Ecuația lui Dirac pentru grafen

Cvasiparticulele din grafen au o lege de dispersie liniară în apropierea punctelor Dirac și proprietățile lor sunt complet descrise de ecuația Dirac [1] . Punctele Dirac în sine sunt la marginile zonei Brillouin , unde electronii au un vector de undă mare. Dacă neglijăm procesele de transfer între văi, atunci acest vector mare nu afectează în niciun fel transportul în aproximarea cu energie scăzută, astfel încât vectorul de undă care apare în ecuația Dirac este numărat din punctele Dirac și ecuația Dirac este scrisă pentru diferite văi separat.

Concluzie

Structura benzii

Dacă luăm în considerare doar contribuția celor mai apropiați vecini la formarea benzilor de energie , atunci Hamiltonianul în aproximarea cu legare puternică pentru o rețea cristalină hexagonală ia forma

H=-t\sum _{{i\in \Lambda _{A}}}\sum _{{j=1}}^{3}a^{{\dagger }}({\textbf {r}} _{i})b({\textbf {r}}_{i}+{\textbf {u}}_{j})-t\sum _{{i\in \Lambda _{B}}}\ suma _{{j=1}}^{3}b^{{\dagger }}({\textbf {r}}_{i})a({\textbf {r}}_{i}+{\ textbf {v}}_{j}),\qquad (1.1)

unde este integrala de suprapunere între funcțiile de undă ale celor mai apropiati vecini, care determină și probabilitatea unei tranziții („salt”) între atomii învecinați (atomi din subrețele diferite), operatorii de creare și operatorii care acționează asupra subrețelelor triunghiulare ale cristalului şi respectiv, şi sunt operatorii de anihilare . Ele satisfac relațiile obișnuite de anticomutație pentru fermioni : $t$ $a^{{\dagger }}({\textbf {r}}_{i})$ $b^{{\dagger }}({\textbf {r}}_{i})$ $\Lambda _{A}$ $\Lambda _{B}$ $a({\textbf {r}}_{i})$ $b({\textbf {r}}_{i})$

[a({\textbf {r}}_{i}),a^{{\pumnal }}({\textbf {r}}_{{i^{{'}}})]_{{+ }}=[b({\textbf {r}}_{i}),b^{{\dagger }}({\textbf {r}}_{{i^{{'}}}})]_ {{+}}=\delta _{{ii^{{'}}}}.\qquad (1.2)

Cei șase vectori și indică cele mai apropiate noduri din atomul central selectat și sunt date de relații ${\textbf {u}}_{i}$ ${\textbf {v}}_{i}$

{\textbf {u}}_{1}=(-d,0),\,{\textbf {u}}_{2}=\left({\frac {1}{2}}d,{\ frac {{\sqrt {3}}}{2}}d\right),\,{\textbf {u}}_{3}=\left({\frac {1}{2}}d,-{ \frac {{\sqrt {3}}}{2}}d\dreapta),\qquad (1,3)

{\textbf {v}}_{1}=(d,0),\,{\textbf {v}}_{2}=\left(-{\frac {1}{2}}d,-{ \frac {{\sqrt {3}}}{2}}d\right),\,{\textbf {v}}_{3}=\left(-{\frac {1}{2}}d, {\frac {{\sqrt {3}}}{2}}d\dreapta).\qquad (1.4)

Transformarea Fourier a operatorilor de creare și anihilare

a({\textbf {r}}_{i})=\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}e^ {{i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}}}{\tilde {a}}({\textbf {k}}),b({\textbf {r}}_ {i})=\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}e^{{i{\textbf {k}} {\textbf {r}}_{i}}}{\tilde {b}}({\textbf {k}}),\qquad (1,5)

unde integrarea peste vectori de undă se realizează din prima zonă Brillouin , ne permite să scriem Hamiltonianul sub forma

H=\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}{\tilde {\psi }}^{{\dagger }} ({\textbf {k))){\tilde {H}}{\tilde {\psi }}({\textbf {k}}),\qquad (1,6)

unde sunt acceptate următoarele denumiri:

