Transformata Fourier

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 25 ianuarie 2022; verificările necesită 10 modificări .

transformata Fourier

Nume scurt/titlu	FT
Numit după	Fourier, Jean-Baptiste Joseph
Formula care descrie o lege sau o teoremă	$\left({\mathcal {F}}f\right)(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}f(t)\mathrm {d} t$ [unu]
Desemnarea în formulă	${\mathcal {F}}f$ , , și $f$ $\omega$ $\mathrm {e}$
înapoi la	transformată Fourier inversă [d]
Fișiere media la Wikimedia Commons

Transformarea Fourier ( simbolul ℱ ) este o operație care mapează o funcție a unei variabile reale cu o altă funcție a unei variabile reale. Această nouă funcție descrie coeficienții („amplitudini”) la descompunerea funcției inițiale în componente elementare - oscilații armonice cu frecvențe diferite

Transformarea Fourier a unei funcții a unei variabile reale este integrală și este dată de următoarea formulă: $f$

{\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}f (x)e^{{-ix\omega }}\,dx.

Diferite surse pot da definiții care diferă de cele de mai sus prin alegerea unui factor în fața integralei (așa-numitul factor de normalizare , care se referă la problema normalizării transformării Fourier ), precum și semnul „-” în exponent . Dar, indiferent de astfel de variații, toate proprietățile vor rămâne valabile, deși forma unor formule se poate modifica.

Formula generală pentru toate variantele definiției transformării Fourier cu parametri și arată $A$ $b$

{\hat {f)}(\omega )={\sqrt {\frac {\left|b\right|}{(2\pi )^{1-a))})\int \limits _ {-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ibx\omega }\,dx.

Transformarea inversă este definită după cum urmează

f(x)={\sqrt {\frac {\left|b\right|}{(2\pi )^{1+a))))\int \limits _{-\infty }^{ \infty }{\hat {f}}(\omega )e^{ib\omega x}\,d\omega .

La alegerea și sau formulele devin deosebit de simple, factorii de normalizare dispar în ei și formulele diferă doar prin semnul gradului, drept urmare majoritatea formulelor de mai jos sunt simplificate la constante constante. $a=0$ $b=2\pi$ $b=-2\pi$

În plus, există diverse generalizări ale acestui concept (vezi mai jos).

Proprietăți

Deși formula care definește transformata Fourier are o semnificație clară doar pentru funcțiile clasei $L_{1}(\mathbb{R} )$ , transformata Fourier poate fi definită pentru o clasă mai largă de funcții și chiar funcții generalizate . Acest lucru este posibil datorită unui număr de proprietăți ale transformării Fourier:

Transformata Fourier este un operator liniar :

\widehat {(\alpha f+\beta g)}=\alpha {\hat {f}}+\beta {\hat {g}}.

Egalitatea Parseval este adevărată : dacă , atunci transformata Fourier păstrează norma -: $f\în L_{1}(\mathbb{R} )\cap L_{2}(\mathbb{R} )$ $L_{2}$

\int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|{{ \hat {f}}(w)}|^{2}\,d\omega .

Această proprietate permite extinderea definiției transformării Fourier la întreg spațiul prin continuitate . Egalitatea lui Parseval va fi atunci valabilă pentru toți . $L_{2}(\mathbb{R} )$ $f\în L_{2}(\mathbb{R} )$

Formula de tratament :

f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega) e^{ix\omega }\,d\omega

este valabilă dacă integrala din partea dreaptă are sens. În special, acest lucru este adevărat dacă funcția este suficient de netedă. Dacă , atunci formula este și adevărată, deoarece egalitatea lui Parseval face posibilă înțelegerea integralei din partea dreaptă prin trecerea la limită. $f$ $f\în L_{2}(\mathbb{R} )$

Această formulă explică semnificația fizică a transformării Fourier: partea dreaptă este suma (infinită) a oscilațiilor armonice cu frecvențe , amplitudini și , respectiv, defazări. $e^{{i\omega x}}$ $\omega$ ${\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}|{\hat {f}}(\omega )|$ $\arg {\hat {f}}(\omega )$

Teorema de convoluție : dacă atunci $f,\;g\în L_{1}(\mathbb{R} )$

\widehat {(f\ast g)}={\sqrt {2\pi }}\widehat {f}\widehat {g}

, Unde

(f\ast g)(t)=\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}f(ts)g(s)\,ds.

