Sistemul de coordonate toroidale

Un sistem de coordonate toroidal este un sistem de coordonate ortogonal în spațiu ale cărui suprafețe de coordonate sunt tori, sfere și semiplane. Acest sistem de coordonate poate fi obținut prin rotirea unui sistem de coordonate bipolar bidimensional în jurul unei axe echidistante de focarele sistemului bipolar.

Definiție

Relația cu coordonatele carteziene

Sistemul de coordonate toroidale este definit prin formule pentru trecerea de la aceste coordonate la coordonatele carteziene : $(\alpha,\beta,\varphi)$

x={\frac {c\,\mathrm {sh} \,\alpha \cos \varphi }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta ))\quad \quad y={ \frac {c\,\mathrm {sh} \,\alpha \sin \varphi }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\quad \quad z={\frac {c\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}

unde este factorul de scară și raza cercului în care suprafața coordonatelor toroidale degenerează la . Limitele schimbării coordonatelor . Întorcându-se la infinit pe cercul specificat, tinde spre zero la infinit, precum și în orice punct al axei . Celelalte două coordonate sunt ciclice cu punct , de exemplu se poate alege $c>0$ $x^{2}+y^{2}=c^{2},z=0$ $\alpha =\alpha _{0}=\mathrm {const}$ $\alpha _{0}\rightarrow \infty$ $0\leqslant \alpha <\infty$ $x=0,\,y=0$ $2\pi$ $-\pi <\beta \leqslant \pi ,-\pi <\varphi \leqslant \pi$

Relația cu coordonatele cilindrice

Formule pentru trecerea de la coordonatele toroidale la coordonatele cilindrice : $(\alpha (z,r),\beta (z,r),\varphi )$ $(z,r,\varphi )$

r={\frac {c\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\quad \quad z={\frac {c \sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )).

Pentru transformarea inversă cu coordonate cilindrice cunoscute, punctele calculează valorile - distanța maximă și minimă de la punctul dat la cerc , prin care sunt apoi exprimate $(z,r,\varphi )$ $R_{\pm }={\sqrt {r^{2}+z^{2}\pm 2cr))$ $r=c,\,z=0$

\kappa ^{2}(\alpha )=1-e^{-2\alpha }={\frac {4rc}{R_{+}^{2}}},\qquad \kappa ^{\ prim }=e^{-\alpha }={\frac {R_{-}}{R_{+}}},\qquad \sin \beta ={\frac {2zc}{R_{-}R_{+} }}

Definiție alternativă

În literatura în limba rusă, coordonatele mai simple pot fi numite și toroidale , astfel încât: $(\rho,\beta,\varphi)$

z=\rho \,\mathrm {sin} \,\beta \quad r=c+\rho \,\mathrm {cos} \,\beta

(în literatura engleză, astfel de coordonate sunt numite engleză tubal , și nu engleză toroidal ). În acest caz, coordonatele ciclice se numesc unghiuri poloidale și, respectiv, toroidal. Pe lângă acești termeni , pe lângă acești termeni, termenul „axă magnetică” este folosit și pentru cercul pe care . În apropierea axei magnetice, coordonatele pentru ambele sisteme coincid aproximativ, iar coordonatele și sunt legate prin relația: . Pot fi introduse și coordonatele curbilinii de curgere [1] , în care suprafețele de coordonate sunt suprafețe magnetice topologic toroidale (pe care presiunea plasmei este constantă, iar componenta normală a câmpului magnetic este egală cu zero. În acest caz, analogul de variabilele sau coordonatele „flux” servesc doar ca suprafață magnetică „marker”, iar valoarea sa numerică este nesemnificativă. $\beta ,\,\varphi$ $r=c,\,z=0$ $\rho =0$ $\beta$ $\rho \equiv R_{-}$ $u$ $2\kappa ^{\prime }(u)\aprox \rho /c$ $\alfa$ $\rho$

Proprietăți

Suprafețe de coordonate

$\alpha =\mathrm {const}$ — tori

({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-c\,\mathrm {cth} \,\alpha )^{2}+z^{2}=\left({ \frac {c}{\mathrm {sh} \,\alpha }}\right)^{2}

$\beta =\mathrm {const}$ - sfere

(zc\,\mathrm {ctg} \,\beta )^{2}+x^{2}+y^{2}=\left({\frac {c}{\sin \beta )) \right)^{2}

