IL, 1955. - 480 p.
• Zubarev D.N. Parametri de stat  // Enciclopedie fizică . - M .: Enciclopedia Sovietică , 1992. - T. 3 . - S. 544-545 . (Rusă)
• Zysin V. A. Termodinamica tehnică a curgerii. - L . : Editura Universităţii din Leningrad , 1977. - 158 p.
• Kvasnikov I. A. Fizică moleculară. — M. : Editorial URSS, 2009. — 232 p. - ISBN 978-5-901006-37-2 .
• Kvasnikov IA Termodinamică și fizică statistică. Vol. 1: Teoria sistemelor de echilibru: Termodinamica. — Ed. a II-a, substantiv. revizuit si suplimentare — M. : Editorial URSS, 2002. — 240 p. — ISBN 5-354-00077-7 .
• Konovalov V. I. Termodinamică tehnică. - Ivanovo: Ivan. stat energie un-t, 2005. - 620 p. — ISBN 5-89482-360-9 .
• Munster A. Termodinamică chimică / Per. cu el. sub. ed. membru corespondent Academia de Științe a URSS Ya. I. Gerasimova . - Ed. a II-a, șters. - M. : URSS, 2002. - 296 p. - ISBN 5-354-00217-6 .
• Parametri de stat  // Dicţionar Enciclopedic Chimic. - Enciclopedia Sovietică , 1983. - S. 423 . (Rusă)
• Parametri de stat  // Big Encyclopedic Dictionary . - Marea Enciclopedie Rusă , 1993. - S. 423 . (Rusă)
• Parametri de stat  // Big Encyclopedic Dictionary. Fizică. - Marea Enciclopedie Rusă , 1998. - S. 521 . (Rusă)
• Parametru de stat  // Noul Dicționar Politehnic. - Marea Enciclopedie Rusă , 2000. - S. 359 . (Rusă)
• Rudoy Yu. G. Parametri de stat  // Marea Enciclopedie Rusă . - Marea Enciclopedie Rusă , 2014. - T. 25 . - S. 307 . (Rusă)
• Termodinamica. Noțiuni de bază. Terminologie. Litere de desemnare a cantităților / Resp. ed. I. I. Novikov . - Academia de Științe a URSS . Comitetul de terminologie științifică și tehnică. Culegere de definiții. Problema. 103. - M .: Nauka , 1984. - 40 p.
• Khrustalev B.M., Nesenchuk A.P., Romanyuk V.N. Termodinamica tehnica. În 2 părți. Partea 1. - Minsk: Technoprint, 2004. - 487 p. — (Licență. Curs academic. Modul). — ISBN 985-464-547-9 .
• Huang K. Mecanica statistică . — M .: Mir , 1966. — 520 p.
• Tsirelman NM Termodinamică tehnică. - Sankt Petersburg. : Lan, 2018. - P. 352. - (Manuale pentru universități. Literatură specială). — ISBN 978-5-8114-03063-5 .