Această formulă poate fi extinsă și la cazul funcțiilor generalizate.

Transformată Fourier și diferențiere . Dacă , atunci $f,\;f'\în L_{1}(\mathbb{R} )$

\widehat {(f')}=i\omega \widehat {f}.

Din această formulă se deduce cu ușurință formula derivatei --a: $n$

\widehat {(f^{{(n)}})}=(i\omega )^{n}\widehat {f}.

Formulele sunt adevărate și în cazul funcțiilor generalizate.

Transformată Fourier și deplasare .

{\widehat {f(x-x_{0})}}=e^{-i\omega x_{0}}{\hat {f}}(\omega).

Aceasta și formula anterioară sunt cazuri speciale ale teoremei de convoluție, deoarece deplasarea cu argument este convoluție cu funcția delta deplasată , iar diferențierea este convoluție cu derivata funcției delta. $\delta (x-x_{0})$

Transformată Fourier și întindere .

{\widehat {f(ax)}}=|a|^{-1}{\hat {f}}(\omega /a).

Formula de însumare Poisson :

\sum _{k=-\infty }^{+\infty }f(k)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\hat {f))(n)

Transformată Fourier a funcţiilor generalizate . Transformata Fourier poate fi definită pentru o clasă largă de funcții generalizate. Să definim mai întâi spațiul funcțiilor netede cu scădere rapidă ( spațiul Schwartz ):

S({\mathbb R}):=\left\{\varphi \in C^{{\infty }}({\mathbb R}):\forall n,\;m\in \mathbb{N} \; x^{n}\varphi ^{{(m)}}(x){\xrightarrow {x\to \infty }}0\right\}.

Proprietatea cheie a acestui spațiu este că este un subspațiu invariant în raport cu transformata Fourier.

Acum să definim spațiul său dual . Acesta este un subspațiu în spațiul tuturor funcțiilor generalizate - așa-numitele funcții generalizate de creștere lentă. Acum, pentru o funcție, transformata sa Fourier este o funcție generalizată care acționează asupra funcțiilor principale conform regulii $S^{*}(\mathbb{R} )$ $f\în S^{*}(\mathbb{R} )$ ${\hat {f}}\în S^{*}(\mathbb{R} )$

\langle {\hat {f)),\;\varphi \rangle =\langle f,\;{\hat {\varphi ))\rangle .

De exemplu, să calculăm transformata Fourier a funcției delta :

\langle {\hat {\delta )),\;\varphi \rangle =\langle \delta ,\;{\hat {\varphi ))\rangle =\left\langle \delta ,\;{\frac {1 }{{\sqrt {2\pi }}}}\int \limits _{{-\infty }}^({\infty }}\varphi (x)e^{{-i\omega x}}\, dx\right\rangle ={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}\varphi (x)\cdot 1\,dx=\left\langle {\frac {1}{{\sqrt {2\pi )))),\;\varphi \right\rangle .

Astfel, transformata Fourier a funcției delta este o constantă . ${\frac {1}{{\sqrt {2\pi ))))$

Principiul incertitudinii

În general, cu cât este mai mare concentrația f ( x ) , cu atât trebuie să fie mai răspândită transformata sa Fourier f̂ ( ω ) . În special, proprietatea de scalare a transformării Fourier poate fi reprezentată după cum urmează: dacă o funcție este comprimată de x ori, atunci transformarea sa Fourier este extinsă de ω ori. Este imposibil să se concentreze în mod arbitrar atât o funcție, cât și transformarea ei Fourier.