{\tilde {\psi }}({\textbf {k}})=\left({\tilde {a}}({\textbf {k}}),{\tilde {b}}({\textbf { k)))\right)^{{T)),\,{\tilde {\psi }}^{{\dagger }}({\textbf {k}})=\left({\tilde {a} }^{{\dagger }}({\textbf {k}}),{\tilde {b}}^{{\dagger }}({\textbf {k}})\right),\qquad (1.7)

și

{\tilde {H}}=\left({\begin{array}{cc}0&-t\sum _{{j=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}{ \textbf {u}}_{j}}}\\-t\sum _{{j=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}{\textbf {v}}_ {j}}}&0\\\end{array}}\right).\qquad (1.8)

Expresia (1.6) poate fi obținută prin înlocuirea (1.5) în (1.1). Luați în considerare suma

\sum _{{i\in \Lambda _{A}}}\sum _{{j=1}}^{3}a^{{\dagger }}({\textbf {r}}_{i} )b({\textbf {r}}_{i}+{\textbf {u}}_{j}),\qquad (1.9)

care, folosind relaţiile (1.5), se poate scrie ca

\sum _{{i\in \Lambda _{A}}}\sum _{{j=1}}^{3}\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k }{(2\pi )^{2))}e^{{-i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}}}{\tilde {a\dagger }}({ \textbf {k)))\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k^{{'}}}{(2\pi )^{2}}}e^{{ i{\textbf {k}}^{{'}}({\textbf {r}}_{i}+{\textbf {u}}_{j}})}}{\tilde {b}}( { \textbf {k}}^{{'}}),\qquad (1.10)

\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}{\tilde {a\dagger }}({\textbf {k}} )\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k^{{'}}}{(2\pi )^{2}}}\sum _{{i\in \Lambda _{A))}e^{{-i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}+i{\textbf {k}}^{{'}}{\textbf {r }}_{i}}}\sum _{{j=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}^{{'}}{\textbf {u}}_{j ))}{\tilde {b}}({\textbf {k}}^{{'}}).\qquad (1.11)

Folosind raportul

\sum _{{i\in \Lambda _{A}}}e^{{-i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}+i{\textbf {k}}^ {{'}}{\textbf {r}}_{i}}}=(2\pi )^{2}\delta \left({\textbf {k}}^{{'}}-{\textbf {k}}\dreapta),\qquad (1.12)

obţinem după integrare peste expresie ${\textbf {k}}^{{'}}$

\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}{\tilde {a\dagger }}({\textbf {k}} )\sum _{{j=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}{\textbf {u}}_{j}}}{\tilde {b}}({\ textbf {k}}).\qquad (1.13)

O transformare similară a celei de-a doua sume în Hamiltonianul (1.1) conduce la rezultatul dorit (1.6).

Valorile proprii ale Hamiltonianului (1.8) iau valorile

E=\pm t{\sqrt {\sum _{{j=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}{\textbf {u}}_{j}}}\sum _{{j^{{'}}=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}{\textbf {v}}_{{j^{{'}}}}} }}}=\pm t{\sqrt {\left(e^{{-ik_{x}d}}+2e^{{ik_{x}d/2}}\cos {{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}dk_{y}}\right)\left(e^{{ik_{x}d}}+2e^{{-ik_{x}d/2}}\cos {{ \frac {{\sqrt {3}}}{2}}dk_{y}}\right)}}=

\pm t{\sqrt {\left(1+2e^{{i3k_{x}d/2}}\cos {{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}dk_{y}}\ dreapta)\left(1+2e^{{-i3k_{x}d/2}}\cos {{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}dk_{y}}\right))) =\pm t{\sqrt {1+4\cos \left({\frac {{\sqrt {3}}}{2}}k_{y}d\right)\left[\cos \left({\ frac {3}{2}}k_{x}d\right)+\cos \left({\frac {{\sqrt {3}}}{2}}k_{y}d\right)\right]} },\qquad (1.14)

care determină structura benzii a grafenului. [2]

Aproximare cu energie scăzută

Zonele (1.14) cu energie pozitivă ( electroni ) și energie negativă ( găuri ) se ating în șase puncte, numite puncte Dirac, deoarece în apropierea acestora spectrul de energie capătă o dependență liniară de vectorul de undă. Coordonatele acestor puncte sunt

