Ecuația Bethe-Salpeter

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 24 aprilie 2021; verificările necesită 2 modificări .

Ecuația Bethe-Salpeter , numită după H. Bethe și E. Salpeter , descrie stările legate ale unui sistem de câmp cuantic cu două particule într-o formă relativistic covariantă . Ecuația a fost publicată pentru prima dată în 1950 , la sfârșitul unei lucrări de Yoichiro Nambu , dar fără o derivație. [unu]

Forma integrală a ecuației Bethe-Salpeter

Principala metodă de rezolvare a problemelor cu interacțiune este, fără îndoială, teoria perturbațiilor, dar aceasta este departe de a fi singura metodă. Există așa-numitele metode non-perturbative, iar una dintre ele duce la ecuația Bethe-Salpeter. Se consideră un sistem de doi fermioni cuplati . Într-o teorie liberă, după cum se știe, pentru o funcție de undă cu o singură particule (unde este indicele spinor ) propagatorul este definit după cum urmează: $\psi _{a}$ $A$

\psi (x_{2})=-i\int {d\sigma {(x_{1})}S_{F}{(x_{2},x_{1})}n\!\! \!/(x_{1})\psi (x_{1})}

Aici folosim o notație folosind „matrice tăiate” , - 4-vector al normalului extern . Integrarea se realizează pe suprafața volumului, care include evenimentul , . Propagator Feynman. În cazul particulelor care nu interacționează, este definită ca soluția următoarei ecuații [2] : $n(x_{1})$ $x_{2)$ $S_{F}$

(i\nabla \!\!\!/'-m_{0})S_{F}=\delta ^{4}(x'-x)\qquad (1)

În mod similar cu propagatorul pentru funcția de undă cu o particulă , se poate defini propagatorul pentru funcția de undă cu două particule prin următoarea expresie:

\psi _{ab}(x_{3},x_{4})=\int {d\sigma {(x_{1})}d\sigma {(x_{2})}S^{ab }{(x_{3},x_{1}x_{4},x_{2})}n\!\!\!/(x_{1})n\!\!\!/(x_{2} )\psi _{ab}(x_{1},x_{2})}\qquad (2)

Iată un spinor cu doi indici spinori . În cazul particulelor care nu interacționează, funcția de undă cu două particule se dezintegra în produsul celor cu o singură particule, iar propagatorul în produsul propagatorilor: $\psi _{ab)$ $a,b$

S^{0ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})=iS_{F}^{a}(x_{3},x_{1})S_ {F}^{b}(x_{4},x_{2})

Cu toate acestea, acesta este cel mai banal caz. Acum să „activăm” interacțiunea electromagnetică dintre două particule. Dacă am urma ideologia teoriei perturbației, atunci am obține, urmând Feynman , este reprezentat ca: $S^{ab)$

S^{ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})=iS_{F}^{a}(x_{3},x_{1})S_ {F}^{b}(x_{4},x_{2})+\Sigma

Prin se înțelege suma tuturor diagramelor posibile obținute din teoria perturbațiilor. Ideea principală care duce la ecuație este că notăm întreaga sumă a diagramelor ca un anumit nucleu . Vom numi o diagramă reductibilă dacă, după îndepărtarea a două linii fermionice, aceasta devine deconectată. Apoi poate fi reprezentat ca suma a două contribuții: contribuția diagramelor reductibile și contribuția diagramelor ireductibile . Se poate arăta [3] că expresia for poate fi rescrisă ca: $\Sigma$ $K$ $K$ ${\overline {K}}$ $S^{ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})$

S^{ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})=iS_{F}^{a}(x_{3},x_{1})S_ {F}^{b}(x_{4},x_{2})+\int {d^{4}x_{5}d^{4}x_{6}d^{4}x_{7}d ^{4}x_{8}\cdot iS_{F}^{a}(x_{3},x_{5})iS_{F}^{b}(x_{4},x_{6}){\ supraliniază {K}}^{ab}(x_{5},x_{6};x_{7},x_{8})S^{ab}(x_{7},x_{8};x_{1} ,x_{2})}

Înlocuind această expresie în obținem ecuația Bethe-Salpeter: $(2)$

\psi _{ab}(x_{1},x_{2})=\varphi _{ab}(x_{1},x_{2})+\int {d^{4}x_{3 }d^{4}x_{4}d^{4}x_{5}d^{4}x_{6}\cdot iS_{F}^{a}(x_{1},x_{5})iS_ {F}^{b}(x_{2},x_{6}){\overline {K}}^{ab}(x_{5},x_{6};x_{3},x_{4}) \psi _{ab}(x_{3},x_{4})}\qquad (3)

În această expresie , este o funcție de undă liberă cu două particule, adică o funcție de undă în absența interacțiunii dintre particule. Astfel, am obținut ecuația integrală Fredholm de al doilea fel . $\varphi _{ab)$

Forma integrală-diferențială a ecuației Bethe-Salpeter. Scrierea în p-space

Să acţionăm acum asupra ecuaţiei Bethe-Salpeter prin operatorii , în forţă obţinem următoarea expresie: $(i\nabla \!\!\!/_{1}-m_{a}),(i\nabla \!\!\!/_{2}-m_{b})$ $(1)$

(i\nabla \!\!\!/_{1}-m_{a})(i\nabla \!\!\!/_{2}-m_{b})\psi _{ab }(x_{1},x_{2})=-\int {d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}{\overline {K))^{ab}(x_{1 },x_{2};x_{3},x_{4})\psi _{ab}(x_{3},x_{4})}