Compartimentul dintre densificarea unei funcții și transformarea ei Fourier poate fi formalizat ca principiul incertitudinii , considerând funcția și transformata sa Fourier ca variabile conjugate în raport cu forma simplectică timp-frecvență : din punctul de vedere al liniarului. transformarea canonică , transformata Fourier este o rotație de 90° în domeniul timp-frecvență și păstrează forma simplectică.

Să presupunem că f ( x ) este o funcție integrabilă și pătrat-integrabilă . Apoi norma este exprimată ca

||f||_{2}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx.

Din teorema lui Plancherel rezultă că f̂ ( ω ) este de asemenea normalizat.

Distribuția în jurul valorii așteptate poate fi măsurată prin varianța , definită ca $x_{0}={\frac {1}{||f||_{2}^{2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }x|f(x )|^{2}\,dx$

(\Delta f)^{2}={\frac {1}{||f||_{2}^{2))}\int \limits _{-\infty }^{\infty } (x-x_{0})^{2}|f(x)|^{2}\,dx.

În termeni de probabilitate, acesta este al doilea moment central al funcției . $|f(x)|^{2)$

Principiul incertitudinii afirmă că dacă f ( x ) este absolut continuă și funcțiile x f ( x ) și f ′( x ) sunt pătrat-integrabile, atunci

(\Delta f)^{2}(\Delta {\hat {f)})^{2}\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}})

unde factorul de normalizare înainte de transformarea Fourier este , când factorul de normalizare este egal, expresia din dreapta devine . Extragând rădăcinile din ambele expresii, expresia din dreapta devine și , respectiv, determină jumătate din lățimea ferestrei ( deviația standard ). $unu$ ${\frac {1}{2\pi ))$ ${\frac {1}{4))$ ${\frac {1}{4\pi }}$ ${\frac {1}{2))$ $\Delta$

Egalitatea se realizează numai dacă

{\begin{aligned}f(x)&=C_{1}\,e^{-\pi {\frac {x^{2}} {\sigma ^{2}}})\\\ prin urmare {\hat {f}}(\xi )&=\sigma C_{1}\,e^{-\pi \sigma ^{2}\omega ^{2}}\end{aligned}}

unde σ > 0 este arbitrar şi astfel încât f este L 2 -normalizat. Cu alte cuvinte, unde f este o funcție gaussiană (normalizată) cu varianță σ 2 , centrată la zero, iar transformata sa Fourier este o funcție gaussiană cu varianță σ -2 . $C_{1}={\frac {\sqrt[{4}]{2)}{\sqrt {\sigma ))}$

De fapt, această inegalitate implică faptul că:

{\displaystyle \left({\frac {1}{||f||_{2}^{2))}\int \limits _{-\infty }^{\infty }(x-x_{0} )^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left({\frac {1}{||{\hat {f}}||_{2}^{2} }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }(\omega -\omega _{0})^{2}\left|{\hat {f}}(\omega )\right|^ {2}\,d\omega \right)\geq {\frac {1}{16\pi ^{2))))

pentru orice x 0 , ω 0 ∈ R .

În mecanica cuantică , impulsul și poziția funcției de undă sunt perechi de transformări Fourier până la constanta lui Planck . Cu această constantă corect contabilizată, inegalitatea de mai sus devine o afirmație a principiului incertitudinii Heisenberg .

Un principiu de incertitudine mai puternic este principiul de incertitudine Hirschman , care este exprimat astfel:

H\stanga(\stanga|f\right|^{2}\right)+H\left(\left|{\hat {f))\right|^{2}\right)\geq \ln \left({\frac {e}{2}}\right)

unde H ( p ) este entropia diferenţială a funcţiei de densitate de probabilitate p ( x ) :

H(p)=-\int \limits _{-\infty }^{\infty }p(x)\ln {\bigl (}p(x){\bigr )}\,dx

unde logaritmii pot fi în orice bază consecutivă. Egalitatea se realizează pentru funcția Gaussă ca în cazul precedent.

