Funcţional
O funcțională este o funcție definită pe o mulțime arbitrară și având o gamă numerică de valori : de obicei un set de numere reale sau de numere complexe . Într-un sens mai larg, un funcțional este orice mapare dintr-un set arbitrar într-un inel arbitrar (nu neapărat numeric) .
Funcționalele sunt studiate ca unul dintre conceptele centrale în analiza funcțională , iar subiectul principal al calculului variațiilor este studiul variațiilor funcționalelor.
Definiții
Domeniul funcțional poate fi orice set. Daca domeniul de definitie este un spatiu topologic , atunci se poate defini o functionala continua ; dacă domeniul este un spaţiu liniar peste sau peste , se poate defini o funcţională liniară ; dacă domeniul este o mulțime ordonată , poate fi definită o funcțională monotonă.
O funcțională definită pe un spațiu topologic se numește continuă dacă este continuă ca o mapare într-un spațiu topologic sau .
O funcțională definită pe un spațiu topologic este numită continuă într-un punct dacă este continuă în acest punct ca o mapare într-un spațiu topologic sau .
O funcțională definită pe un spațiu liniar și care păstrează adunarea și înmulțirea cu o constantă se numește funcțională liniară . (Cartarea unui spațiu liniar într-un spațiu liniar se numește operator ).
Una dintre cele mai simple funcționale este o proiecție (alocarea unui vector a uneia dintre componentele sau coordonatele sale).
Destul de des, cutare sau cutare spațiu de funcții joacă rolul unui spațiu liniar (funcții continue pe un interval, funcții integrabile pe un plan etc.). Prin urmare, în zonele aplicate, un funcțional este adesea înțeles ca o funcție a funcțiilor , o mapare care convertește o funcție într-un număr (real sau complex).
O funcțională pe un spațiu liniar se spune că este definită pozitivă dacă valoarea sa este nenegativă și este egală cu zero numai la zero.
Maparea care transformă un vector în norma sa este o funcțională convexă pozitiv-definită, aceasta este una dintre cele mai comune funcționale. În fizică, acțiunea este adesea folosită - și o funcționalitate.
Problemele de optimizare sunt formulate în limbajul funcționalelor : găsiți o soluție (ecuații, sisteme de ecuații, sisteme de constrângeri, sisteme de inegalități, sisteme de incluziuni etc.) care oferă un extrem (minim sau maxim) unei anumite funcționale. Funcționalele sunt de asemenea considerate în analiza variațiilor .
Funcțională în spațiu liniar
Mai târziu, conceptul de funcțional într-un spațiu liniar a fost separat de conceptul de funcțional tradițional , ca o funcție care mapează elementele unui spațiu liniar în spațiul său de scalari . Adesea (de exemplu, atunci când spațiul funcțiilor este un spațiu liniar), aceste două varietăți ale conceptului de „funcțional” coincid, în același timp nu sunt identice și nu se absorb reciproc.
Un tip deosebit de important de funcționale sunt funcționale liniare .
Exemple
- norma de functionare
- valoarea funcției la un punct fix
- maxim sau minim al unei funcții pe un segment
- valoarea integralei functiei
- lungimea graficului unei funcții reale a unei variabile reale
- lungimea unei curbe definită parametric de o funcție vectorială a unui argument real (lungimea căii)
- aria suprafeței definită parametric printr-o funcție vectorială a două argumente reale
- produs scalar printr-un vector fix
- acţiune în mecanică
- energetic funcțional
Literatură
- V. I. Sobolev . Funcțională // Enciclopedia matematică : [în 5 volume] / Cap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Enciclopedia Sovietică, 1985. - T. 5: Slu - Ya. - 1248 stb. : bolnav. — 150.000 de exemplare.
- Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elemente de teoria funcțiilor și analiză funcțională. - ed. al patrulea, revizuit. — M .: Nauka , 1976 . — 544 p. - 35.000 de exemplare.
- Rudin W. Analiza functionala. — M .: Mir , 1975. — 443 p.
 Dicționare și enciclopedii | |
|---|---|
| În cataloagele bibliografice |
|