$\varphi =\mathrm {const}$ - semiavioane

{\frac {x}{\cos \varphi }}={\frac {y}{\sin \varphi }}

Caracteristici diferențiale

Tensorul metric în coordonate toroidale are forma:

g_{ij}={\begin{pmatrix}{\frac {c^{2}}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}}&0&0\\ 0&{\frac {c^{2}}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}}&0\\0&0&{\frac {c^{2}\mathrm { sh} ^{2}\alpha }{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}}\end{pmatrix}},\quad g^{ij}={\begin {pmatrix}{\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}{c^{2}}}&0&0\\0&{\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}{c^{2}}}&0\\0&0&{\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2 }}{c^{2}\,\mathrm {sh} ^{2}\,\alpha }}\end{pmatrix}}.

Este diagonală deoarece sistemul de coordonate toroidal este ortogonal .

Pătrat element linie:

ds^{2}={\frac {c^{2}}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}}(d\alpha ^{2} +d\beta ^{2}+\mathrm {sh} ^{2}\alpha \,d\varphi ^{2})

Pătrat element de zonă:

dS^{2}={\frac {c^{4}}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{4}}}((d\alpha \,d \beta )^{2}+\mathrm {sh} ^{2}\alpha (d\alpha \,d\varphi )^{2}+\mathrm {sh} ^{2}\alpha (d\beta \ ,d\varphi )^{2})

Element de volum:

dV={\frac {c^{3}\mathrm {sh} \,\alpha }{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{3))}d\alpha \,d\beta \,d\varphi

Coeficienți lame :

h_{\alpha }=h_{\beta}={\frac {c}{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }),\quad h_{\varphi}={\frac {c\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta ))

Jacobian :

{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\alpha ,\beta ,\varphi )))={\frac {c^{3}\mathrm {sh} \,\ alfa }{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{3}}}

Simboluri Christoffel de al doilea fel:

\Gamma _{ij}^{1}={\begin{pmatrix}0&-{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta ))&0\ \-{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}&{\frac {\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \ ,\alpha -\cos \beta ))&0\\0&0&{\frac {\mathrm {sh} \,\alpha (\mathrm {ch} \,\alpha \cos \beta -1)}{\mathrm {ch } \,\alpha -\cos \beta }}\end{pmatrix}},

\Gamma _{ij}^{2}={\begin{pmatrix}{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta ))&-{\ frac {\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta ))&0\\-{\frac {\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta ))&0&0\\0&0&{\frac {\mathrm {sh} ^{2}\alpha \sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\ deoarece \beta }}\end{pmatrix}},

\Gamma _{ij}^{3}={\begin{pmatrix}0&0&-{\frac {1}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )\mathrm {sh} ^{2}\alpha }}\\0&0&-{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\\-{\frac {1}{(\ mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )\mathrm {sh} ^{2}\alpha }}&-{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\ ca \beta }}&0\end{pmatrix}}.

Forma operatorilor diferenţiali în coordonate toroidale

Gradientul unei funcții scalare în coordonate toroidale este dat de următoarea expresie:

\operatorname {grad} \,U(\alpha ,\;\beta,\;\varphi )={\frac {\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta {c))\ stânga({\frac {\partial U}{\partial \alpha }}{\vec {e}}_{\alpha }+{\frac {\partial U}{\partial \beta }}{\vec {e }}_{\beta }+{\frac {1}{\mathrm {sh} \,\alpha }}{\frac {\partial U}{\partial \varphi }}{\vec {e}}_{ \varphi }\dreapta).

Divergența câmpului vectorial :

\\operatorname {div} \mathbf {F} ={\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}{c^{2}\,\mathrm {sh} \,\alpha }}\left({\frac {\partial F_{\alpha }}{\partial \alpha }}+{\frac {\partial F_{\beta }}{\partial \beta } }+\,\mathrm {sh} \,\alpha {\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)-{\frac {\mathrm {ch} \,\alpha - \cos \beta }{c^{2}\,\mathrm {sh} \,\alpha }}(F_{\alpha }\,\mathrm {sh} \,\alpha -F_{\beta }\sin \ beta)

operator Laplace :