Aplicații

Transformata Fourier este folosită în multe domenii ale științei - în fizică , teoria numerelor , combinatorie , procesarea semnalului , teoria probabilității , statistică , criptografie , acustică , oceanologie , optică , geometrie și multe altele. În procesarea semnalului și în domeniile conexe, transformata Fourier este de obicei privită ca o descompunere a unui semnal în frecvențe și amplitudini , adică o tranziție reversibilă de la spațiul de timp la spațiul de frecvență . Posibilitățile bogate de aplicare se bazează pe mai multe proprietăți utile de transformare:

Transformările sunt operatori liniari și, cu normalizarea corespunzătoare, unitare (o proprietate cunoscută sub numele de teorema lui Parseval , sau mai general ca teorema lui Plancherel , sau mai general ca dualismul lui Pontryagin ).
Transformările sunt reversibile, iar transformarea inversă are aproape aceeași formă ca transformarea directă.
Funcțiile de bază sinusoidale (sau mai degrabă, exponențiale complexe) sunt funcții proprii de diferențiere , ceea ce înseamnă că reprezentarea dată transformă ecuațiile diferențiale liniare cu coeficienți constanți în ecuații algebrice obișnuite. (De exemplu, într-un sistem liniar staționar, frecvența este o valoare conservativă , astfel încât comportamentul la fiecare frecvență poate fi rezolvat independent).
Prin teorema de convoluție , transformata Fourier transformă o operație de convoluție complexă într-o simplă înmulțire , ceea ce înseamnă că oferă o modalitate eficientă de a calcula operații bazate pe convoluție, cum ar fi înmulțirea polinoamelor și înmulțirea numerelor mari .
Versiunea discretă a transformării Fourier poate fi calculată rapid pe computere folosind algoritmul Fast Fourier Transform (FFT).

Soiuri

Transformare multidimensională

Transformarea Fourier a funcțiilor date pe spațiu este definită de formulă $\mathbb {R} ^{n}$

{\hat {f))(\omega )={\frac {1}{(2\pi )^{{n/2))))\int \limits _{{\mathbb{R} ^{n} }}f(x)e^{{-ix\cdot \omega }}\,dx.

Aici și sunt vectori spațiali , este produsul lor scalar . Transformarea inversă în acest caz este dată de formula $\omega$ $X$ $\mathbb {R} ^{n}$ $x\cdot\omega$

f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{{n/2))))\int \limits _({\mathbb{R} ^{n))}{\hat {f }}(\omega )e^{{ix\cdot \omega }}\,d\omega .

Această formulă poate fi interpretată ca extinderea funcției într-o combinație liniară ( suprapoziție ) a formei de „ unde plane ” cu amplitudini , frecvențe și, respectiv, schimbări de fază . Ca și înainte, în diferite surse definițiile transformării Fourier multidimensionale pot diferi în alegerea unei constante în fața integralei. $f$ $e^{{ix\cdot \omega }}$ ${\frac {1}{(2\pi )^{{n/2))))|{\hat {f))(\omega )|$ $\omega$ $\arg {\hat {f}}(\omega )$

Observația despre domeniul specificării transformării Fourier și proprietățile sale principale rămân valabile și în cazul multidimensional, cu următoarele precizări:

Luarea derivatelor parțiale sub acțiunea transformării Fourier se transformă în multiplicare cu coordonatele cu același nume:

\widehat {{\frac {\partial f}{\partial x_{k))))=i\omega _{k}{\hat {f))(\omega ).

Constanta din teorema de convoluție se modifică:

\widehat {(f\ast g)}=(2\pi )^{{n/2}}{\hat {f}}{\hat {g}}.

Transformată Fourier și compresie de coordonate:

\widehat {\left(f\left({\frac {x}{|a|}}\right)\right)}=|a|^{n}{\hat {f}}(\omega |a| ).

Mai general, dacă este o hartă liniară inversabilă , atunci $A\colon \mathbb {R} ^{n}\la \mathbb {R} ^{n)$

{\widehat {\left(f(Ax)\right)}}=|\det(A)|^{-1}{\hat {f}}((A^{T})^{- 1}\omega).

