Grupurile de simetrie ale căror operații lasă cel puțin un punct în spațiu în loc se numesc grupuri de simetrie punctuală . Exemple tipice de grupuri de puncte sunt grupul de rotație, grupul de transformare liniară , simetria în oglindă . Noțiunea de grup de puncte este generalizată și la spațiul euclidian al oricărei dimensiuni. Adică, acesta este un grup de transformări care nu modifică distanța dintre punctele spațiului n - dimensional și, în același timp, lasă cel puțin un punct fix. Ultima condiție distinge grupurile de puncte de grupurile spațiale, care, de asemenea, nu modifică distanța dintre puncte, ci deplasează toate punctele în spațiu. Grupurile de puncte descriu simetria obiectelor spațiale finite, în timp ce grupurile spațiale le descriu pe cele infinite.
În spațiul tridimensional, elementele grupurilor de puncte pot fi rotații , reflexii și compozițiile lor. Toate grupurile de puncte sunt subgrupuri ale grupului ortogonal . Toate grupurile de puncte tridimensionale care conțin numai rotații sunt subgrupuri ale grupului de rotație .
Numărul de grupuri de puncte posibile este infinit, dar ele pot fi împărțite în mai multe familii . Un caz special de grupuri de puncte sunt grupurile de puncte cristalografice , care descriu posibila simetrie a formei exterioare a cristalelor (și pentru spațiul n - dimensional, obiectele periodice n-dimensionale) . Numărul lor este finit în spații de orice dimensiune, deoarece prezența unei rețele cristaline impune o restricție asupra posibilelor unghiuri de rotație.