\left(0,{\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right),\,\left(0,-{\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\dreapta),\,\left({\frac {2\pi }{3d)),{\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\ dreapta),\,\left({\frac {2\pi }{3d)),-{\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\dreapta),\,\left (-{\frac {2\pi }{3d)),{\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\dreapta),\,\left(-{\frac {2 \pi }{3d)),{\frac {-2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right).\qquad (2.1)

Se pot alege două văi independente astfel încât vârfurile benzilor de valență să fie la punctele Dirac cu coordonate

{\textbf {K}}^{{\pm }}=\left(0,\pm {\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right).\qquad (2.2 )

Se consideră elementul off-diagonal al hamiltonianului (1.8). Să o extindem în apropierea punctelor Dirac (2.2) în ceea ce privește parametrul mic d ${\tilde {H}}_{{12}}$

\lim _{{d\rightarrow 0}}d^{{-1}}{\tilde {H}}_{{12}}|_{{{\textbf {k}}={\textbf {K} }^{{\pm }}+{\boldsymbol {\kappa }}}}=-t\lim _{{d\rightarrow 0}}d^{{-1}}\left(e^{{-i \kappa _{x}d}}+2e^{{i\kappa _{x}d/2}}\cos {{\frac {{\sqrt {3}}d}{2}}}\left( \pm {\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}+\kappa _{y}\right)\right)={\frac {3t}{2}}(i\kappa _{x}\pm \kappa _{y}).\qquad (2.3)

Pentru , expansiunea se calculează în mod similar și, ca rezultat, putem scrie Hamiltonianul pentru cvasiparticule în apropierea punctelor Dirac sub forma ${\tilde {H}}_{{21}}$

\left({\begin{array}{cc}H^{{+}}&0\\0&H^{{-}}\\\end{array}}\right)=\hbar v_{F}(\alpha ^{1}\kappa _{x}+\alpha ^{2}\kappa _{y}),\qquad (2.4)

unde este viteza fermi si $v_{F}=3td\hbar ^{{-1}}/2$

\alpha ^{1}=-\left({\begin{array}{cc}\sigma ^{2}&0\\0&\sigma ^{2}\\\end{array}}\right),\, \alpha ^{2}=\left({\begin{array}{cc}\sigma ^{1}&0\\0&-\sigma ^{1}\\\end{array}}\right).\qquad (2,5)

Iata si sunt matrice Pauli . $\sigma ^{1}$ $\sigma ^{2}$

Dacă trecem acum la reprezentarea în coordonate făcând transformata Fourier a hamiltonianului (2.4), atunci ajungem la hamiltonianul din ecuația de Dirac pentru cvasiparticule din grafen.

H=-i\hbar v_{F}(\alpha ^{1}\partial _{x}+\alpha ^{2}\partial _{y}).\qquad (2.6)

Soluția ecuației Dirac pentru grafen va fi o coloană cu patru componente a formei $H\psi =E\psi$

\psi =(\psi _{A}^{{+}},\psi _{B}^{{+}},\psi _{A}^{{-}},\psi _{B}^ {{-}})^{{T}},\qquad (2.7)

unde indicii și corespund la două subrețele ale cristalului, iar semnele „+” și „-” denotă puncte Dirac neechivalente în spațiul k. [2] $A$ $B$

Rotirea arbitrară a sistemului de coordonate

Deoarece legea dispersiei nu ar trebui să depindă în aproximarea cu energie scăzută de orientarea rețelei cristaline în raport cu sistemul de coordonate, iar ecuația Dirac pentru grafen nu are această proprietate, se pune întrebarea despre forma generală a ecuației Dirac atunci când sistemul de coordonate este rotit. Este clar că singura diferență dintre ecuațiile Dirac dintr-un sistem de coordonate dat și un sistem de coordonate rotit cu un unghi , cu condiția ca legea de dispersie să fie păstrată, este adăugarea factorilor de fază. Calculele conduc la un Hamiltonian pentru particulele libere de forma [3] $\alfa$

H_{{\pm }}=-i\hbar v\left({\begin{array}{cc}0&e^{{\pm i\alpha }}(i\partial _{x}\pm \partial _{ y})\\e^{{\mp i\alpha }}(-i\partial _{x}\pm \partial _{y})&0\\\end{array}}\right),\qquad ( 3.1)

din care puteți obține toate ecuațiile care sunt folosite în literatură (sub rezerva alegerii K puncte opuse).