Seria Fourier

Transformarea continuă în sine este de fapt o generalizare a ideii anterioare a seriei Fourier , care sunt definite pentru funcții -periodice și reprezintă extinderea unor astfel de funcții într-o combinație liniară (infinită) de oscilații armonice cu frecvențe întregi : $2\pi$

f(x)=\sum _{{n=-\infty }}^({\infty }}{\hat {f}}_{n}\,e^{{inx}}.

Expansiunea seriei Fourier este aplicabilă și funcțiilor definite pe intervale mărginite, deoarece astfel de funcții pot fi extinse periodic la întreaga linie.

Seria Fourier este un caz special al transformării Fourier, dacă aceasta din urmă este înțeleasă în sensul funcțiilor generalizate . Pentru orice functie -periodica avem $2\pi$

{\hat {f}}(\omega )={\sqrt {2\pi }}\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}{\hat {f}}_{n }\delta (\omega -n).

Cu alte cuvinte, transformata Fourier a unei funcții periodice este suma sarcinilor punctuale din puncte întregi și este zero în afara acestora.

Conversie discretă

Transformarea Fourier discretă este o transformare a unor secvențe finite de numere (complexe), care, ca și în cazul continuu, transformă convoluția în multiplicare punctuală. Folosit în procesarea semnalului digital și în alte situații în care trebuie să efectuați rapid convoluția, cum ar fi atunci când înmulțiți numere mari.

Fie o succesiune de numere complexe. Să considerăm un polinom . Să alegem câteva puncte din planul complex . Acum putem asocia un nou set de numere cu un polinom: . Rețineți că această transformare este reversibilă: pentru orice set de numere, există un polinom unic de grad cel mult cu astfel de valori în (vezi interpolare ). $x_{0},\;x_{1},\;\ldots ,\;x_{{n-1}}$ $f(t)=x_{0}+x_{1}t+x_{2}t^{2}+\ldots +x_{{n-1}}t^{{n-1}}$ $n$ $z_{0},\;z_{1},\;\ldots ,\;z_{{n-1}}$ $f(t)$ $n$ $f_{0}:=f(z_{0}),\;f_{1}:=f(z_{1}),\;\ldots ,\;f_{{n-1}}:=f(z_ {{n-1}})$ $f_{0},\;f_{1},\;\ldots ,\;f_{{n-1}}$ $f(t)$ $n-1$ $z_{0},\;\ldots ,\;z_{{n-1}}$

Mulțimea și se numește transformată Fourier discretă a mulțimii inițiale . Rădăcinile a treia ale unității sunt de obicei alese ca puncte : $\{f_{k}\}$ $\{x_{k}\}$ $z_{k}$ $n$

z_{k}=e^{{\frac {2\pi ik}{n))}

Această alegere este dictată de faptul că, în acest caz, transformarea inversă ia o formă simplă, precum și de faptul că calculul transformării Fourier poate fi efectuat în mod deosebit de rapid . Deci, în timp ce calcularea convoluției a două secvențe de lungime necesită în mod direct o ordine de operații, trecerea la transformarea lor Fourier și înapoi folosind un algoritm rapid poate fi efectuată în operații. Pentru transformatele Fourier, convoluția corespunde înmulțirii pe componente, care necesită doar ordinea operațiilor. $n$ $n^{2}$ $O(n\log n)$ $n$

Fereastra

F(t,\;\omega )=\int \limits _{{-\infty }}^{\infty }f(\tau )W(\tau -t)e^{{-i\omega \tau } }\,d\tau ,

unde dă distribuția de frecvență (în general, oarecum distorsionată) a părții semnalului original din vecinătatea timpului . $F(t,\;\omega )$ $f(t)$ $t$