\Delta u={\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{3}}{c^{2}\,\mathrm {sh} \,\alpha } }\left({\frac {\partial }{\partial \alpha ))\left({\frac {\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )){\frac {\partial u}{\partial \alpha }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \beta }}\left({\frac {\,\mathrm {sh } \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}{\frac {\partial u}{\partial \beta }}\right)+{\frac {1}{( \mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )\,\mathrm {sh} \,\alpha }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}} }\dreapta)

Ecuații diferențiale în coordonate toroidale

Ecuația Laplace în coordonate toroidale are forma:

\left({\frac {\partial }{\partial \alpha ))\left({\frac {\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha - \cos \beta }}{\frac {\partial u}{\partial \alpha }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \beta }}\left({\frac {\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}{\frac {\partial u}{\partial \beta }}\right)+{\frac {1} {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )\,\mathrm {sh} \,\alpha }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2 }}}\dreapta)=0

Soluția este căutată în mod convenabil sub forma:

u=v{\sqrt {2\mathrm {ch} \alpha -2\cos \beta ))

atunci ecuația funcției este: $v$

v_{\alpha \alpha }+v_{\beta \beta }+v_{\alpha }\mathrm {cth} \,\alpha +{\frac {1}{4}}v+{\frac {1 }{\mathrm {sh} ^{2}\alpha }}v_{\varphi \varphi }=0

Apoi puteți separa variabilele:

v=A(\alpha)B(\beta)\Phi (\varphi)

Rezultatul este un sistem:

{\begin{cases}A''+\,\mathrm {cth} \,\alpha \,A'+\left({\frac {1}{4))-{\frac {k_{\ varphi }^{2}}{\mathrm {sh} ^{2}\alpha }}-k_{\beta }^{2}\right)A=0\\B''+k_{\beta }^{ 2}B=0\\\Phi ''+k_{\varphi }^{2}\Phi =0\end{cases}}

În cazul ecuației Helmholtz în coordonate toroidale, variabilele nu se împart.

Note

↑ Shafr98, 1998 .

Literatură

Korn G., Korn T. Capitolul 6. Sisteme de coordonate curbilinie. 6.5 Formule pentru sisteme de coordonate ortogonale // Manual de matematică (pentru oameni de știință și ingineri). - M. : Nauka, 1973. - S. 195. - 832 p.
Mors F. M., Feshbakh G. Capitolul 5. Ecuații diferențiale ordinare. Tabel de coordonate de separare pentru trei dimensiuni // Metode de fizică teoretică. - M . : Editura de literatură străină, 1958. - T. 1. - S. 622. - 930 p.
Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Partea a IV-a. Formule, tabele, grafice. IV. Diverse sisteme de coordonate ortogonale // Ecuații de fizică matematică. - Ed. a VII-a. - M . : Editura Universității de Stat din Moscova; Știință, 2004. - S. 732-733. — 798 p. — ISBN 5-211-04843-1 .

V. D. Shafranov . Sisteme toroidale // Enciclopedia fizică / Cap. ed. A. M. Prohorov . - M . : Marea Enciclopedie Rusă , 1998. - V. 5: Dispozitive stroboscopice - Luminozitate. — 760 p. — ISBN 5-85270-101-7 .

Link -uri

Weisstein, Eric W. Coordonate toroidale (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .

Sisteme de coordonate
Numele coordonatelor	Abscisă Ordonată Aplicație
Tipuri de sisteme de coordonate	Sistem de coordonate rectiliniu Sistem de coordonate curbiliniu
Coordonate 2D	Coordonate biunghiulare Coordonate bicentrice Coordonate hiperbolice Coordonate polare Coordonate bipolare Coordonate parabolice Coordonate eliptice Coordonate tetraciclice Coordonate triliniare
Coordonatele 3D	Coordonate cilindrice Coordonate sferice Coordonatele bisferice Coordonatele toroidale Coordonate parabolice cilindrice Coordonate bicilindrice Coordonate elipsoidale Coordonate conice Coordonatele pentasferice Sistemul de coordonate dipolar
$n$ -coordonate dimensionale	coordonate carteziene Coordonate afine Coordonate proiective Coordonatele Plücker coordonate baricentrice
Coordonatele fizice	Coordonatele Rindler Coordonate născute Sistemul de coordonate ceresc Coordonatele geografice Sistemul de coordonate ortodomic principal
Definiții înrudite	Metoda coordonatelor Origine Axa de coordonate Vector Orth sistem de referință Benchmark Coeficienți lame Tensor metric