În literatură, există un hamiltonian sub forma [4]

H_{{\pm }}=-i\hbar v\left({\begin{array}{cc}0&\pm \partial _{x}-i\partial _{y}\\\pm \partial _{ x}+i\partial _{y}&0\\\end{array}}\right),\qquad (3.2)

care se obţine din (3.1) dacă luăm unghiul . $\alpha =-\pi /2$

Rezolvarea ecuației lui Dirac

Luați în considerare hamiltonianul pentru o vale

H_{{+}}=-i\hbar v{\begin{pmatrix}0&i{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\\-i {\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}&0\end{pmatrix}}.\qquad (4.1)

Funcția de undă este reprezentată ca un spinor format din două componente

\Psi ={\begin{pmatrix}\phi \\\chi \end{pmatrix}}.\qquad (4.2)

Această funcție satisface următoarea ecuație pentru particulele libere

\left\{{\begin{matrix}-i\hbar v\left(i{\frac {\partial \chi }{\partial x))+{\frac {\partial \chi }{\partial \chi }) \right)=E\phi &\\-i\hbar v\left(-i{\frac {\partial \phi }{\partial x))+{\frac {\partial \phi }{\partial y} }\right)=E\chi &\end{matrice}}\right.\qquad (4.3)

Înlocuind a doua ecuație în prima, obținem ecuația de undă

{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2))}=-{ \frac {E^{2}}{\hbar ^{2}v^{2}}}\phi ,\qquad (4.4)

a cărui soluție este o undă plană

\phi ={\frac {1}{{\sqrt {2}}}}e^{{ik_{x}x+ik_{y}y}}.\qquad (4,5)

Valorile proprii au forma unui spectru liniar continuu

E=\pm \hbar vk_{F}=\pm \hbar v{\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}}.\qquad (4,6)

A doua componentă a funcției de undă este ușor de găsit prin înlocuirea soluției găsite în a doua ecuație (4.3)

\chi =-i{\frac {\hbar v\left(k_{x}+ik_{y}\right)}{E}}{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}e^ {{ik_{x}x+ik_{y}y}}=-ie^{{i\theta }}{\frac {\hbar vk_{F}}{E}}{\frac {1}{{\ sqrt {2}}}}e^{{ik_{x}x+ik_{y}y}}.\qquad (4,7)

Prin urmare, funcția de undă pentru vale poate fi scrisă ca $K^{{+}}$

\Psi ={\frac {1}{{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}1\\-ie^{{i\theta }}{\frac {\hbar vk_{F}}{ E}}\end{pmatrix}}e^{{ik_{x}x+ik_{y}y}}.\qquad (4.8)

Literatură

Lozovik Yu. E. , Merkulova S.P., Sokolik A.A. Fenomene electronice colective în grafen //Phys. - 2008. -T. 178,nr 7. —S. 757–776.

Link -uri

↑ Novoselov KS și colab. „Gaz bidimensional al fermionilor de Dirac fără masă în grafen”, Nature 438 , 197 (2005) doi : 10.1038/nature04233
↑ 1 2 Sitenko Yu. A., Vlasii ND Proprietăți electronice ale grafenului cu defect topologic Nucl. Fiz. B 787 , 241 (2007) doi : 10.1016/j.nuclphysb.2007.06.001 Preprint
^ Ando T. „Theory of Electronic States and Transport in Carbon Nanotubes” J. Phys. soc. Jpn. 74 , 777 (2005) doi : 10.1143/JPSJ.74.777
↑ Gusynin V.P., et. al. Conductibilitatea AC a grafenului: de la modelul cu legare strânsă la electrodinamica cuantică bidimensională Int. J. Mod. Fiz. B 21 , 4611 (2007) doi : 10.1142/S0217979207038022