Transformata Fourier clasică se ocupă de spectrul unui semnal preluat pe întregul interval al existenței unei variabile. Adesea, doar distribuția locală de frecvență prezintă interes, în timp ce este necesar să se păstreze variabila inițială (de obicei, timpul). În acest caz, se utilizează o generalizare a transformării Fourier - așa-numita transformată Fourier cu ferestre . Pentru început, este necesar să alegeți o funcție de fereastră , iar această funcție trebuie să aibă un spectru bine localizat. $W$

În practică, analiza spectrală discretă este implementată în osciloscoapele digitale și analizatoarele de spectru moderne . Se folosește, de regulă, alegerea unei ferestre din 3-10 tipuri. Utilizarea ferestrelor este fundamental necesară, deoarece în dispozitivele reale o anumită tăiere din semnalul studiat este întotdeauna investigată. În acest caz, discontinuitățile semnalului datorate crestăturii distorsionează brusc spectrul datorită suprapunerii spectrelor de salt pe spectrul semnalului.

Unele analizoare de spectru folosesc o fereastră rapidă (sau de scurtă durată). Cu acesta, un semnal de o anumită durată este împărțit într-un număr de intervale folosind o fereastră glisantă de un tip sau altul. Acest lucru face posibilă obținerea, investigarea și construirea de spectre dinamice sub formă de spectrograme și analizarea comportamentului acestora în timp. Spectrograma este construită în trei coordonate - frecvență, timp și amplitudine. În acest caz, amplitudinea este stabilită de culoarea sau nuanța culorii fiecărui dreptunghi al spectrogramei. Astfel de analizoare de spectru sunt numite analizoare de spectru în timp real . Producătorul lor principal este Keysight Technologies Corporation ( SUA ), Rohde & Schwarz (Germania), Tektronix (SUA). Astfel de analizoare au apărut la sfârșitul secolului trecut și acum se dezvoltă rapid. Gama de frecvență a semnalelor pe care le studiază ajunge la sute de gigaherți.

Aceste metode de analiză spectrală sunt, de asemenea, implementate în sistemele de matematică computerizată, de exemplu, Mathcad , Mathematica , Maple și MATLAB .

Alte opțiuni

Transformarea Fourier discretă este un caz special (și uneori folosit ca aproximare) al transformării Fourier discrete în timp (DTFT), care este definită pe domenii discrete, dar infinite, și astfel spectrul este continuu și periodic. Transformarea Fourier discretă în timp este, în esență, inversa seriei Fourier. $x_k$

Aceste varietăți ale transformării Fourier pot fi generalizate la transformările Fourier ale grupurilor topologice abeliene compacte arbitrare , care sunt studiate în analiza armonică; ele transformă un grup în grupul său dual . Această interpretare ne permite, de asemenea, să formulăm teorema de convoluție , care stabilește o legătură între transformatele Fourier și convoluții . Vezi și dualismul lui Pontryagin .

Interpretare în termeni de timp și frecvență

În ceea ce privește procesarea semnalului , transformarea preia o reprezentare în serie de timp a unei funcții de semnal și o mapează într-un spectru de frecvență , unde este frecvența colțului . Adică transformă o funcție a timpului într-o funcție a frecvenței ; este descompunerea unei funcții în componente armonice la frecvențe diferite. $\omega$

Când funcția este o funcție a timpului și reprezintă un semnal fizic , transformarea are o interpretare standard ca spectru al semnalului. Valoarea absolută a funcției complexe rezultate reprezintă amplitudinile frecvențelor corespunzătoare ( ), în timp ce defazajele sunt obținute ca argument al acestei funcții complexe. $f$ $F$ $\omega$

Cu toate acestea, transformatele Fourier nu sunt limitate la funcțiile de timp și frecvențe temporale. Ele pot fi aplicate în egală măsură la analiza frecvențelor spațiale , precum și la aproape orice altă funcție.

