Ecuația Hamilton-Jacobi

În fizică și matematică , ecuația Hamilton - Jacobi este o ecuație de forma

H\left(q_{1},\dots,q_{n};{\frac {\partial S}{\partial q_{1)}},\dots,{\frac {\partial S}{ \partial q_{n}}};t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.

Aici S denotă acțiunea clasică , este Hamiltonianul clasic și sunt coordonate generalizate. $H(q_{1},\dots,q_{n};p_{1},\dots,p_{n};t)$ $q_{i}$

Direct legat de mecanica clasică (non-cuantică), totuși, este foarte potrivit pentru stabilirea unei legături între mecanica clasică și mecanica cuantică , deoarece poate fi, de exemplu, obținut aproape direct din ecuația Schrödinger în aproximarea unei oscilații rapide. funcția de undă (frecvențe mari și numere de undă).

În mecanica clasică, de obicei apare dintr-o transformare canonică specială a hamiltonianului clasic , care duce la această ecuație diferențială neliniară de ordinul întâi, a cărei soluție descrie comportamentul unui sistem dinamic.

Ecuația Hamilton-Jacobi ar trebui să fie distinsă de ecuațiile de mișcare ale lui Hamilton și Euler-Lagrange . Deși această ecuație este derivată din ele, este o singură ecuație care descrie dinamica unui sistem mecanic cu orice număr de grade de libertate s , spre deosebire de ecuațiile 2 s Hamilton și ecuațiile s Euler-Lagrange.

Ecuația Hamilton-Jacobi ajută la rezolvarea elegantă a problemei Kepler .

Conversie canonică

Ecuația Hamilton-Jacobi decurge imediat din faptul că pentru orice funcție generatoare (neglijând indicii) ecuațiile de mișcare iau aceeași formă pentru și sub următoarea transformare: $S(q,p',t)$ $H(q,p,t)$ $H'(q',p',t)$

(1)\quad {\frac {\partial S}{\partial q}}=p,\quad {\frac {\partial S}{\partial p'}}=q',\quad H' =H+{\frac {\partial S}{\partial t)).

Noile ecuații ale mișcării devin

(2)\quad {\frac {\partial H'}{\partial q'}}=-{\frac {dp'}{dt)),\quad {\frac {\partial H'}{ \partial p'}}={\frac {dq'}{dt}}.

Ecuația Hamilton-Jacobi reiese dintr-o funcție generatoare specifică S care face Hʹ identic cu zero. În acest caz, toate derivatele sale dispar și

(3)\quad {\frac {dp'}{dt))={\frac {dq'}{dt))=0.

Astfel, într-un sistem de coordonate amorsat, sistemul este perfect staționar în spațiul fazelor . Cu toate acestea, nu am determinat încă prin ce funcție generatoare S se realizează transformarea în sistemul de coordonate amorsat. Folosim faptul că

H'(q',p',t)=H(q,p,t)+{\frac {\partial S}{\partial t))=0.

Deoarece ecuația (1) dă , putem scrie $p=\partial S/\partial q,$

H\stanga(q,{\frac {\partial S}{\partial q)),t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t))=0,

care este ecuația Hamilton-Jacobi.

Soluție

Ecuația Hamilton–Jacobi este adesea rezolvată prin separarea variabilelor . Lasă unele coordonate (pentru claritate, vom vorbi despre ) și impulsul corespunzător acesteia să intre în ecuație sub forma $q_{1}$ ${\frac {\partial S}{\partial q_{1))}$

{\frac {\partial S}{\partial t)}+H\left(f_{1}\left(q_{1}, {\frac {\partial S}{\partial q_{1)} }\right),q_{2},\dots ,q_{n},{\frac {\partial S}{\partial q_{2))},\dots ,{\frac {\partial S}{\partial q_{n}}}\right)=0.

Apoi poți pune

f_{1}\left(q_{1},{\frac {\partial S}{\partial q_{1))}\right)=\alpha _{1},

{\frac {\partial S}{\partial q_{1)}}=g_{1}(q_{1},\alpha _{1}),

unde este o constantă arbitrară, este funcția inversă și rezolvă ecuația Hamilton-Jacobi cu mai puține variabile. Dacă procesul poate fi continuat în toate variabilele, atunci soluția ecuației va lua forma $\alpha_{1}$ $g_{1}$

S=-\int H(\alpha _{1},\dots,\alpha _{n})\,dt+\int g_{1}(q_{1},\alpha _{1})\ ,dq_{1}+\int g_{2}(q_{2},\alpha _{1},\alpha _{2})\,dq_{2}+\ldots +\int g_{n}(q_ {n},\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\,dq_{n}+k,

unde sunt constante arbitrare, este constanta de integrare. Amintiți-vă că în acest caz este o funcție a punctului final . Deoarece acțiunea definește transformarea canonică a sistemului hamiltonian, derivatele sale în raport cu coordonatele sunt momente în noul sistem de coordonate, deci trebuie păstrate: $\alpha_i$ $k$ $S$ $(q_{1},\dots,q_{n})$

\beta _{i}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{i)}}(\mathbf {q},\alpha _{1},\dots,\alpha _{ n},t).

Împreună cu ecuațiile de impuls, aceasta determină mișcarea sistemului.

De asemenea, dacă într-un sistem holonomic cu grade de are formaenergia potențialășiare formacineticăenergialibertate [1] . $s$ $T={\frac {1}{2}}f\sum _{m=1}^{s}A_{m}({\dot {q}}_{m}^{2}),$ $\Pi ={\frac {1}{f}}f\sum _{m=1}^{s}\Pi _{m}(q_{m}),$ $f=\sum _{m=1}^{s}F_{m}(q_{m}),$

Vezi și

Note

↑ Butenin, 1971 , p. 167.

Literatură

Articol din Enciclopedia fizică
Gantmakher F. R. Prelegeri de mecanică analitică . Ediția a II-a - M. : Nauka, 1966.
Dobronravov VV Fundamentele mecanicii analitice . - M .: Liceu, 1976.
Landau L. D., Lifshitz E. M. Mecanica. - Ediția a 5-a, stereotip. — M .: Fizmatlit , 2004 . — 224 p. — („Fizica teoretică”, volumul I). - ISBN 5-9221-0055-6 .
Lanczos K. Principii variaţionale ale mecanicii . — M.: Fizmatgiz. 1965.
Leach JW mecanică clasică . - M .: Străin. literatură, 1961.
Pavlenko Yu. G. Prelegeri de mecanică teoretică. — M.: FIZMATLIT, 2002. — 392 p.
Pars L. A. Dinamica analitică . — M.: Nauka, 1971.
Butenin NV Introducere în mecanica analitică. - M. : Nauka, 1971. - 264 p.