În consecință, în loc de o ecuație integrală de tip Fredholm, obținem o ecuație integro-diferențială pentru o funcție de undă cu două particule . O altă modalitate posibilă de a scrie ecuația Bethe-Salpeter este să o scriem în spațiul de impuls, și anume, definim transformata Fourier a unei funcții de undă cu două particule după cum urmează: $\psi _{ab}(x_{1},x_{2})$ $\psi _{ab}(x_{1},x_{2})$

\chi _{ab}(p_{1},p_{2})={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d^{4}x_{1 }d^{4}x_{2}\cdot e^{i(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})}\psi _{ab}{(x_{1},x_ {2})}}

Transformarea Fourier a ecuației Bethe-Salpeter în sine este scrisă după cum urmează:

{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}e^{i(p_{1 }x_{1}+p_{2}x_{2})}(i\nabla \!\!\!/_{1}-m_{a})(i\nabla \!\!\!/_{ 2}-m_{b})\psi _{ab}(x_{1},x_{2})}=-{\frac {1}{(2\pi )^{4))}\int {d ^{4}x_{1}d^{4}x_{2}d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}e^{i(p_{1}x_{1}+p_ {2}x_{2})}{\overline {K}}^{ab}(x_{1},x_{2};x_{3},x_{4})\psi _{ab}(x_{ 3},x_{4})}

În partea stângă, puteți duce gradienții la exponent folosind integrarea pe părți . Adăugăm și două funcții delta în partea dreaptă. Primim:

{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}\left[(i\nabla \ !\!\!/_{1}-m_{a})(i\nabla \!\!\!/_{2}-m_{b})e^{i(p_{1}x_{1} +p_{2}x_{2})}\right]\psi _{ab}(x_{1},x_{2})}=

=-{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}d^{4}x_ {3}d^{4}x_{4}d^{4}x'_{3}d^{4}x'_{4}e^{i(p_{1}x_{1}+p_{ 2}x_{2})}\delta ^{4}(x'_{3}-x_{3})\delta ^{4}(x'_{4}-x_{4}){\overline { K}}^{ab}(x_{1},x_{2};x'_{3},x'_{4})\psi _{ab}(x_{3},x_{4})}

Folosind reprezentarea impulsurilor funcțiilor delta cu variabile amorsate, putem rescrie nucleul în reprezentarea impulsului, și anume: ${\overline {K}}^{ab}$

{\overline {K}}^{ab}(p_{1},p_{2};p_{3},p_{4})={\frac {1}{(2\pi )^{ 8}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}e^{i(p_{ 1}x_{1}+p_{2}x_{2}-p_{3}x_{3}-p_{4}x_{4})}{\overline {K}}^{ab}(x_{1 },x_{2};x_{3},x_{4})}

Folosind aceasta, obținem ecuația Bethe-Salpeter sub formă de impuls:

({\cancel {p}}_{1}-m_{a})({\cancel {p}}_{2}-m_{b})\chi _{ab}(p_{1} ,p_{2})=-\int {d^{4}p'_{1}d^{4}p'_{2}{\overline {K}}^{ab}(p_{1}, p_{2};p'_{1},p'_{2})\chi _{ab}(p'_{1},p'_{2})}

Alte reprezentari

Datorită generalității sale și a faptului că este folosită în multe ramuri ale fizicii teoretice , ecuația Bethe-Salpeter poate fi găsită sub diferite forme. O formă adesea folosită în fizica energiei înalte este:

\Gamma (P,p)=\int \!{\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4)}}\;K(P,p,k)\, S(k-{\tfrac {P}{2}})\,\Gamma (P,k)\,S(k+{\tfrac {P}{2}})

unde este amplitudinea Bethe-Salpeter , descrie interacțiunea a două particule și este propagatorul lor . $\gamma$ $K$ $S$

Deoarece această ecuație poate fi obținută prin identificarea stărilor legate cu polii matricei S , ea poate fi legată de descrierea cuantică a proceselor de împrăștiere și a funcțiilor lui Green .

Chiar și pentru sisteme simple, cum ar fi pozitroniul , ecuația nu poate fi rezolvată exact, deși în principiu este enunțată exact. Din fericire, clasificarea stărilor se poate face fără a folosi o soluție exactă. Dacă o particulă este mult mai masivă decât cealaltă, atunci sarcina este mult simplificată și, în acest caz , ecuația Dirac este rezolvată pentru o particulă ușoară situată într-un potențial extern creat de o particulă grea.

Note

↑ Y. Nambu. Potențialele de forță în teoria câmpului cuantic // Progresul fizicii teoretice. - 1950. - Vol. 5 , nr. 4 . - doi : 10.1143/PTP.5.614 .
↑ Walter Greiner, Joachim Reinhardt. Cromodinamica cuantică . — al 3-lea. - Springer, 2007. - S. 46 -47. — 475 p.
↑ Walter Greiner, Joachim Reinhardt. Cromodinamica cuantică. — Springer. - S. 347-348. — 475 p.

Literatură

W. Greiner , J. Reinhardt. Electrodinamică cuantică. — al 3-lea. - Springer (editor), 2003. - ISBN 978-3-540-44029-1 .
N. Nakanishi. Un studiu general al teoriei ecuației Bethe-Salpeter (engleză) // Progresul fizicii teoretice. - 1969. - Vol. 43 . — P. 1–81 . - doi : 10.1143/PTPS.43.1 .
N.N. Bogolyubov, D.V. Shirkov, Introducere în teoria câmpurilor cuantizate, 1973