Formule importante

Următorul tabel conține o listă de formule importante pentru transformarea Fourier. și notăm componentele Fourier ale funcțiilor și , respectiv. și trebuie să fie funcții integrabile sau funcții generalizate . $F(\omega)$ $G(\omega )$ $f(t)$ $g(t)$ $f$ $g$

Rapoartele din acest tabel, și în special factori precum , depind de convenția care formă de definiție pentru transformata Fourier a fost folosită înainte (deși, în general, rapoartele sunt corecte). ${\sqrt {2\pi ))$

	Funcţie	Imagine	Note
unu	$af(t)+bg(t)$	$aF(\omega)+bG(\omega)$	Liniaritate
2	$f(ta)$	$e^{-i\omega a}F(\omega )$	Lag
3	$e^{iat}f(t)$	$F(\omega-a)$	schimbare de frecvență
patru	$gras)$	$\|a\|^{{-1}}F\left({\frac {\omega }{a}}\dreapta)$	Dacă este mare, atunci este concentrat aproape de zero și devine plat $A$ $gras)$ $\|a\|^{{-1}}F\left({\frac {\omega }{a}}\dreapta)$
5	${\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n)))$	$(i\omega )^{n}F(\omega )$	Proprietatea transformării Fourier a derivatei -a $n$
6	$t^{n}f(t)$	$i^{n}{\frac {d^{n}F(\omega )}{d\omega ^{n)))$	Aceasta este o inversare a regulii 5
7	$(f*g)(t)$	${\sqrt {2\pi }}F(\omega )G(\omega )$	Record înseamnă convoluție și . Această regulă este teorema de convoluție. $f*g$ $f$ $g$
opt	$f(t)g(t)$	${\frac {(F*G)(\omega )}{\sqrt {2\pi )))$	Acest recurs 7
9	$\delta (t)$	${\frac {1}{{\sqrt {2\pi ))))$	$\delta (t)$ înseamnă funcția delta Dirac
zece	$unu$	${\sqrt {2\pi }}\delta (\omega )$	Recurs 9.
unsprezece	$t^{n}$	$i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )$	Aici este un număr natural , este derivata generalizată a funcției delta Dirac. Consecința regulilor 6 și 10. Folosirea acesteia împreună cu regula 1 vă permite să faceți transformări ale oricăror polinoame $n$ $\delta ^{{(n)}}(\omega )$ $n$
12	$e^{iat)$	${\sqrt {2\pi }}\delta (\omega -a)$	Corolarul 3 și 10
13	$\cos(at)$	${\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}$	Corolarul 1 și 12 folosind formula lui Euler $\cos(at)={\frac {1}{2}}\left(e^{iat}+e^{-iat}\right)$
paisprezece	$\sin(la)$	${\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)}{2i}}$	Tot de la 1 și 12
cincisprezece	$\exp(-at^{2})$	${\frac {1}{\sqrt {2a}}}\exp \left({\frac {-\omega ^{2}}{4a}}\right)$	Indică faptul că funcția Gaussiană se potrivește cu imaginea sa $\exp(-t^{2}/2)$
16	$W{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\mathrm {sinc} (Wt)$	$\mathrm {rect} \left({\frac {\omega {2W}}\right)$	Funcția dreptunghiulară este un filtru trece-jos ideal, iar funcția sinc (x) este echivalentul său temporal
17	${\frac {1}{t)}$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )$	Aici este funcția sgn . Această regulă este în concordanță cu 6 și 10 $\operatorname {sgn}(\omega )$
optsprezece	${\frac {1}{t^{n}))$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn }(\omega )$	Generalizare 17
19	$\operatorname {sgn}(t)$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}(i\omega )^{-1}$	Recurs 17
douăzeci	${\sqrt {2\pi }}\theta (t)$	${\frac {1}{i\omega }}+\pi \delta (\omega )$	Iată funcția Heaviside . Urmează din regulile 1 și 19 $\theta (t)$

Vezi și

Literatură

Zorich V. A. Analiză matematică. — M .: Fizmatlit , 1984. — 544 p.
Afonsky A. A., Dyakonov V. P. Analizoare digitale de spectru, semnal și logic / Ed. prof. V. P. Dyakonova. - M. : SOLON-Press, 2009. - S. 248 . - ISBN 978-5-913-59049-7 .
Dyakonov V.P. MATLAB 6.5 SP1/7.0 + Simulink 5/6. Procesarea semnalului și proiectarea filtrului. - M. : SOLON-Press, 2005. - S. 576. - ISBN 5-980-03206-1 .
Sergienko AB Procesare digitală a semnalului. - Ed. a II-a. - Sankt Petersburg. : Peter, 2006. - S. 751. - ISBN 5-469-00816-9 .
M. A. Pavleino, V. M. Romadanov. Transformări spectrale în MatLab. - Sankt Petersburg. , 2007. - P. 160. - ISBN 978-5-983-40121-1 .

Link -uri

Integral Transforms Arhivat pe 11 iulie 2007 la Wayback Machine EqWorld: The World of Mathematical Equations
Calcul online al transformării sau transformării inverse
„Transformarea Fourier” Arhivată 4 iulie 2015 la Wayback Machine - Un ghid interactiv pentru transformarea Fourier | BetterExplained Arhivat 4 iulie 2015 la Wayback Machine
Ronald N. Bracewell . transformata Fourier. științific american. În lumea științei. Nr. 8, 1989, pp. 48-56 Arhivat 24 mai 2017 la Wayback Machine

Transformări integrale
Abel transforma Bessel se transformă Transformarea Bushman Transformarea Gegenbauer Transformarea Hilbert Transformarea Kontorovich-Lebedev Transformarea Laplace Transformarea Meyer Transformarea Mehler-Fock Transformarea Mellin Transformarea Nerain Transformarea radonului Stieltjes transforma transformata Fourier Transformarea Hankel Transformarea Hartley

Metode de compresie

Teorie

informație	propriu Reciproc Entropie Entropia condiționată Complexitate Redundanţă
Unități	Pic Nat Ciuguli Hartley Formula Hartley

Fara pierderi

Compresie entropică	Sisteme numerice asimetrice Algoritmul Huffman Algoritmul adaptiv Huffman Algoritmul Shannon-Fano algoritmul lui Shannon Codare aritmetică ( Interval ) Codurile Golomb Delta Cod universal Elias Fibonacci
Dicţionar Methods	RLE Dezumfla LZ ( LZ77/LZ78 LZSS LZW LZWL LZO LZMA LZX LZRW LZJB LZT LZ4 Brotli zstandard )
Alte	RLE CTW BWT MTF PPM DMC

Audio

Teorie	Convoluţie PCM Alianta Prelevarea de probe teorema lui Kotelnikov
Metode	LPC LAR LSP WLPC CELP ACELP O lege μ-legea ADPCM MDCT transformata Fourier Model psihoacustic
Alte	Compresor audio Compresia vorbirii Codarea benzii

Imagini

Termeni	spațiu de culoare Pixel Subeșantionarea de saturație Artefacte de compresie
Metode	RLE DPCM fractal wavelet EZW SPIHT LP PrEP PCL
Alte	Rata de biți Imagine de testare standard PSNR Cuantizarea

Video

Termeni	Caracteristicile video Cadru Tipuri de cadre Calitate video
Metode	Compensarea mișcării PrEP Cuantizarea wavelet
Alte	Codec video Teoria distorsiunii ratei CBR ABR VBR

Derivate ale literei latine F, f
Scrisori	Ḟḟ F̣f̣ Ƒƒ ᶂ Ff F̀f̀ F̄f̄ F told ꜰ Ꞙꞙ ꟻ ꬵ Ⅎⅎ ʩ 𝼀 Ꝼꝼ
Simboluri	ƒ ₣ ℉ ℱ 𝔽 🜅 𝄢 𝇑 𝆑 Ⓕⓕ ⒡

Dicționare și enciclopedii	mare chinezesc Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	BNF : 119793260 J9U : 987007548250405171 LCCN : sh85051094 NDL : 00562090 NKC : ph117565

↑ 2-19.1 // ISO 80000-2:2019 Cantități și unități - Partea 2: Matematică - 2 - ISO , 2019. - 36 p.